Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Практикум по высшей математике_часть 1.pdf

Скачиваний:

230

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

6 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

19)	limn→∞(		n2 + n +1 −	n2 − n +1);
21)	lim	(n −1)(n − 2)(3 − n)				;
21)	lim	(n +1)(n + 2)(3 + n)				;
	n→∞	(n +1)(n + 2)(3 + n)
23) limn→∞(			2n2 + n −1 −		2n2 −3n −1);
25) limn→∞(3 (n +1)2 − 3 (n −1)2 );
27)	lim1 − 2 +3 − 4 +... − 2n ;
	n→∞		n2 +1 + 4n2 −1
29)	lim		1 + 2 +3 +... + n		−	n
29)	lim		n + 2		−	;
	n→∞		n + 2			2
31)	lim	(n + 2)!+ (n +1)! ;
	n→∞		(n +3)!

33)lim 1 + 12 + 14 +... + 12n ; n→∞ 1 + 13 + 19 +... + 13n

35) lim		52n	;
	1	+52n+1
n→∞

ТЕМА 3

20)

lim

n(n +1)(n + 2)

;

(n +3)(n + 4)(n +

n→∞

22)

lim

n + 2

;

n −1 +

n +

n→∞

24)

limn→∞(3 n2 − n3

+ n);

26)

lim

;

n + n + n −

n→∞

28)

lim

n2 −1 +

;

4 n3 +1 −

n→∞

30)

lim

;

(n +1)!− n!

n→∞

32)

lim

(n + 2)!+ (n +1)! ;

n→∞

(n + 2)!−(n +1)!

34)

lim

;

2 +3n

n→∞

36)

lim

2n − 2−n

2n + 2−n

n→∞

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Понятие предела функции. Односторонние пределы


Число	A называется пределом функции				y = f (x)	при	x → x0 , если для
любого ε > 0	существует δ =δ(ε) > 0 , зависящее от ε,					такое,	что для всех x ,
удовлетворяющих		неравенству	x − x0	<δ	справедливо			неравенство

f (x) − A

<ε . Обозначают: lim f (x) = A, f (x) → A или f (x) → A при x → x0 .

x→x0

при x → x0 , если

Число A называется пределом справа функции y = f (x)

для любого ε > 0 существует такое δ =δ(ε) > 0 ,

что для всех

x , удовлетво-

ряющих неравенству 0 < x − x0 <δ справедливо неравенство

f (x) − A

<ε . Обо-

значают: lim f (x) = A.

x→x0

при x → x0 , если

Число

A называется пределом слева функции y = f (x)

для любого ε > 0 существует такое δ =δ(ε) > 0 ,

что для всех

x , удовлетво-

ряющих неравенству −δ < x − x0 < 0

справедливо

неравенство

f (x) − A

<ε .

Обозначают:

lim f (x) = A.

x→x0 −0

113

Если x0 = 0 , то пишут просто x → +0 или x → −0 и соответственно f (+0) или f (−0) .

Техника вычисления пределов

1) Если существует lim f (x) = A и lim g(x) = B , то существуют пределы:

x→x0

а)

lim( f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x) = A ± B ;

x→x0

б)

lim( f (x) g(x)) = lim f (x) lim g(x) = A B ;

x→x0

в)

lim cf (x) = c lim f (x) = cA , где c = const ;

x→x0

f (x)

lim f (x)

)

г) lim

x→x0

lim f (x) ≠ 0

g(x)

lim g(x)

x→x0

(x→x0

x→x0

2) Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения справедливо равенство

	lim f (x) = f (lim x) = f (x0 ) .
	x→x0						x→x0
3) Частое применение находят следующие пределы:
lim sin x		=1 – первый замечательный предел;
x→0	x								x
		1						1	x
lim(1+ x) x =lim								1	=e =2,71828...– второй замечательный предел;
lim(1+ x) x =lim						1+		x	=e =2,71828...– второй замечательный предел;
x→0				x→∞				x
lim	loga (1 + x)				= loga e,					(a > 0, a ≠1) ;
lim		x			= loga e,					(a > 0, a ≠1) ;
x→0		x
lim ln(1 + x)				=1;						(3.1)
x→0	x
lim	ax −1		= ln a,				(a > 0) .			(3.2)
lim	x		= ln a,				(a > 0) .			(3.2)
x→0	x

Раскрытие неопределенностей

Если функция f (x) определена в точке x0 , то вычисление предела вида

lim f (x) сводится к непосредственной подстановке значения x0 вместо x и ис-

x→x0

пользованию свойств пределов. На практике при вычислении пределов формальная подстановка вместо переменной x ее предельного значения приводит

к неопределенностям вида		,			,	{∞ −∞}, {0 ∞},	{	}	,	{	}	,	{	}	.
к неопределенностям вида	0	,		∞	,	{∞ −∞}, {0 ∞},	1∞		,	00		,	∞0		.
	0		∞

114

1. Для раскрытия неопределенности вида ∞ числитель и знаменатель

∞

(если они являются многочленами относительно независимой переменной x ) делят на переменную x в старшей степени.

2.При раскрытии неопределенности вида 0 можно попытаться чис-

литель и знаменатель разложить на множители и дробь сократить. Если под знаком предела стоит тригонометрическая функция, то можно применить первый замечательный предел.

3. Неопределенности вида {∞ −∞} и {0 ∞} с помощью элементарных преобразований функции, стоящей под знаком предела, приводят к неопреде-

	∞		0
ленностям вида		или		.

	∞	0

	{	}	используют второй замечатель-
4. В случае неопределенности вида 1∞			используют второй замечатель-
ный предел.
Эквивалентные бесконечно малые
Функция α(x)	называется бесконечно малой при				x → x0 , если
lim α(x) = 0 .
x→x0
Если α(x) и β(x)	бесконечно малые при x → x и lim α(x)				=1, то α(x) и
			0	x→x0 β(x)
				x→x0 β(x)

β(x) называют эквивалентными бесконечно малыми. Обозначают α(x) β(x) .

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

(α(x) – бесконечно малая при x →0 )

sinα(x) α(x) ;

ln(1+α(x)) α(x) ;

tgα(x) α(x) ;

aα( x) −1 α(x)ln a ;

1 −cosα(x) α

α( x)

α(x) ;

(x)

;

−1

arcsinα(x) α(x) ;

(1+

(x))

n −

1 n (x) ;

arctgα(x) α(x) ;

10.

n 1+α(x) −1

α(x)

Примеры решения задач

Пример3.12. Исходяизопределенияпредела, доказать, что lim(3x − 4) = 2 .

x→2

Решение. Пусть ε – произвольное положительное число. Необходимо доказать, что существует такое δ > 0 , что при всех значениях x , удовлетворяю-

115

щих условию

x − 2

<δ справедливо неравенство

(3x − 4) − 2

<ε . Из последне-

го неравенства

получаем:

3x −6

<ε

или

x − 2

<ε . Тогда, как только

x − 2

<ε / 3 =δ ,

выполняется требуемое

равенство

(3x − 4) − 2

<ε . Следова-

тельно, lim(3x − 4) = 2 .

x→2

Пример 3.13. Вычислить lim

3x − x2 ln(x −1)

+ 6

x→2

Решение. Так как пределы числителя и знаменателя существуют и предел

знаменателя не равен нулю, то

lim

3x − x2 ln(x −1)

6 − 4 0

x + 6

2 + 6

x→2

Пример 3.14. Вычислить

lim

x3 +2x −4

3x3 +1

x→∞

Решение. Здесь имеем неопределенность вида ∞

. Числитель и знаме-

∞

натель дроби разделим на x3 :

+2x −4

∞

−

lim

=lim

3x3 +1

x→∞

∞

x→∞

3 +

Пример 3.15. Вычислить

lim

x2 +2x +1

x→−1 x2 +5x +4

Решение. Непосредственная подстановка значения x = −1, дает неопреде-

ленность вида

. Так как числитель и знаменатель многочлены, то их можно

разложить на множители. Тогда

lim

+2x +1

=lim

(x +1)2

=lim

x +1

=0 .

+5x +4

x→−1 x2

x→−1 (x +1)(x +

x→−1 x +4

Пример 3.16. Вычислить

lim

x −2

x2 +5 −3

x→2

Решение. Как и в предыдущем примере,

здесь неопределенность вида

0 . Раскроем неопределенность, умножив числитель и знаменатель дроби на

⎩0

выражение, сопряженное выражению ( x2 +5 −3):

116

x −2

(x −2)(

x2 +5 +3)

lim

=lim

( x2 +5 −3)( x2 +5 +3)

x→2

x2 +5 −3

x→2

= lim

(x − 2)(

x2 +5 +3)

= lim

(x − 2)

( x2 +5 +3)

x2 +

5 −

x2 − 4

x→2

= lim

(x − 2) (

x2 +5 +3)

= lim

( x2 +5 +3)

3 +3

(x − 2) (x + 2)

+ 2

x→2

Пример 3.17. Вычислить

1) lim

1−cos x

;

2) lim cos(πx / 2) .

x→0

x→1

1− x

Решение. Здесь для раскрытия неопределенности вида 0 воспользуем-

⎩0

ся первым замечательным пределом. 1)

lim

1−cos x

=lim

2sin2 (x / 2)

sin(x / 2)

lim

x / 2

x→0

2 x→0

2) Пусть t = x −1. Тогда x =t +1 и t → 0 при x →1. Следовательно,

cos πx

cos π(t +1)

πt

cos

lim

= = −lim

= −lim

1− x

x→1

t→0

πt

= −lim

−sin

π lim

sin 2

π .

t→0

2 t

→0

πt

Пример 3.18. Вычислить

lim

4x2

lim

4x2 +1

x +1

x→+∞

x→−∞

Решение. Если x > 0 (x →+∞) , то

x2 = x . Тогда

lim

4x2

= lim

x2 (4 +1/ x2 )

= lim

x (4 +1/ x2 )

= 2.

x→+∞

x +

x→+∞

x(1

+1/ x)

x→+∞

x(1+1/ x)

Если x < 0 (x → −∞) , то

= −x . Тогда

117

lim

4x2 +1

= lim

(4 +1/ x2 )

= lim

−x (4 +1/ x2 )

= −2 .

x +1

x(1+1/ x)

x(1

+1/ x)

x→−∞

Пример 3.19. Вычислить lim

−

x→1

х−

−1

Решение. Имеем неопределенность вида {∞ −∞}. Преобразуем функцию,

стоящую под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю

2(х+1) − 4

lim

−

={∞ −∞}= lim

х−1

−1

x→1

−1

x→1

= lim

2(х−1)

= lim

=1.

х2 −

x→1

x→1 х

Пример 3.20. Вычислить lim 1+ 12 .

x→∞ x

Решение. Для раскрытия неопределенности {1∞} используем второй замечательный предел:

lim

1∞

}

=lim

=ex→∞ x

=e0 =1.

{

x→∞

Пример 3.21. Вычислить

lim ln(1+ x) .

x→0

3x −1

Решение. Из равенства (3.2) имеем lim

−1

= ln 3. Отсюда и равенства (3.1)

x→0

ln(1+ x)

lim

=lim

−1

ln3

x→0

−1

Пример 3.22. Вычислить односторонние пределы:

1) lim

;

2) lim

x −1

1 +31/ x

x→1±0

x→±0

Решение. 1) Если x <1, то x −1 < 0 и, следовательно, lim

= −∞. Если

x −1

x→1−0

x >1, то x −1 > 0 и, следовательно, и

lim

= +∞.

x→1+0 x −1

118

2) Если x < 0 , то lim

1 = −∞ и lim 3x

= 0 . Следовательно,

lim

=1.

1 +31/ x

x→−0

Если x > 0 , то lim

= +∞ и lim 3x = +∞. Следовательно, lim

0 .

x→+0

x→+0 1 +31/ x

Пример 3.23. С помощью принципа замены эквивалентных вычислить:

1) lim

sin 4x

;

2) lim1 −cos 2x .

ln(1 + 4x)

x→0

tg3x

Решение. 1) Имеем sin 4x 4x , ln(1 + 4x) 4x (см. таблицу эквивалентных

бесконечно малых функций). Тогда

lim

sin 4x

= lim

=1.

ln(1 + 4x)

x→0

2) Из

таблицы эквивалентных бесконечно малых

функций имеем:

1 −cos 2x

(2x)2

2x2 , tg3x 3x . Поэтому

lim

1 −cos 2x

= lim

2x2

= lim

= 0 .

tg3x

x→0

Задания для самостоятельного решения

3.23. Пользуясь определением предела функции в точке, доказать, что:

1) lim(3x + 2) =8;

2) lim(4 + 2х) = 4 ;

3) lim

=1;

x→2

x→0

x→1

4) lim

=1;

5) lim cos x = cos x ;

6) lim

x =

x .

x→∞ х− 2

x→x0

3.24. Доказать, что функция

f (x) = x2 при

x → 0 является бесконечно

малой. При каких значениях переменной x значения функции будут отличаться от нуля меньше, чем на: 1) 0,01; 2) 0,001.

3.25. Для функции f (x) = 2x +3 и заданного числа ε > 0 указать число δ такое, что для каждого x , удовлетворяющего условию 0 <| x −3 |<δ . Справедливо неравенство | (2x +3) −9 |<ε , если:

1) ε =1;	2) ε = 0,5;	3) ε = 0,01;	4) ε =ε0 .
3.26. Найти:

1) lim	2x2	+	1	−sinπx	;
x→1			x

3) lim((4x2 −1)cos x) ;

x→2

2) lim (2x + cos x) ;

x→π / 2

4) lim	x2	− 2x +1	;
		x +1
x→1

119

lim(3 − x)10 ;

x→2

lim(2x2 − 2x +1) ;

x→2

lim

−3x + 4

;

x2 − 4

x→1

3.27.

Найти:

lim

;

+ 2

x→∞ x2

xlim→+∞

(

x(x +1) − x);

xlim→+∞

(x +

x +5 );

lim

x2 +3 + 4 81x4 +1

;

5 x5 −1

x→±∞

xlim→+∞(

x2 +1 − x);

11)

lim

x2 −1 −

3 8x3 +1

;

3 x3 −1

x→−∞

13)

lim

x2 + 2 −

3 x3 −1

;

4 x4 +8

x→+∞

15)

limx→∞(

x2 −1 −

x2 +1);

17)

xlim→±∞ x(

x2 +1 − x);

19)

xlim→±∞

(x −

x2 + x +3);

21)

lim

x2 −7x +1

;

3x x2

x→∞

23)

lim (

х+5 −

х) ;

x→+∞

25)

lim (

х2 +10х − х) ;

x→±∞

27)

lim

3х +1

;

3х −1

x→±∞

3.28.

Найти:

lim

− x2 + 2х

;

x2 + х

x→0

6) lim

3 + x −1

;

x + 2

x→1

lim

+ 2

;

(x −1)8

x→2

10) lim

x2 +8x − x

x +3 +

x→1

lim

x2 + 2 − 3

x3 −1

;

x4 +8

x→−∞

x2 +1);

4) limx→∞(

x2 + 2x −

xlim→+∞(

x + 2 − x);

lim

x +

;

x +1

x→+∞

x2 +1 + x);

10)

xlim→−∞(

12)

lim

x2 + 2 −

3 x3 −1

;

4 x4 +8

x→−∞

14)

lim

x2 +1 −

;

x3 + x − x

x→∞

16)

xlim→±∞(

x2 − 2 − x);

x2 −5x +1);

18)

xlim→±∞(

x2 − 2x −1 −

20)

xlim→+∞

x (3 (x +1)2 − 3 (x −1)2 );

22)

lim

+ arcctgx

;

x→±∞

x +

24)

lim (

2х+1 −

х+ 2) ;

x→+∞

26)

lim (

4х2 +3х − 2х) ;

x→+∞

28)

lim

2 5х

−3

5х

+ 4

x→±∞

lim

− 4

;

+ 2

x→−2

120

3) lim

3 − x

;

x3 − 27

x→3

lim

2x2 − x −3

;

2x2 −5x +3

x→3 / 2

lim

2x2 −7x − 4

;

x→−1/ 2 −2x2 +5x +3

lim

3x2 + 2x −1

;

27x3 −1

x→1/ 3

11)

lim

2х+3 −3

;

3 − x

x→3

13)

lim

2 −

6 + х ;

x→−2

7 − х −3

15)

lim

4х+1 −3

;

х+ 2 − 2

x→−2

17)

lim

х− 3х+ 4

;

16 − х2

x→4

19)

lim

х −8

;

4 − 3

x→64

21)

lim

x3 +1

;

x +1

x→−1

23)

lim

7 + 2x −5

;

x −3

x→9

25)

lim

3 x − x

;

x −1

x→1

27)

lim

(1 + x3 ) −(1 +3x)

;

x3 + x2

x→0

29)

lim

3 x − 4

;

x2 −1

x→1

31)

lim

x −

3x − 2

;

x→2

x2 − 4

33)

lim

1 + x + x2 − 1 − x + x2

;

x2 − x

x→0

35)

lim (x − 2)

x −1 ;

x→2

x2 − 4

lim

− 4x −5

;

− 2х−3

x→−1 x2

lim

3x2 + 2x −1

;

−х2 + x + 2

x→−1

lim

2 −11x + 6

;

2x2 −5x −3

x→3

10) lim

;

x→0

х+ 4 − 2

12) lim

х −

2 − х

;

x→1

x −1

14) lim

4х+1 −3

;

x→−2

х+ 2 − 2

16) lim

х+1

;

х+

х+ 2

x→−1

18) lim

х −1

;

х −1

x→1

20) lim

2 − 4

;

x −

x→2

22) lim

x −3

;

x −

x→3

24) lim

3 x −1

;

x2 −1

x→1

26) lim

−

;

−1

−

x→1

28) lim

9 + 2x −5

;

x→8

− 2

30) lim

x4 − 4x2 + 4

;

x3 − 2x

x→ 2

32) lim

5 − x − 2

;

2 − x −1

x→1

34) lim

x2 −3

;

x4 −2x2 −3

x→ 3

36) lim

−

;

−3x + 2

x→2

x(x −

121

37)

lim

+ 4 − 2

;

38)

lim

1 + x − 3 1 − x

;

+9 −3

x→0 x2

x→0

39)

lim

+ x + 4 − 2

;

40)

lim

−

;

x +1

1 − x

− 3

x→−1

x→1

3.29. Используя первый замечательный предел, найти:

1) lim sin 2x ;

2) lim sin 2x ;

x→0

sin 5x

3) lim

sin2 3x

;

4) lim

1 −cos5x

;

sin2

xsin 5x

x→0

5) lim

;

6) lim arcsin x ;

tg2x

x→0

7) lim

sin x

;

8) lim sin 7x ;

sin 6x −sin 7x

x→0

sin 3x

9) lim

tg6x

;

10)

lim x2ctg5x ;

x→0

sin8x

x→0

11)

lim

1 −соs3x

;

12)

lim sin(1 − x)

;

x→0

tg2 6x

x→1

x2 −1

13)

lim

;

14)

lim

sin2 5x

;

arcsin12x

arcsin10x

x→0

15)

lim sin x − tgx ;

16)

limctg2

tg2 5x

;

x→0

4sin

2 x

x→0

17)

lim

cos x −cos a

;

18)

lim

1 −cos2 x

;

x −a

1 −cos x

x→a

x→0

19)

lim

sin3 αx

, (αβ ≠ 0) ;

20)

lim

1 −cos6x

;

sin3 βx

xsin 3x

x→0

21)

lim

sin x −sin a

;

22)

lim

sinπx2

;

x − a

sinπx3

x→a

x→1

23)

lim

cos x

;

24)

lim

x −1

;

x −π / 2

x→π

/ 2

x→1

sinπx

25)

lim sin(x − 2) ;

26)

lim sin x +sin1 ;

x→2

x2 − 4

x→−1

x +1

27)

lim cos 2x −cos 4

;

28)

lim ctg3 −ctgx ;

x→−2

4x +8

x→3

x −3

29) lim tg5 − tgx

;

30)

lim cos x −cos7

;

x→5

tg(x −5)

x→7

sin x −sin 7

31)

lim

1 + cos3x ;

32)

lim

| tg2x |

;

1 −cos 2x

x→π

/ 3

tg2 6x

x→0

122

33)	lim		1 − tgx					;
33)	lim	cos(x +π			/ 4)			;
	x→π / 4	cos(x +π			/ 4)
35)	lim	8cos3 x −1				;
35)	lim	x / 2 −π / 6				;
	x→π / 3	x / 2 −π / 6
37)	lim		8cos3 x −1
37)	lim
	x→−π / 3 sin(x +π / 3)
39)	lim	ctgx −1		;
39)	lim			;
	x→π / 4	3 cos 2x
41)	lim		3 tgx −1				;
41)	lim		sin 2x −				;
	x→π / 4		sin 2x −		1

34)

lim

1 − 4sin

2 x

;

/ 6)

x→π / 6 sin(x −π

36)

lim

8sin3 x +1

;

6x +π

x→−π / 6

38)

lim (1 −sin x)tg2 x ;

x→π / 2

40)

lim sin

x + 4

ctg

πx

;

x→−4

42)

lim

3 sin x − 3

sin1

tgx −

tg1

x→1

3.30. Используявторойзамечательныйпредел, найтиследующие пределы:

		1 x
1) lim 1	+		;

x→∞		x +3

3) lim x +3 x+1 ; x→∞ x − 2

5) lim 4x −1 x−1 ; x→∞ 4x +1

7) lim(1 + cos x)−sec x ;

x→0

x2 +1 x

9) lim x2 2 ; x→∞ +

11) lim x[ln x −ln(x + 2)];

x→∞

13) lim 1 + x x ; x→0 x −1

15) lim x +1 2 x+3 ; x→∞ x +3

17) lim 2x[ln(x +1) −ln(2 + x)] ;

x→∞

19) lim(1 + tg2 x)x2 ;

x→0

21) lim(cos x)ctg2 x ;

x→0

23) lim(x + ex ) x ;

x→0

2)		−	4 5 x
2)	lim 1	−		;
	x→∞		x

4) lim 3x +1 2 x+1 ; x→∞ 3x −3

6) lim(1 +sin x)x ;

x→0

1− x

4x +1 1−x

8) lim ; x→∞ 4x − 2

10)	lim x[ln(x +3) −ln x];
	x→∞
			1
12)	lim(1 + 2x) x ;
	x→0
				x x+2
14)	lim				;
14)	lim				;
	x→∞	x +3
				2x −1 1−x
16) lim					;
16) lim					;
	x→∞		2x +3
18)	lim (sin 2x)tg2 2 x ;
	x→π	/ 4

20)	lim(1 +3tg2 x)ctg2 x ;
	x→0
22)	lim	(tgx)tg2 x ;
	x→π / 4
24)	lim	ctg	x	tgx .
24)	lim	ctg	2	tgx .
	x→π / 2		2

123

3.31.		С помощью принципа замены эквивалентных вычислить пределы:
1)	lim		1 −cos x		;	2)	lim ln(1 +sin 4x)			;
			xln(1 −3x)
	x→0						x→0	esin 3x −1
3)	lim		arctg4x	;		4)	lim	esin 5 x −1	;
			arcsin 2x					ln(1 + tg2x)
	x→0						x→0

5) lim ln(2 −cos 4x) ; x→0 ln2 (1 +sin 2x)


7)	lim		1 + x + x2 −1				;
7)	lim		l−cos3x				;
	x→0		l−cos3x
9)	lim	sin		3 x ln(1 + 4x)				;
9)	lim	(e2 x		−1) 3	arcsin x			;
	x→0	(e2 x		−1) 3	arcsin x
11) lim			1 + x2		−1	;
11) lim			x(e4 x −1)			;
	x→0		x(e4 x −1)

6) lim		4	1 + x2 −1	;
			ln cos x
	x→0
8)	lim	sin 2x + arcsin			2 4x −arctg2 5x			;
			3x +1 −cos 2x
	x→0
10) lim			1 −cos x2				;
			xln(1 + arctg2x)
	x→0
12) lim			ln(1 + x2 )			.
			x(1 + 4x)2 − x
	x→0

ТЕМА 4

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.

ТОЧКИ РАЗРЫВА И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 , если

lim f (x) = f (x0 ) .

x→x0

Функция f (x) непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда

lim	f (x) = lim	f (x) = lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0 −0	x→x0 +0	x→x0

Функция f (x) непрерывна на множестве X , если она непрерывна в ка-

ждой точке этого множества.

Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 слева (справа), если

lim	f (x) = f (x0 )	lim f (x) = f (x0 )			)	.
x→x0 −0		(x→x0	+0		)
Если в точке	x0 функция не является непрерывной, то говорят, что она
имеет разрыв в точке x0 и точка x0 называется точкой разрыва.
Точка x0 называется точкой разрыва первого рода функции f (x) , если
пределы слева и справа ( lim f (x) и			lim	f (x) ) конечны. Если при этом
	x→x0 +0		x→x0 −0

124

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
13.04.20155 Мб213Полшков Ю.Н. Курс лекций по высшей математике.pdf
#
13.04.20156 Мб230Практикум по высшей математике_часть 1.pdf
#
13.04.20158 Мб267Практикум по высшей математике_часть 2.pdf