1.2.2 Нелинейные модели парной регрессии и корреляции Виды нелинейных уравнений регрессии

Различают два класса нелинейных регрессий:

1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например

• полиномы различных степеней – ,;

• равносторонняя гипербола – ;

• полулогарифмическая функция – .

2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например

• степенная – ;

• показательная – ;

• экспоненциальная – .

Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных (линеаризация), а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов.

Несколько иначе обстоит дело с регрессиями нелинейными по оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные(приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований, например, логарифмированием) инелинейные модели внутренне нелинейные(к линейному виду не приводятся).

К внутренне линейным моделям относятся, например, степенная функция – , показательная –, экспоненциальная –, логистическая –, обратная –.

К внутренне нелинейным моделям можно, например, отнести следующие модели: ,.

Среди нелинейных моделей наиболее часто используется степенная функция , которая приводится к линейному виду логарифмированием:

,

где . Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных:

а затем потенцированием находим искомое уравнение.

Широкое использование степенной функции связано с тем, что параметр в ней имеет четкое экономическое истолкование – он является коэффициентом эластичности.

Коэффициент эластичностипоказывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:

(1.17)

Так как для остальных функций коэффициент эластичности не является постоянной величиной, а зависит от соответствующего значения фактора , то обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности:

. (1.18)

Приведем формулы для расчета средних коэффициентов эластичности для наиболее часто используемых типов уравнений регрессии:

Таблица 1.2

Вид функции,	Первая производная,	Средний коэффициент эластичности,	Линеаризация
1	2	3	4
			-
			Х1=х,Х2=х2
			Х=1/х, Y=y
			Х=lnх, Y=lny
			Х=х, Y=lny
			Х=lnх, Y=y
			Х=х, Y=lny
			Х=х,Y=1/y

Нелинейные зависимости в экономике

Среди класса нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу: . Она может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, не только на микроуровне, но и на макроуровне. Классическим ее примером являетсякривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы х и процентом прироста заработной платы у.

.

Английский экономист А. В. Филлипс, анализируя данные более чем за 100-летний период, в конце 1850-х гг. XX в., установил обратную зависимость процента прироста заработной платы от уровня безработицы.

Для равносторонней гиперболы вида , заменивна z, получим линейное уравнение регрессии, оценка параметров которого может быть дана МНК. Система нормальных уравнений имеет вид:

Правомерность использования равносторонней гиперболы для кривой Энгеля довольно легко доказывается. Соответственно можно определить границу величины дохода, дальнейшее увеличение которого не приводит к росту доли расходов на отдельные непродовольственные товары.

Вместе с тем равносторонняя гипербола не является единственно возможной функцией для описания кривой Энгеля. В 1943 г. Уоркинг и в 1964 г. Лизер для этих целей использовали полулогарифмическую кривую.

Заменив lnxна z, опять получим линейное уравнение:. Данная функция, как и предыдущая, линейна по параметрам и нелинейна по объясняющей переменной х. Оценка параметров а иbможет быть найдена МНК. Система нормальных уравнений при этом окажется следующей: