МОТС ИТМО

многочлен и характеристический совпадают так, что выполняются

равенства

( ) D( )

и r n ,

тогда

представление f

r( ) в

форме

интерполяционного

многочлена

Лагранжа–Сильвестра

принимает вид

n ( )...(

)(

)...(

n

)

r( )

1

i 1

i 1

f ( i ) .

(6.10)

i 1)( i

i 1)...( i n )

i 1( i 1)...( i

Матричная функция от матрицы для случая некратных

собственных значений матрицы A принимает с использованием (6.10)

вид

n

(A I )...(A

1

I )(A

I )...(A

n

I )

f (A) r(A)

1

i

i 1

f ( i ).

(6.11)

( i 1)...( i i 1)( i i 1)...( i n )

i 1

Теперь допустим, что характеристический многочлен D( ) имеет

кратные

корни,

но

минимальный

многочлен ( ) ,

являясь

m (A I)...(A

i 1

I)(A

i 1

I)...(A

m

I)

f (A) r(A)

1

f ( i ) .

(6.12)

( i 1 )...( i i 1)( i i 1)...( i m )

i 1

r

i,1

i,2 ( i ) ... i,m ( i )mi 1 i ( ) .

r( )

(6.15)

i 1

i

Если воспользоваться представлением (6.15), то для МФМ можно

записать

i,1I i,2 (A i I) ... i,m (A i I)mi 1 i (A) .

r

f (A) r(A)

(6.16)

i 1

i

Если матрица A представляет собой (n n) жорданову клетку,

многочлен матрицы A (6.17) имеет вид ( ) ( )n , для функции

0

f ( ) полностью

строится по

интерполяционной

схеме

Ньютона и

определяется выражением

f ( )

f (n 1)

( )

( )n 1.

r( ) f ( )

0

( ) ...

0

(6.18)

0

1!

0

(n 1)!

0

В силу (6.18), (6.5), (6.7)

матричная функция

f ( A) от матрицы

A J принимает вид

r(J ) f ( 0 )I

f (

0

)

(J 0 I ) ...

f (n 1) (

0

)

(J 0 I )n 1

1!

(n

1)!

Рассмотрим

теперь

случай, когда

матрица A

имеет

вид

r

A diag Ji ; mi n ,

где Ji (mi mi )

– жорданова

клетка,

i 1

порождаемая собственным значением i

кратности

mi ,

так

что

матрица A принимает вид

i

1

0

0

0

i

1

0

r

A diag J i

; mi n

,

(6.20)

0

0

0

1

i 1

0

0

0

i

тогда в силу (6.18) и (6.19) матричная функция

f ( A) от матрицы A

(6.20) принимает вид

Свойство 6.1 (СВ6.1). Матричная функция от матрицы f( A )

i ;i

собственных векторов i

сохраняет геометрический спектр

1,n

матрицы A :

A i i i , так что выполняется соотношение

f ( A) i

f (i ) i ,

(6.22)

где

f (i ) fi

– собственные значения матрицы f( A ), удовлетво-

ряющие

ее

характеристическому

уравнению det{ f I f ( A)} 0 и

функция f () на спектре A i ;i

вычисляемые как

1,n

если A diag{A1 A2 ... A }, то

f ( A) diag{ f ( A1) f ( A2 ) ... f (A )}.

(6.24)

скалярной экспонентой e t

или

exp( t) , записанной в форме

бесконечного скалярного ряда

2

3

p

k

e t 1 t

t

t

...

t

...

t

,

2!

3!

p!

k 0

k!

и принимает вид

2

3

p

k

e At I At

At

At

...

At

...

At .

2!

3!

p!

k 0

k!

(6.25)

времени

t к дискретному

k ,

выраженному в

числе

интервалов

дискретности длительности

t

так,

что t ( t )k , в результате чего

матричная экспонента e At получает представление

e At

e A tk (e A t )k

k ,

A

(6.26)

матрица

e A t

где

A

при

правильном

выборе

интервала

e A t I A t

1

( A t)2

1

( A t)3

...

1

( A t) p .

A

(6.27)

2!

3!

p!

t 0.05n

tr( A)

1.

(6.28)

2. Способ

диагонализации

матрицы A , именуемый иначе

способом собственных значений.

Способ применим к матрицам A

простой структуры так, что ее спектр собственных значений имеет вид

A i : i j ;i j; Jm i 0;i

, а

потому оказывается

1, n

справедливым матричное соотношение

приведения

подобия

M AM , где diag i ;i

.

1,n

Тогда матричная экспонента принимает вид

e At M e t M 1

M diag e it ;i

M 1 ,

(6.29)

1,n

где

M row Mi i arg A i i i ;i

,

(6.30)

1,n

то есть M – матрица собственных векторов матрицы A .

3. Способ, основанный на приведении к нормальной форме

Жордана матрицы

A . Способ применим к

матрицам

A , спектр

собственных значений которых

r

содержит

A i ;i 1,r;

mi n

i 1

r кратных собственных значений i кратности mi каждый. Для этого

T row {T

T

A I T

A I

T

;i

},

i

;T

...T

1

1, r

i

i1

i2

i

i1

im

i

im

i

i

здесь ξi – собственный вектор

матрицы A ,

соответствующий

собственному значению

:

arg A

;i

; (*)+ – операция

i

i

1,r

i

i

i

В результате для матричной экспоненты e At можно записать

e At TeJtT 1 , где матричная экспонента e Jt

имеет вид

te it

t 2e it

t n 1e it

e it

...

1!

2!

(m 1)!

i

0

e it

te it

...

t n 2e it

r

e Jt diag eJit

.

1!

...

(mi 2)!

; mi n .

.

.

.

i 1

0

0

0

...

te it

1!

0

0

0

...

e

it

обратного преобразования Лапласа от резолвенты sI A 1

в форме

e At L 1{(sI A) 1}

(6.32)

Способ поддерживается алгоритмом Д.Фаддеева разложения

резолвенты без ее обращения на основе представления

sI A 1

1

sI A T

sn 1H0 sn 2 H1 ... Hn 1

,

det(sI A)

sn a1sn 1 ... an 1s an

(n n)

где

–

матрицы

Hi (i 0, n 1)

и

коэффициенты

характеристического

уравнения

вычисляются

с

помощью

рекуррентной процедуры алгоритма Д.Фаддеева:

H0 I ,

a1 tr( AH0 )

H1 AH0 a1I ,

a2 tr( AH1) / 2

.

(6.33)

.....................

........................

H k AHk 1 ak I ,

ak 1 tr( AHk ) / k

С

использованием

матриц

Hk (k 0, n 1)

для

резолвенты

(sI A) 1 можно записать в форме

(sI A) 1 =

sn 1

H

sn 2

H

...

s

H

1

H

.

0

1

n 2

n 1

D(s)

D(s)

D(s)

D(s)

(6.34)

Матричная экспонента (6.32) с использованием (6.34) получает

представление

e

At

1

s n 1

1

s n 2

...

1

1

L

H 0

L

H1

L

H n 1 .

D(s)

D(s)

D(s)

(6.35)

Запишем характеристический многочлен D(s)

в форме

D(s) (s )m1 (s )m2 ...(s )mr

,

1

1

1

тогда становится справедливым представление

s

k

r

km

k1

k 2

...

i

;k 0, n

1.

(6.36)

D(s)

i 1

s

2

mi

i

s i

s i

Тогда

1

s

k

r

k 3

kmi

mi

2

1 it

L

k1 k 2t

t

...

t

e

;k 0,n 1.

D( s )

2!

m

1 !

i 1

i

(6.37)

Подставляя (6.37) в (6.35) окончательно получим

0

r

km