Пример выполнения задания №5.

Для функции, значения которой приведены в таблице, Вычислить в узлах i=0,4 производную со вторым порядком точности по шагу h между узлами h_i=x_i.-x_i-1. В одном из указанных узлов, где это возможно, провести уточнение значения производной с помощью метода Рунге-Ромберга.

i	xi	yi
0	1,0	1,302
1	1,2	1,390
2	1,4	1,551
3	1,6	1,750
4	1,8	1,610

1. Для вычисления производной в узлах i=0,4 будем использовать формулы численного дифференцирования второго порядка точности по шагу h (k=2) для крайних узлов:

Имеем h=0,2. Получаем:

2. Для уточнения значения производной в заданном узле с помощью метода Рунге-Ромберга необходимо вычислить значение производной по той же формуле с шагом h₁=ph.

Полагаем p=2. Имеем h₁=2h=20,2=0,4. Следовательно, для узла i=0 должны использоваться узлы: x₀=1,0; x₂=1,4 и x₄=1,8; а в узле i=4 - узлы x₄=1,8; x₂=1,4 и x₀=1,0. Так как значения функции в этих узлах известны, то можем провести вычисление с шагом h=0,4 в любом из них, например в узле i=4:

3. Для вычисления уточненного значения производной используем формулу Рунге-Ромберга при p=2 и k=2:

IV. Численное интегрирование.

1. Основные определения. Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы при n и x0:

(4.1)

где, n-количество элементарных отрезков [x_i-x_i-1], i=1,...,n, на которые разбивается отрезок интегрирования [a,b], x_i=(x_i-x_i-1)-длина i-ого отрезка, _i-точка на отрезке [x_i-1,x_i].

Когда функция f(x) задана аналитически в виде формулы и интеграл удается свести к табличному, то интеграл вычисляется с помощью таблиц неопределенных интегралов и формулы Ньютона-Лейбница, например:

(4.2)

где F(x) - первообразная, т.е. F(x)=f(x).

Однако на практике обычно интегралы не сводятся известными приемами к табличным интегралам, даже тогда, когда под интегральная функция задана аналитически, не говоря уже о тех случаях, когда значения под интегральной f(x) заданы в виде таблицы. В этом случае используют численные методы.

2. Основные квадратурные формулы. Для вычисления определенных интегралов используется приближенное соотношение:

(4.2)

которое называется квадратурной формулой с узлами _i и весами g_i.

В этой интеграл приближенно заменяется конечной суммой, члены которой представляют произведение значений функций в некоторых узлах на некоторую величину. Наиболее часто используются следующие квадратурные формулы (Рис.3):

а) формула прямоугольников:

(4.3)

где Для всего отрезка [a,b] имеем:

(4.4)

Погрешность формулы прямоугольников, полученная с помощью ряда Тейлора равна:

(4.5)

- максимальное значение второй производной на отрезке [a,b].

б) формула трапеции:

(4.6)

где f_i=f(x_i), i=1,...n. Для всего отрезка имеем:

(4.7)

при этом погрешность равна:

(4.8)

в) формула Симпсона (формула парабол):

(4.9)

Для всего отрезка:

(4.10)

где

(4.11)

Погрешность формулы Симпсона равна:

(4.12)

3. Правило Рунге практической оценки погрешности и уточнению по Ричардсону. Пусть I - точное значение интеграла, I_h - значение интеграла, вычисленное по квадратурной формуле с шагом h, а I_h/2- значение того же интеграла, вычисленное для шага h/2. Можем записать:

(4.13)

где c - константа.

Величина ch^k- называется главной частью погрешности квадратурной формулы с порядком точности k по шагу h. Остальная часть погрешности обозначена как 0(h^k+1) и имеет порядок k+1.

Вычитая из первого уравнения второе, получаем соотношение, которое с точностью порядка 0(h^k+1) позволяет вычислить значение главной части погрешности:

(4.14)

Данная формула называется практической оценкой погрешности по правилу Рунге, так как позволяет рассчитать абсолютную погрешность вычислений определенного интеграла с точностью до , т.е. можем записать:

(4.15)

Подставляя выражение для главной части погрешности в первую формулу (4.13), получаем формулу для уточнения значение интеграла по Ричардсону:

(4.16)

Для формул прямоугольников, трапеций и ячеек имеем k=2, для формул Симпсона-k=4.