Пример выполнения задания №3.
Используя интерполяционный многочлен Лагранжа вычислить в указанных точках значения функции y=f(x), заданной в виде таблицы, и оценить абсолютную относительную погрешности вычислений для заданного значения третьей производной:
x=0,2,
и
x=0,7; 
-
i
xi
yi
0
0,1
1,6
1
0,5
0,5
2
0,9
-1,5
1. Так как имеется три узла, то используем интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени:
и погрешность интерполяции с помощью этого многочлена Лагранжа:
2. Для x=0,2 имеем:
L2(0,2)=1,4095; R(0,2)=3,5*10-3;
3. Для x=0,7 имеем:
L2(0,7)=-0,3875; R(0,7)=-4*10-3.
4. Абсолютная погрешность интерполяции при x=0,2 равна:
f(0,2)=R(0,2)=3,5*10-3;
при x=0,7 равна:
f(0,7)=R(0,7)=4*10-3.
5. Относительная погрешность интерполяции при x=0,2 равна:
f(0,2)=3,5*10-3/1,4095=2,4832*10-3,
при x=0,7 равна:
f(0,7)=4*10-3/0,3875=1,0323*10-2.
Варианты задания №4.
Используя метод наименьших квадратов найти коэффициенты аппроксимирующего многочлена первой степени для функции, заданной в виде таблицы. Вычислить с помощью этого многочлена значения функции в указанных точках, а также величину среднеквадратичного отклонения аппроксимирующего многочлена от заданной функции.
1. x=1,6 и x=3,5;
-
i
xi
yi
0
0,5
5,1
1
1,5
3,7
2
2,5
4,3
3
3,5
4,5
2. x=0,9; x=1,6;
-
i
xi
yi
0
0,4
0,1
1
0,8
0,7
2
1,2
0,3
3
1,6
-0,1
3. x=1,7; x=4,5;
-
i
xi
yi
0
1,5
2,2
1
2,5
-0,7
2
3,5
-4,3
3
4,5
-3,9
4. x=0,1; x=0,24;
-
i
xi
yi
0
0,1
0,1
1
0,2
0,7
2
0,3
0,3
3
0,4
0,1
5. x=0,05; x=0,28;
-
i
xi
yi
0
0,05
-2,0
1
0,15
-2,5
2
0,25
-1,3
3
0,35
0,1
6. x=5; x=33;
-
i
xi
yi
0
5
0,1
1
15
0,7
2
25
0,3
3
35
-0,1
7. x=0,15; x=1,5;
-
i
xi
yi
0
0,1
3,1
1
0,5
-0,7
2
1,0
-3,3
3
1,5
-3,0
8. x=0,16; x=0,4;
-
i
xi
yi
0
0,1
-0,5
1
0,2
-0,3
2
0,3
-0,2
3
0,4
0,1
9. x=0,9; x=2;
-
i
xi
yi
0
0,0
15,0
1
1,5
17,0
2
3,0
9,5
3
4,5
5
10. x=1,2; x=2,5;
-
i
xi
yi
0
1,0
-0,1
1
1,5
1,7
2
2,0
8,7
3
2,5
10
11. x=0,5; x=2,9;
-
i
xi
yi
0
0,5
0,1
1
1,5
-0,7
2
2,5
-0,3
3
3,5
-0,1
12. x=0,4; x=1,3;
-
i
xi
yi
0
0,4
0,15
1
0,8
0,4
2
1,2
0,3
3
1,6
0,1
13. x=1,5; x=4,5;
-
i
xi
yi
0
1,5
1,2
1
2,5
-0,7
2
3,5
-0,3
3
4,5
-0,2
14. x=1,1; x=2,5;
-
i
xi
yi
0
1,1
4,4
1
2,2
-1,7
2
3,3
-3,4
3
4,4
-4,2
15. x=0,05; x=0,35;
-
i
xi
yi
0
0,05
-1,0
1
0,15
-2,1
2
0,25
-1,4
3
0,35
0
16. x=5; x=35;
-
i
xi
yi
0
5
0,15
1
15
0,47
2
25
0,43
3
35
0,4
17. x=0,44; x=1,4;
-
i
xi
yi
0
0,1
2,1
1
0,5
-0,5
2
1,0
-2,3
3
1,5
-3,1
18. x=0,1; x=0,35;
-
i
xi
yi
0
0,1
-0,3
1
0,2
0,3
2
0,3
-0,1
3
0,4
0
19. x=1; x=4,5;
-
i
xi
yi
0
0,0
10,0
1
1,5
7,0
2
3,0
5,5
3
4,5
3,2
20. x=1,0; x=2,5;
-
i
xi
yi
0
1,0
-0,1
1
1,5
1,7
2
2,0
8,7
3
2,5
10
21. x=0,5 и x=2,8;
-
i
xi
yi
0
1,5
-3,3
1
2,5
3,4
2
3,5
5,1
3
4,5
6,9
22. x=0,5; x=3,4;
-
i
xi
yi
0
1,4
0,6
1
2,8
-0,7
2
4,2
-0,4
3
5,4
0,5
23. x=1,9; x=4,5;
-
i
xi
yi
0
1,5
2,2
1
2,5
-0,7
2
3,5
-4,3
3
4,5
-3,9
24. x=0,5; x=0,3;
-
i
xi
yi
0
0,1
-0,8
1
0,4
-0,5
2
0,7
0,1
3
1,0
1,1
25. x=0,3; x=0,2;
-
i
xi
yi
0
0,05
7,0
1
0,25
-0,5
2
0,45
4,3
3
0,65
6,1
26. x=8; x=22;
-
i
xi
yi
0
7
6,1
1
17
-0,4
2
27
-0,8
3
37
-0,4
27. x=0,45; x=2,5;
-
i
xi
yi
0
0,5
-7,1
1
1,5
3,4
2
2,5
-3,6
3
3,5
-4,0
28. x=0,4; x=0,5;
-
i
xi
yi
0
0,1
0,5
1
0,3
-1,3
2
0,5
-0,6
3
0,7
-0,7
29. x=0,7; x=1;6
-
i
xi
yi
0
1,0
5,0
1
2,5
7,0
2
4,0
-8,5
3
5,5
7
30. x=1,3; x=1,5;
-
i
xi
yi
0
1,0
0,6
1
1,8
-5,5
2
2,6
0,4
3
3,4
-6
31. x=0,5; x=2,9;
-
i
xi
yi
0
0,5
0,1
1
1,5
-0,7
2
2,5
-0,3
3
3,5
-0,1
32. x=1,4; x=2,3;
-
i
xi
yi
0
0,4
0,5
1
1,8
-0,4
2
3,2
0,8
3
4,6
-0,1
33. x=1,9; x=2,5;
-
i
xi
yi
0
1,0
0,6
1
2,0
0,7
2
3,0
-0,6
3
4,0
0,2
34. x=0,3; x=1,5;
-
i
xi
yi
0
0,2
-0,4
1
2,2
-1,4
2
3,2
5,1
3
4,2
8,2
35. x=0,06; x=0,3;
-
i
xi
yi
0
0,05
-6,0
1
0,25
-0,5
2
0,45
1,4
3
0,65
2,1
36. x=15; x=25;
-
i
xi
yi
0
4
1,5
1
14
3,8
2
24
-4,5
3
34
-6,3
37. x=0,5; x=1,1;
-
i
xi
yi
0
0,15
0,1
1
0,55
0,5
2
0,95
-2,9
3
1,35
-2,1
38. x=0,4; x=0,95;
-
i
xi
yi
0
0,2
0,2
1
0,6
-0,3
2
1,0
0,7
3
1,4
0,8
39. x=2,4; x=3,2;
-
i
xi
yi
0
0,3
0,7
1
0,9
-5,0
2
1,5
0,4
3
2,1
-0,2
40. x=1,7; x=3,9;
-
i
xi
yi
0
1,0
5,1
1
2,5
-4,3
2
4,0
-5,2
3
5,5
-9