Кинематика твердого тела |
45 |
|
|
Задание 2.2
Кривошипно-ползунный механизм (рис. 16), состоящий из кривошипа ОА, шатуна АВ и ползуна В, совершает движе-
ние в плоскости рисунка. Прямая В1В2, по которой движется ползун В, не проходит через ось вращения О кривошипа и в этом случае кривошипно-ползунный механизм называют
нецентральным.
Кривошип ОА вращается равномерно с угловой скоро-
стью ω OA = const (при ω OA > 0 |
вращение происходит против |
хода часовой стрелки; при ω OA < |
0 - по ходу часовой стрелки). |
На шатуне задана точка С с известным расстоянием АС. В некоторый момент времени положение механизма определяется углом поворота ϕ кривошипа ОА и углом α , который
образуют между собой кривошип и шатун.
Пусть вышеперечисленные параметры имеют следующие
числовые значения: ω |
OA = 10 |
(рад/с); |
ОА = 0.4 (м); АВ = |
1.2 (м); АС = 0.6 (м); ϕ |
= 30° ; α |
= 120° . |
|
Рис 16. Параметры заданного положения и движения кривошипно-ползунного механизма.
46 |
Кинематика твердого тела |
В заданном положении механизма определить
1) скорости точек B и С с использованием мгновенного центра скоростей (МЦС) шатуна АВ, а также скорость точки В с использованием полюса A;
2) ускорения точек B и С.
Решение.
Определение скоростей точек B и С.
Изобразим заданное положение механизма (рис. 17) с конкретными углами ϕ = 30° , α = 120° и в выбранном масштабе по длине (например, в 1 см рисунка – 0.2 м длины ОА и АВ).
По заданной угловой скорости кривошипа ОА найдем модуль скорости точки А
vA = ω OA OA = 10 0.4 = 4 (м/с).
Вектор vA направлен перпендикулярно кривошипу ОА в сторону дуговой стрелки ω OA .
Положение МЦС (точка Р) шатуна найдем по известной скорости vA и известному направлению скорости ползуна В
(см. п. 2 на с. 32). Для этого проводим через точки А и В перпендикуляры к направлениям скоростей этих двух точек до их пересечения в точке Р. По рисунку видно, что треугольник АРВ является равносторонним и, следовательно, АР = ВР = = АВ = 1.2 (м). В других случаях стороны АР и ВР этого треугольника можно найти по теореме синусов, по теореме косинусов или по теореме Пифагора.
Угловую скорость ω (можно также использовать обозначение ω AB ) шатуна АВ определяем через известную скорость
точки А по формуле
ω = vA / AP = 4 /1.2 ≈ 3.33 ( рад / c)
и изображаем дуговой стрелкой вокруг МЦС в направлении, согласованном с направлением вектора vA .
Кинематика твердого тела |
47 |
|
|
Рис 17. Определение скоростей точек В и С.
Скорость vB ползуна В равна по модулю
vB = ω BP = 3.33 1.2 = 4 (м/с)
и направлена вдоль направляющих ползуна в сторону дуговой стрелки ω . В данном случае получилось равенство vA = vB
вследствие равенства расстояний АР = ВР. Отметим также, что полученные скорости vA и vB должны удовлетворять свойству
равенства проекций скоростей (см. с. 30).
Для определения скорости точки С проведем отрезок РС (в данном примере РС является высотой треугольника АРВ) и найдем его длину
PC = AP2 − AC2 = 1.22 − 0.62 ≈ 1.04 (м).
48 |
Кинематика твердого тела |
|
|
Скорость vC равна по модулю |
|
vC = ω |
PC = 3.33 1.04 ≈ 3.46 (м/с) |
и направлена перпендикулярно отрезку РС в сторону дуговой стрелки ω . Скорость vC получилась направленной вдоль
шатуна АВ. Легко видеть, что для других точек этого стержня, расположенных между точками А и С, их скорости будут отклонены вверх (как у точки А), а для точек, расположенных между точками С и В, - вниз (как у точки В).
Тот же вектор vB может быть найден с использованием полюса А по формуле (2.15): vB = vA + vBA . Перенесем вектор vA в точку В и построим вектор vBA , перпендикулярный отрез-
ку АВ и направленный в сторону дуговой стрелки ω |
. Модуль |
||
vBA = |
ω AB = 3.33 1.2 = 4 ( м / c). Здесь |
получилось |
равенство |
vBA = |
vA поскольку равны расстояния |
AB и АР. По рисунку |
|
определяем, что угол между векторами vA и vBA равен 120° . Тогда по формуле (2.16) находим
vB = |
vA2 + vBA2 + 2 vA vBA cos120" = |
= |
42 + 42 + 2 42 (− 0.5) = 4 ( м / c). |
На рисунке вектор vB должен совпадать с диагональю параллелограмма, сторонами которого являются векторы vA и vBA . Это достигается построением векторов vA , vB и vBA в выбран-
ном масштабе (например, 1 см на рисунке соответствует 1 м/с). Отметим, что приведенные в рассмотренном примере масштабы можно изменять и назначать самостоятельно.
2). Определение ускорения точки В.
Ускорение точки В с использованием полюса А определяется по формуле (2.18):
aB = aA + aBAв + aBAц = aτA + aAn + aBAв + aBAц .
Кинематика твердого тела |
49 |
||
|
|
|
= |
Так как кривошип ОА вращается равномерно |
(ω OA |
||
= const), то ε OA = |
ω!OA = 0 . Следовательно, касательное ускоре- |
||
ние точки А aτA = |
ε OA OA = 0 и ее полное ускорение aA совпа- |
||
дает с нормальным ускорением aAn , направлено от точки А к точки О (рис. 18) и равно по модулю
aA = anA = ω OA2
OA = 102 0.4 = 40 ( м / c2 ).
В данной задаче зависимость угловой скорости ω шатуна от времени неизвестна, поэтому приходится определять его мгновенное угловое ускорение ε в заданном положении. Такие задачи могут быть решены, если известно направление ускорения какой-либо точки рассматриваемого тела. Такой точкой шатуна является точка В, направление движения которой известно. Зададимся каким-либо направлением углового ускорения ε (например, против хода часовой стрелки; см. рис. 18) и направлением ускорения aB (например, справа налево; рис.18).
Изобразим на рисунке также вращательное и центростремительное ускорения aBAв , aBAц точки В относительно полюса А.
Рис. 18. Определение ускорения точки В.
50 Кинематика твердого тела
Центростремительное ускорение точки В относительно полюса А по модулю равно
aBAц = ω 2 AB = 3.332 1.2 ≈ 13.30 ( м / c2 ).
Введем систему координат Axy и спроецируем векторное выражение для ускорения aB на оси Ax и Ay:
|
− |
|
|
" |
= |
− |
aA cos60 |
" |
− |
ц |
||
|
aB cos30 |
|
aBA ; |
|||||||||
|
− |
a |
|
sin 30" |
= |
− |
a |
|
sin 60" |
+ |
|
aв . |
|
B |
A |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BA |
||
Полученная система двух алгебраических уравнений содержит
две скалярных неизвестных: |
aB |
и aBAв = ε AB . Из первого |
||
уравнения находим |
|
|
|
|
aB = |
(aA cos60" + aBAц ) / cos |
30" = |
||
= |
(40 0.5 + 13.30) 2 / |
3 |
≈ |
38.45 ( м / c2 ). |
Величина aB оказалась положительной и в этом случае направление вектора aB показано на рис. 18 верно. В другом случае, когда величина aB является отрицательной, верным направление вектора aB будет противоположное тому, которое
изображено на рисунке. Во втором случае перерисовывать вектор aB в верном направлении не требуется.
Далее из второго уравнения алгебраической системы определяем величину ускорения aBAв , а затем – угловое ускорение шатуна:
aBAв |
= |
aA sin 60" − aB sin 30" = |
|
= |
40 |
3 / 2 − 38.45 0.5 ≈ 15.42 ( м / c2 ); |
|
ε = |
aBAв / |
AB = 15.42 /1.2 ≈ 12.85 ( рад / c2 ). |
|