Тема 4: Интерполяция. П.1 Постановка задачи интерполяции, общий подход к её решению:

Пусть имеются точки (n+1 точка), в которых нам известны значения функции .

Задачи интерполяции: научиться вычислять значение функции в любой наперед заданной точке.

Комментарии: интерполяция иногда делится на два вида:

1) - собственная интерполяция.

2) - экстраполяция.

Геометрическая интерпретация:

Общая идея интерполяции:

Заменяем неизвестную нам функцию f , на некоторую интерполирующую в узлах

(т.е. , которая легко вычисляется, т.е. функция должна обладать двумя свойствами:

1.

2. g – легко вычисляется в любой наперед заданной точке x.

Для этого поступаем следующим образом:

Фиксируем класс функций N, среди которых будем подбирать искомую функцию g. При этом класс N должен быть достаточно большим, чтобы g нашлась, но с другой стороны – достаточно маленьким, чтобы g была бы там единственной.

В зависимости от класса N интерполируемых функций будем говорить об интерполяции:

а) полиномами

б) сплайнами

в) тригонометрическими функциями

П.2 Интерполяция многочленами.

2.1 Формула Лагранжа, интерполяционный многочлен: Теорема 4.1:

Для любых х₀х₁ х₂… и у_0, у₁, у₂… существует единственный многочлен р (т.е. многочлен р в степени  n) такой, что р(x_i) =у_i, i =

Доказательство:

Докажем сначала единственность многочлена р. Предположим, что существует два интерполирующих многочлена р₁ и р₂. Имеем P₁(x_i)=y_i

P₂(x_i) = , где . Рассмотрим многочлен h=P₁-P₂, очевидно его степень не выше n, с другой стороны он имеет как минимум (n+1) корней. Как известно из алгебры, у ненулевого многочлена степени n имеет не более n корней, а наш многочлен h имеет (n+1) корней, следовательно он тождественно равен 0. h≡0 и P₁=P₂ Докажем теперь существование многочлена р: рассмотрим для этого следующий набор многочленов (4.2а)

где (4.2b)

Заметим, что все q_i многочлены степени n, следовательно, P_n(x) будет многочлен степени не выше n. Докажем, что p_n(x) искомый, т.е. p_n(x_i)=y_i для этого подсчитаем q_i в точках x_i

(*)

Так как один из сомножителей в числителе занулится. Учитывая (*) приходим к выводу

, т.е. для данного многочлена (4.2) выполняется свойство интерполяции. Осталось заметить, что степень многочлена из формулы (4.2) не выше n.

Частные случаи интерполяционного многочлена Лагранжа:

n=1 (интерполируем по двум точкам)

n=2 (интерполируем по трем точкам)

n=3 (интерполируем по четырем точкам)

Замечание:

Интерполяционный многочлен из формулы (4.2) называют интерполяционным многочленом Лагранжа. Вообще говоря, интерполяционный многочлен единственен, как доказано в теореме 4.1, но вариантов для вычисления этого многочлена (формул) существует много. Все они выдадут в одной точке один и тот же результат, но вариантов для вычисления будет много. Каждый из этих вариантов (формул интерполяционного многочлена) имеет свои достоинства и недостатки.

Рассмотрим следующий вариант вычисления интерполяционного многочлена.