МОТС ИТМО

x 0

Рисунок 9.4

Модельное представление нелинейных дискретных динамических объектов (НДДО) в форме (9.16)–(9.17) и линейных дискретных динамических (ЛДДО) объектов в форме (9.18)–(9.19), а также в виде структурных схем рисунки 9.3 и 9.4 именуется рекуррентным.

Остановимся на способах построения матриц дискретного объекта на основе известных матричных компонентов исходного непрерывного и интервала дискретности. Основных способов два.

Первый способ основан на использовании интегральной модели исходного непрерывного объекта. Интегральная форма записи модели ВСВ (9.13) непрерывного объекта позволяет получить выражения для

матриц состояния и входа рекуррентной модели «вход–состояние– выход» линейного дискретного объекта. Напомним содержательное отличие непрерывных и дискретных динамических объектов. Дискретный динамический объект реализует дискретную по времени с интервалом длительности t выборку из управляемых переменных по состоянию и выходу непрерывного динамического процесса. При этом переменные состояния между моментами выборки изменяются в соответствии с интегральной моделью состояния непрерывного

139

140

представления дискретного объекта следует сказать, что представление (9.23) справедливо при любом значении интервала дискретности, не противоречащего условию теоремы Котельникова–Шеннона, а

Сформируем теперь суммарную модель линейного дискретного динамического объекта, являющуюся аналогом интегральной модели ЛНДО. Для формирования суммарной модели ЛДДО построим базу индукции на основе рекуррентного представления (9.18) по переменной k – дискретному времени:

1.k =0: x 1 Ax 0 Bu 0 ,

2.k =1: x 2 Ax 1 Bu 1 A 2 x 0 ABu 0 Bu 1 ,

3.k =2: x 3 Ax 2 Bu 2 A3 x 0 A 2 Bu 0 ABu 1 Bu 2 .

База индукции построена, поэтому можно формировать представление x k , k

i 0

Нетрудно видеть, что выражения (9.26) и (9.27) позволяют дать представления для свободной и вынужденной составляющей движения ЛДДО по состоянию и выходу. Действительно, если переменные x k и y k представить в виде аддитивной композиции свободной и

то из сравнения (9.28) и (9.27) получим представления для свободной и вынужденной составляющих движения по вектору состояния

i 0

Линейные модели состояния (9.18)–(9.19) дискретных динамических объектов характеризуют динамическое отношение «вход–состояние–выход», которое позволяют построить модели

141

«вход–выход» в виде передаточной матрицы, i, j -ый элемент которой

представляет собой передаточную функцию сепаратного канала, связывающего i ый выход yi k с j ым входом u j k .

Действительно, если к (9.18)–(9.19) применить прямое Z– преобразование (см.Приложение 2), то в соответствие с его свойствами

получим

z X z x 0 AX z BU z ;Y z CX z DU z ,

где x 0 x k k 0 ;U z , X z ,Y z векторные Z–образы соответственно векторных переменных u k , x k , y k .Если полученные выражения

В случае когда начальное состояние ДДО (9.18)–(9.19) нулевое так, что x 0 0 , то (9.31) принимает вид

Y z C zI A 1 B D U z z U z ,

где передаточная m r – матрица z имеет вид

(9.32)

Заметим, что передаточная матрица в силу определения имеет мультипликативное представление так, как операции деления векторов друг на друга не существует, передаточная функция ij z ( i, j )–го

сепаратного канала НДО имеет дивидендное представление и в силу (9.32) принимает вид

i,j элемент матрицы D.

Приведем теперь алгоритм построения A, B,C , D – модельного

«вход–состояние–выход» – представления линейных дискретных динамических объектов (ЛДДО) (9.18),(9.19) по их передаточным функциям (матрицам) z Y z U z отношения «вход-выход».

АЛГОРИТМ 9.2 (А9.2)

построения векторно-матричного ВСВ–представления ЛДДО с использованием моделей ВВ в виде передаточной функции

1.Выбрать базис ВСВ–представления ЛДДО вида (9.18),(9.19):

– канонический фробениусов строчный (управляемый);

– канонический фробениусов столбцовый (наблюдаемый);

– физический.

2.В случае:

142

2.1. Канонического фробениусова управляемого и канонического фробениусова наблюдаемого базисов записать передаточную функцию ВВ z Y z U z в форме (8.48) отношения двух

полиномов B z D z , построенных по положительным степеням переменной z

j0

2.2.Физического базиса записать передаточную функцию ВВ в

виде произведения передаточных функций l (z) l х

последовательно соединенных функциональных компонентов таких как исполнительный двигатель, усилительно–преобразовательное устройство, фильтр, корректирующее звено и т.д., z l (z) ,

l

после чего каждую передаточную функцию l (z) записать в форме

(9.34).

3. Записать передаточную функцию (9.34) по отрицательным

степеням z 1 переменной z , для чего числитель и знаменатель

~ n

передаточной функции (9.34) разделить на член знаменателя 0 z , так

что в знаменателе передаточной функции образуется свободный член равный единице, а передаточная функция (9.34) принимает вид

4. Построить структурное модельное представление ЛНДО, описываемое передаточной функцией (ПФ) вида (9.15) с единичным свободным членом знаменателя, на основе использования правила Мейсона не касающихся контуров, в соответствие с которым передаточная функция имеет реализацию в форме n касающихся (вложенных в друг друга) замкнутых контуров, передаточные функции которых заданы мультипликативными структурами из постоянного коэффициента ( j ) и сомножителя (z j ) знаменателя, а

число прямых ветвей от входа к выходу структурной реализации ПФ (9.15) определяется числом ненулевых членов числителя с передаточными функциями i zm i n , количество которых не

превосходит m 1.

5. Произвести разметку полученной в п.4 структурной реализации ПФ (9.15) с учетом того, что z 1 есть передаточная функция элемента

143

задержки на интервал дискретности (ЭЗ), при разметке выходам

элементов задержки в определенном порядке приписать переменные состояния xj k ( j 1, n) , а непосредственным входам ЭЗ приписать

переменную x j k 1 .

6. Списать с размеченной в п.5 структурной реализации ПФ (9.35) матрицы A, B,C , D векторно-матричного ВСВ представления ЛДДО

(9.18) и (9.19). ■

Примечание 9.2 (П9.2). Перед списанием со структурной схемы ЛДДО, построенной на элементах задержки, сумматорах и усилителях необходимо воспользоваться линейностью модели динамического объекта с тем, чтобы не допустить разброса значений элементов матрицы состояния в столбцах и строках, превышающего десятичный порядок. Это может сделать высоким число обусловленности матрицы, что повлечет за собой вычислительную неустойчивость всех матричных процедур.

Завершим параграф кратким рассмотрением особого класса дискретных объектов над конечными полями Галуа, наиболее распространенными из которых являются двоичные динамические системы.

Определение 9.4 (О9.4). Если мощности множеств U входов, X состояний и Y выходов конечны, а множество моментов времени управления и наблюдения дискретно (счетно) так, что выраженное в

При этом векторные компоненты модельного представления p– ичных дискретных динамических объектов

uu1,u2 , ,ur T U ; x x1, x2 , , xn T X ; y y1, y2 , , ym T Y ,

характеристика p простого поля Галуа принимает значение p=2 так, что GF(p) =GF(2)={0,1}, при этом p–ичные дискретные динамические объекты становятся двоичными динамическими системами (ДДС),

имеющими две реализационные версии: нелинейные ДДС (НДДС)–

конечные автоматы и линейные ДДС (ЛДДС).

144

В теории конечных автоматов векторы входа u , состояния x и выхода y принято называть кодовыми последовательностями,

кодовыми словами или просто кодами: код входа u , код состояния x , код выхода y .

(9.37) при p=2 для НДДС – версии задается с использованием аппарата булевых функций, который опирается на исходное задание функций и в форме графов переходов и выходов автомата, а также их табличных аналогов. Аналитическое представление функций и в форме (9.36) и (9.37) при p=2 для ЛДДС – версии конструируются с использованием аппарата D - преобразования последовательностей над простым полем Галуа, позволяющего построить модельные представления в форме передаточных функций и векторно-матричных описаний «вход-состояние–выход» (ВСВ) в форме (9.18)–(9.19).

Подробное изучение ДДС в задачах преобразования двоичных кодов реализуется в рамках дисциплины «Прикладная теория информации».

9.3. Устойчивость как обязательное условие работоспособности динамических объектов. Условия устойчивости

непрерывных и дискретных динамических объектов

Изучение проблемы, вынесенной в заголовок параграфа, начнем с содержательного определения устойчивости.

Определение 9.5 (О9.5). Устойчивостью называется такое системное свойство, при наличии которого начальное отклонение динамического процесса от желаемого его хода с течением времени убывает. □ Определение 9.6 (О9.6). Асимптотической устойчивостью называется такое системное свойство, при наличии которого начальное отклонение динамического процесса от желаемого его хода с течением времени стремится к нулю. □ Если вернуться к представлениям процессов по вектору состояния и выхода в линейных непрерывных и линейных дискретных

динамических объектах, рассмотренных в двух предыдущих параграфах настоящего раздела, то нетрудно вспомнить, что источником движения являются два фактора: запасенная энергия, определяемая ненулевым начальным состоянием, и вынуждающая сила, которой является управляющее воздействие. Каждому из перечисленных причинных факторов соответствует своя составляющая

145

движения: первому причинному фактору соответствует свободная составляющая движения, а второму – вынужденная составляющая движения. Вынужденная составляющая движения определяет желаемый ход динамического процесса, а свободное движение определяет отклонение динамического процесса от желаемого хода.

Таким образом, может быть сформулировано содержательное условие устойчивости.

Определение 9.7 (О9.7). Динамический объект независимо от его непрерывной или дискретной природы будет устойчив при условии, что свободная составляющая движения в нем по зависимым переменным: вектору состоянию и вектору выхода будет с течением временем убывать, а в случае асимптотической устойчивости стремиться к нулю.

Таким образом, исследование устойчивости непрерывных и дискретных динамических объектов сводится к исследованию условий, при которых свободная составляющая движения по их зависимым переменным с течением времени убывает и даже стремится к нулю.

Очевидно, если свободная составляющая с течением времени не убывает, а напротив расходится, то движение динамического объекта удаляется от желаемого его хода, объект становится неработоспособным, т.е. перестает выполнять предписанные ему функции

Поэтому устойчивость динамического объекта является первым обязательным условием его работоспособности.

Условия устойчивости непрерывных динамических объектов

Как отмечено в преамбуле данного параграфа, системное свойство устойчивости линейного непрерывного динамического объекта можно идентифицировать по убыванию (а в случае асимптотической устойчивости стремлению к нулю) свободного движения зависимых

переменных к нулю. Для установления условий устойчивости по свободной составляющей движения ЛНДО (9.5)–(9.6) ограничимся автономной версией его представления

В (9.38) компоненты записи имеют тот же смысл и размерности, что и в (9.5)–(9.6). Решение системы (9.38), как показано в параграфе 9.1., имеет вид

собственных значений матрицы A .

146

условие подобия сохраняется для матричных функций от матриц в

справедливым представление решения (9.39) в виде

(9.41)

3.Кратная вещественная структура собственных значений (простоты

147

справедливым представление решения (9.39) в виде

Если теперь в полученном выражении перейти к векторным и матричным нормам, то для нормы x t вектора состояния x t c

Анализ решений автономной системы (9.38) для трех возможных структур алгебраического спектра собственных значений матрицы состояния позволяет сделать вывод о том, что необходимым и достаточным условием выполнения предельных переходов для

Это же является условием устойчивости исходной модели ЛНДО (9.5)–

(9.6).

Условия устойчивости дискретных динамических объектов

Как и для случая непрерывных ДО для установления условий

устойчивости по свободной составляющей движения ЛДДО (9.18)– (9.19) ограничимся автономной версией его представления

В (9.43) компоненты записи имеют тот же смысл и размерности, что и в (9.18)–(9.19). Решение системы (9.43), как показано в параграфе 9.2.,

148