Задачи для контрольных заданий Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры

1-10.Даны координаты вершин треугольника. Найти: 1) Длины сторон треугольника; 2) Внутренний угол при вершинеAтреугольника; 3) Уравнение прямойBC; 4) Уравнение высоты, опущенной из вершиныA; 5) Уравнение прямой, проходящей через вершинуA, параллельно сторонеBC.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Пример.

1) Найдем сначала координаты векторов ,и. Для этого из координат конца вектора вычитаем координаты его начала:

.

.

.

Модуль вектора (равный расстоянию между точками AиB,AиC,BиC) представляет собой корень из суммы квадратов координат соответствующего вектора:

.

.

.

2) Внутренний угол при вершине Aтреугольника найдем как угол между сторонамиABиACтреугольника. Этот угол равен углу между векторамиии находится по формуле:

.

Тогда ;.

3) Уравнение прямой BCзапишем используя уравнение прямой, проходящей через две точки с координатамии:

.

Подставляя значения координат точек BиC, получим

.

После приведения подобных получим уравнение прямой BC:

.

4) Высота, опущенная из вершины , перпендикулярна стороне. Следовательно скалярное произведение вектора, лежащего на высоте (будем обозначать его) и вектораравно нулю. Векторимеет координаты, гдеx иy– координаты произвольной точки, лежащей на высоте. Запишем скалярное произведение:

.

После раскрытия скобок и приведения подобных получим

;

.

Это и есть искомое уравнение высоты.

5) Вектор , параллельный стороне, имеет координаты, гдеx иy– координаты произвольной точки этого вектора. Из условия параллельности векторовиследует. Подставляя в это соотношение координаты соответствующих векторов и приводя подобные получим

; ;

; .

11-20.Даны координаты вершин пирамидыA₁A₂A₃A₄. Найти: 1) длину ребраA₁A₂; 2) угол между ребрамиA₁A₂иA₁A₄; 3) площадь граниA₁A₂A₃; 4) объем пирамиды; 5) уравнение плоскостиA₁A₂A₃; 6) уравнения прямойA₁A₄; 7) Угол между ребромA₁A₄и граньюA₁A₂A₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершиныA₄на плоскостьA₁A₂A₃.

11. 

12.  

13.  

14.  

15.  

16.  

17.  

18.  

19.  

20. 

Пример.

Если точка - начало вектора, а точка- его конец, то координаты вектора находятся по формулам

1) Найдем сначала координаты вектора :

.

Модуль вектора (равный расстоянию между точками A₁иA₂) представляет собой корень из суммы квадратов координат вектора:

.

2) Угол между ребрами A₁A₂иA₁A₄равен углу между соответствующими векторами и находится по формуле:

, где - скалярное произведение векторов, записанное в координатной форме.

Координаты вектора равны:

, .

Тогда ;.

3) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ,,, имеет вид:

.

Подставляя значения координат, вычисляем определитель:

Итак, искомое уравнение плоскости имеет вид

или .

4) Уравнения прямой, проходящей через точки и, имеет вид

.

Таким образом, получаем искомые уравнения:

.

5) Если даны плоскость с нормальным вектороми прямаяс направляющим вектором, то угол между прямой и плоскостью определяется по формуле

.

Так как , а, то

, .

6) Площадь треугольника, построенного на двух векторах, равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

, где - векторное произведение векторов.и.

Так как

,

то

(кв. ед.).

7) Объем пирамиды, построенной на трех векторах, равен одной шестой модуля смешанного произведения этих векторов:

.

Следовательно,

(куб. ед.)

8) Так как в качестве направляющего вектора прямой, проходящей через заданную точку Dперпендикулярно плоскостиABC, можно выбрать вектор нормалиnк плоскости, то канонические уравнения искомой прямой запишется в виде

.

Пример.2.Из точки P(2;3;-5) на координатные плоскости опущены перпендикуляры. Найти уравнение плоскости, проходящей через их основания.

Основаниями перпендикуляров, опущенных из точки P(2;3;-5) на координатные плоскости, служат точки P₁(2;3;0), P₂(2;0;-5) и P₃(0;3;-5). требуется составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Чтобы найти нормальный вектор плоскости, рассмотрим два вектора и. Они лежат в искомой плоскости, значит,и. Следовательно,

,

Уравнение искомой плоскости, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁) перпендикулярно вектору, имеет вид:

;

.

в) Составить канонические уравнения прямой

Чтобы найти какую – либо точку, принадлежащую прямой, зафиксируем одну переменную, например z, положив z = 0, и решим полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными

Таким образом, одна из точек, принадлежащих прямой, имеет координаты .

Теперь найдем направляющий вектор прямой. Так как и, то

.

Канонические уравнения прямой запишутся в виде:

.