Тема IX. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

1. Дайте определения дифференциального уравнения первого порядка и его общего и частного решения (интеграла). Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка и укажите ее геометрический смысл.

2. Дайте геометрическое истолкование дифференциального уравнения первого порядка, выясните геометрический смысл общего и частного решений.

3. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка. Найдите общее решение уравнения и укажите, где условия этой теоремы не выполняются.

4. Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите примеры.

5. Дайте определение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

6. Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

7. Дайте определение уравнения Бернулли. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

8. Дайте определение линейного дифференциального уравнения n-го порядка (однородного и неоднородного).

9. Дайте определение линейно зависимых и линейно независимых функций и приведите примеры. Сформулируйте обратную теорему для линейно независимых решений (интегралов) однородного линейного дифференциального уравнения.

10. Приведите теорему об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

11. Изложите метод нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если извест­но одно его частное решение. Приведите пример.

12. Приведите формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных различных корней характеристического уравнения. Приведите пример.

13. Приведите формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных равных корней характеристического уравнения. Приведите пример.

14. Приведите формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения. Приведите пример.

15. Приведите теорему об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

16. Изложите правило нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида e^xP_n(x), гдеР_n(х)— многочлен степениn≥0.

17. Изложите правило для нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида e^x(A cos βx+B sin βx).

Тема X. Ряды.

1. Дайте определения сходящегося и расходящегося рядов. Исследуйте сходимость ряда, составленного из членов геометрической прогрессии.

2. Приведите необходимый признак сходимости ряда.

3. Приведите теорему о сравнении рядов с положительными членами. Приведите пример применения этого признака.

4. Приведите признак Даламбера сходимости знакопеременных рядов. Приведите пример применения этого признака.

5. Приведите признак Коши сходимости рядов с положительными членами. Приведите пример применения этого признака.

6. Приведите интегральный признак сходимости ряда Коши. Приведите примеры применения этого признака.

7. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Сформулируйте свойства абсолютно сходящихся рядов. Приведите примеры абсолютно и условно сходящихся рядов.

8. Приведите признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Приведите пример на применение этого признака.

9. Дайте определение области сходимости функционального ряда. Приведите примеры рядов с различными областями сходимости.

10. Дайте определение понятия равномерной сходимости последовательности функций. Какой ряд называется равномерно сходящимся?

11. Приведите теорему Абеля о сходимости степенных рядов.

12. Приведите формулу для вычисления радиуса сходимости степенного ряда.

13. Приведите пример оценки точности вычисления суммы знакочередующегося ряда.

14. Изложите метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Приведите пример.