5. Скалярное произведение векторов

5.1. Скалярным произведением векторов иназывается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Для скалярного произведения принято обозначение .

Таким образом, по определению

.

Если хотя бы один из векторов инулевой, скалярное произведение полагается равным нулю.

5.2. Зная координаты векторов и, можно найти их скалярное произведение по формуле

.

5.3. С помощью скалярного произведения можно вычислить угол  между векторами и по формуле

.

Или в координатах

.

5.4. Из 5.3 следуетусловие перпендикулярностиненулевых векторов:

.

6. Векторное произведение векторов

6.1. Векторным произведением двух неколлинеарных векторов иназывается вектор, удовлетворяющий трем условиям:

1),;

2) вектор ориентирован так, что тройка векторов,,образует правую тройку векторов;

3) , где – угол между векторами и.

Для векторного произведения принято обозначение

6.2. Из определения получаем условие коллинеарности двух векторов: два вектора иколлинеарны (угол между ними равен 0 или 180⁰, значит ) тогда и только тогда, когда их векторное произведениеравно нулю.

6.3. В декартовых координатах векторное произведение векторов ипредставляется в виде определителя третьего порядка

,

где – орты декартова базиса (единичные взаимно перпендикулярные векторы, образующие правую тройку).

6.4. Геометрический смысл векторного произведения векторов изаключается в том, что модуль векторного произведения данных векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е.

S_пар-ма.

Рис. 6

7. Смешанное произведение векторов

7.1. Смешанным произведением трех векторов называется скалярное произведение (т.е. число) векторного произведения двух первых векторов на третий вектор.

Для смешанного произведения принято обозначение . Таким образом, по определению

.

7.2. Смешанное произведение трех векторов, взятое по модулю, равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:

Vпар-да

7.3. Условие компланарности трех векторов:смешанное произведениеравно 0 тогда и только тогда, когда векторыкомпланарны.

7.4. Если известны координаты векторов,,, то смешанное произведение вычисляется по формуле

.

8. Прямая линия на плоскости

8.1. Уравнение прямойможно записать, если:

1) на прямой известна точка и известен вектор, перпендикулярный этой прямой (векторназываютнормальным вектором прямой) (рис. 7а)

2) на прямой известна точкаи известен вектор, параллельный этой прямой (векторназываетсянаправляющим вектором прямой), (рис. 7б).

а)

б)

Рис. 7

8.2. Как получить уравнение прямой в том и другом случаях?

а) Пусть задана точкаи известен вектор. Получим уравнение прямой, проходящей через точкуперпендикулярно вектору. Для этого возьмем на прямой произвольную точку(рис. 8а)

а)

б)

Рис. 8

Поскольку векторы иперпендикулярны, т.е.,, то их скалярное произведение равно нулю:. А так как,, то в координатах получаем

.

Раскрыв скобки и обозначив , получаем общее уравнение прямой на плоскости

.

б) Пусть теперь задана точка и известен вектор. Получим уравнение прямой, проходящей через точкупараллельно вектору. Для этого возьмем на прямой произвольную точку(рис.8б).

По условию коллинеарности векторов (см. свойство 4.3) иполучаемканоническое уравнение прямой на плоскости

.

Если на прямой заданы две точки итогда также известен направляющий вектор(рис. 9) прямой и каноническое уравнение примет вид

.

Это уравнение прямой, проходящей через две точки.