f (2 −0) = lim 2x = 4 ,

f (2 +0) = lim x2 = 4 .

x→2−0

x→2+0

Значение функции в точке x = 2

определяется третьим аналитическим

выражением, т.е.

f (2) = 22 = 4 . Так как

f (2 −0) = f (2 +0) = f (2) ,

то в точке x = 2 функция непрерывна.

Задания для самостоятельного решения

3.32.Исследовать на непрерывность функции и установить характер точек

разрыва:

1

1

1)

y =

;

2)

y =

;

5

− x

(x +3)3

3)

y =

1

;

4)

y =

1

;

x2 −4

x2

−5x +

6

5)

y =

2

;

6)

y =

tgx

;

3x −1

x

1

1

7)

y = 4x +1;

8)

y = arcsin

;

x2

1)

y =

sinx

;

2)

y =

x2

+ 4x

;

x

x

3)

y =

1

− x + 2

;

4)

y =

ex

−1

.

x

+1

x

следовать функцию на непрерывность:

1) f (x) =

2 − x,

x

> 0,

a = 0, a =1;

x2 − 4,

x ≤ 0,

sin x

,

x ≥ 0,

2) f (x) =

x

a = 0;

x < 0,

cos x,

3) f (x) =

1

+ x,

x > 0,

a = 0, a =1;

− x,

x ≤ 0,

1

sin x

,

x ≠ 0,

4) f (x) =

| x |

a = 0, a =π;

x = 0,

1,

5) f (x) =

x

,

x < 0,

a

= 0, a

=1;

e

5 + x,

x ≥ 0,

6) f (x) =

x +1,

x < 0,

a

= 0, a

=1;

2x ,

x ≥ 0,

1

1

7) f (x) =

,

a = 0;

8) f (x) = ex ,

a = 0;

1

2 − 2x

1

9)

f (x) =

1

,

a = 0;

10)

f (x) =

2 +

,

a =1;

1

1 x−1

1

+3

1 − 4x−1

1

11)

f (x) =

4

,

a = ±2;

12)

f (x) =

,

a = ±3;

(x − 2)3

1 + 21 (x−3)

13)

f (x) = arctg

1 ,

a = ±0;

14)

f (x) = log(2 − x) ,

a = 2 −0 .

x

2 − x

3.35. При каком значении A функция является непрерывной в точке x0 = 0 :

tgx

,

x

−

π

;0

0;

π

ln(x +1)

,

x (−1;1),

x

4

4

,

x

1) y =

2) y =

x =

0;

x = 0;

A,

A,

−

1

−

1

x|x2 −4|

3)

x2

, x ≠

0,

, x

≠ 0,

y = e

4) y = e

x =

0;

x = 0?

A,

A,

3.36. Исследовать на непрерывность и изобразить графически функции:

1) y =

2

;

2) y =| x −2|;

x

−

5

3) y =5

3

;

4) y =

sin 2x

.

x−1

x

Задания для индивидуальной работы № 8

Задание 8.1. Вычислить предел функции (см. табл. 8.1):

Таблица 8.1

Номер

Номер

варианта

варианта

1

lim

2x

2

−3x +1

16

lim

x

2

− x − 2

x2 + x − 2

x→1

x→−1 x2 + 4x +3

2

lim

2x

2

−5x + 2

17

lim

x

2

+3x + 2

x2 −3x + 2

2x2 +3x − 2

x→2

x→−2

3

lim

3x

2

− 4x +1

18

lim

2x

2

−3x +1

x2 −3x + 2

2x2 +3x − 2

x→1

x→1 2

4

lim

x

2

− 2x −3

19

lim

x

2

−3x − 4

x→3

x2 − 4x +3

x→4

x2 −6x +8

5

lim

x

2

− 2x −3

20

lim

x

2

+3x − 4

x→3

x2 − 4x +3

x→1

x2 + x − 2

6

lim

x

2

− x − 2

21

lim

x

2

+3x + 2

x→−1 x2 +3x + 2

x→−1

2x2 + x −1

7

lim

3x

2

+5x − 2

22

lim

3x

2

+ 2x −1

x2 + x −2

3x2 −7x + 2

x→−2

x→1 3

8

lim

3x

2

+5x − 2

23

lim

x

2

+ 2x −3

x2 + x −2

x2 + 4x +3

x→−2

x→−3

9

lim

x

2

+3x + 2

24

lim

x

2

− x − 2

3x2 +5x − 2

x→−2

x→ −1 x2 −3x − 4

10

lim

x

2

+ x − 2

25

lim

x

2

−3x + 2

x2 +3x + 2

3x2 −7x + 2

x→−2

x→2

11

lim

x

2

+ x − 2

26

lim

2x

2

+ x −1

x2 −1

3x2 + 2x −1

x→1

x→−1

12

lim

3x

2

− 4x +1

27

lim

2x

2

+3x − 2

3x2 +5x − 2

2x2 −3x +1

x→1 3

x→1 2

13

lim

3x

2

− 4x +1

28

lim

3x

2

− 4x +1

3x2 −7x + 2

x2 − 4x +3

x→1 3

x→1

14

lim

x

2

+ x − 2

29

lim

x

2

+ x − 2

x2 − 4x +3

x2 −3x + 2

x→1

x→1

15

lim

x

2

−3x − 4

30

lim

x

2

+ 2x −3

x2 + 4x +3

x→−1

2x2 + x −1

x→−3

Номер

варианта

1

lim

2x3 +3x2 +1

xlim→±∞(

х

2

+ 2х−1 −

х

2

− х

+3)

x

4

− 2x + 2

x→∞

2

lim

7x

8

+

4x

5

−3х

lim

(

х2 +5х−1 −

х

2 −3х+ 4

)

x→∞

5 − x8

x→±∞

3

lim

x

4

− 2x

3

+ 4х

lim

(

2х2 − 4х+3 −

х2 − 2х+1

)

x→∞

x→±∞

4

lim

7x

5

+

4x

3

−3х

lim

(

х2 + х+3 −

х2 − х+5

)

x→∞

x→±∞

5

lim

9x

2

+1

lim

(

5х2 +10 −

х2 − 2х

)