МОТС ИТМО

14.2. Интервальные математические модели динамических объектов

Проблемы, внесенные в заголовок параграфа, будем решать на примере непрерывных динамических объектов применительно к моделям «вход–выход» и «вход–состояние–выход» линейных НДО.

Определение 14.20 (О14.20). Дифференциальное уравнение отношения «вход–выход» линейного непрерывного динамического объекта называется интервальным дифференциальным уравнением, если являются интервальными его коэффициенты, так, что оно имеет представление

a0 y(n) t a1 y(n1) t ... an y t b0 g(m) t b1 g(m1) t ... bm g t (14.60)

Определение 14.21 (О14.21). Передаточная функция отношения «вход–выход» линейного непрерывного динамического объекта называется интервальной передаточной функцией, если являются интервальными коэффициенты полиномов ее числителя и знаменателя, так, что она имеет представление

Определение 14.22 (О14.22). Дифференциальная модель вида (9.10) отношения «вход–состояние–выход» линейного непрерывного динамического объекта называется интервальной, если являются интервальными матричные компоненты этой дифференциальной модели, так, что представима в виде

x(t) A x(t) B u(t), x(0); y(t) C x(t). (14.62)

Примечание 14.2 (П14.2). Следует заметить, что интервальное представление отношения «вход–состояние–выход» вида (14.62) является данью общности записи, в большинстве практических случаев интервальное представление отношения «вход–состояние–выход»

Остановимся на вычислительных особенностях построения интервальных моделей отношения ВСВ вида (14.61)–(14.62) на основе интервальной передаточной функции (14.61) с помощью алгоритма 9.1.

Напомним, что одним из пунктов этого алгоритма с тем, чтобы построить представление передаточной функции, записанной по

259

отрицательным степеням переменной «s», а также подготовить представление к возможному использованию правила Мейсона не касающихся контуров, является деление всех членов полиномов числителя и знаменателя на член знаменателя, содержащий переменную «s» в наивысшей степени. Очевидно, в случае интервального представления передаточной функции это деление будет содержать деление интервальных чисел, которое неизбежно приведет к расширению интервалов интервального представления результирующих значений коэффициентов конструируемого представления.

В этой связи будет полезна информация о росте относительной интервальности результатов простейших операций над интервальными числами, приведенная в таблице 14.1.

Таблица 14.1.

Оценка относительной интервальности несет большую содержательную нагрузку, так как позволяет оценить те пределы относительной интервальности параметров, при которых факт учета или не учета их интервальности оказывается корректным и обязательным.

Остановимся дополнительно на возможности управлять относительной интервальностью матричных компонентов интервального представления модели ВСВ непрерывного ДО (14.63) на примере матрицы состояния. Для этих целей сформулируем следующее утверждение.

Утверждение 14.8 (У14.8). Пусть интервальная матрица

260

Доказательство утверждения строится на определении оценки относительной интервальности, в соответствии с которым получаем

В заключение следует сказать, что аналогичным рассмотренному случаю непрерывных объектов образом строятся и исследуются интервальные математические модели дискретных линейных объектов.

Примеры и задачи

14.7. Определить число угловых реализаций интервальной

примера 14.2;

261

14.12.Вычислить оценку I a относительной интервальности интервального числа a 15;39 ;

14.13.Вычислить оценку I x относительной интервальности

интервального вектора x 1;5 , 2;4 , 3;7 T ;

Решение вариантов задач

a a a0 15 27 12; a a a0 39 27 12.

262

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Книга, которую Вы, уважаемый читатель, подержали в руках, полистали ее, а возможно и прочитали, написана с одной целью – погрузить Вас в инструментарий и методологию современной теории управления на уровне модельных представлений объектов и систем управления, источников экзогенных воздействий, целей управления в их математическом представлении.

Вы узнали, что объекты управление, то есть то, что надо перемещать, поворачивать, преобразовывать и т.д. могут быть представлены непрерывными или дискретными во времени математическими моделями. Они могут быть построены по двум схемам: «вход-выход» и «вход-состояние-выход», причем первые модели описывают процессы без памяти, а вторые – обладают памятью, роль которой выполняет вектор состояния. Первые модели описываются передаточными функциями, для построения которых надо знать преобразование Лапласа, а вторые используют векторно– матричные представления. В этой связи надо многое знать о векторах и матрицах, способах их задания, преобразования и прочее. И это авторы попытались доходчиво изложить на страницах учебного пособия, а Вы это все узнали.

Вы познакомились с такими удивительными свойствами объектов управления как управляемость и наблюдаемость, что изменило и обогатило Ваше восприятие окружающего Вас физического и технического мира

Вам рассказали, что система управления получается объединением объекта управления и устройства управления, которое наделяют объект желаемым поведением. Вас предупредили, что система при определенных условиях может стать неустойчивой, а следовательно, неработоспособной и сообщили математические условия гарантии устойчивости системы. Еще многое Вы узнали из нашей книги.

В книги есть разделы, которые отмечены звездочками, которые свидетельствуют о том, что эти разделы не входят в рабочую программу учебной дисциплины «Математические основы теории систем». Но не обедняйте себя. Если Вы их не читали и не решали примеров и задач из этих разделов, вернитесь к ним, и Вы получите удовольствие от процесса познания и преодоления себя.

Вы подготовлены к общению с огромным миром проблем современного управления, желаем Вам успеха и проблемно ориентированных радостей познавательного процесса.

263

ЛИТЕРАТУРА

1.Акунова А., Баячорова Б.Ж., Ушаков А.В., Хабалов В.В. Математические основы теории информационных систем в управлении / Под ред. А.В. Ушакова. – Бишкек: Салам, 2003.

2.Алгебраические методы в теории устройств дискретной автоматики и телемеханики: Труды лаборатории телемеханики СПбГИТМО(ТУ) / Под ред. А.В. Ушакова. – СПб: СПбГИТМО

(ТУ), 2001.

3.Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

4.Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab. – СПб:

Наука, 2001.

5.Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление: Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1968.

6.Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

7.Брайсон А., Хо-Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. / Пер. с англ. М.: Мир, 1972.

8.Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. – СПб.: Изд-во «Профессия», 2003.

9.Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М.:

Наука, 1984.

10.Воронов А.А. Введение в динамику сложных управляемых систем.

М.: Наука, 1985.

11.Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1973.

12.Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. – М.:

Мир, 1999.

13.Григорьев В.В., Дроздов В.Н., Лаврентьев В.В., Ушаков А.В. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ. – Л.: Машиностроение, 1983.

14.Гудвин Г.К., Гребе С.Ф., Сальгадо М.Э. Проектирование систем управления. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004.

15.Дэвис М.Х.А. Линейное оценивание и стохастическое управление./ Пер. с англ. под ред. А.Н. Ширяева. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1984.

16.Деч Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа и z–преобразования. – М.: Наука, 1971.

17.Дорф Р., Бишоп Р.. Современные системы управления. Пер. с англ.

– М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2004.

18.Дударенко Н.А., Слита О.В., Ушаков А.В. Математические основы современной теории управления: аппарат метода пространства состояний: учебное пособие. /Под ред. Ушакова А.В. – СПб.: СПбГУИТМО. 2008

264

19.Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения. Полное руководство пользователя.– М.: Солон-Пресс,

2002.

20.Дьяконов В.П. MATLAB 7.*/ R2006/2007. Самоучитель.–М.:ДМК Пресс, 2008.

21.Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем /Пер.с.англ. М.: Наука,

1970.

22.Зубов В.И. Лекции по теории управления. – М.: Наука, 1975.

23.Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. / Под редакцией Д.К. Фаддеева. М.: Наука. Главная редакция физикоматематической литературы, 1984.

24.Калмыков С.А., Шокин Б.Л., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.

25.Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления: Пер с англ. – М: Мир, 1977.

26.Калужнин А.А. Введение в общую алгебру. – М.: Наука, 1973.

27.Коровьяков А.Н., Сударчиков С.А., Ушаков А.В. Следящий оптоэлектронный мониторинг деформаций в задаче динамической юстировки устройств пространственного наблюдения / Под ред. А. В. Ушакова.- СПб.: СПбГУИТМО, 2008.

28.Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976.

29.Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1982.

30.Левин Б.Р., Шварц В. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления. М.: Радио и связь, 1985.

31.Матричные уравнения в задачах управления и наблюдения непрерывными объектами / Т.А. Акунов, С. Алишеров, Р.О. Оморов, А.В. Ушаков; Под ред. А.В. Ушакова. – Бишкек: Илим,

1991.

32.Матричные уравнения в исследовании дискретных процессов над бесконечными и конечными полями / Т.А. Акунов, С. Алишеров, Р.О. Оморов, А.В. Ушаков./ Под ред. А.В. Ушакова. – Бишкек:

Илим, 1993.

33.Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы. – СПб: Питер, 2005.

34.Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы.- СПб.: Питер, 2006.

35.Мороз А.И. Курс теории систем. – М.: Высшая школа,1987.

36.Никифоров В.О., Ушаков А.В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. – СПб: СПбГИТМО (ТУ), 2002.

37.Никифоров В.О., Слита О.В., Ушаков А.В. Интеллектуальное управление в условиях неопределенности: учебное пособие. – СПб: НИУ ИТМО, 2011.

265

38.Никифорова Л.Т., Ушаков А.В., Хабалов В.В. Теоретические основы кибернетики. Учебное пособие. – Л.: ЛИТМО, 1984

39.Сержантова М., Ушаков. А. Антропокомпоненты в составе сложных динамических систем: // LAP LAMBERT Academic

Publishing – 2012.

40.Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В.В. Григорьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев, А.В. Ушаков – Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1983.

41.Справочник по теории автоматического управления/ Под ред. А.А.Красовского. – М.: Наука, 1987.

42.Слита О.В., Ушаков А.В. Математические основы теории управления: элементы метода пространства состояний: учебное пособие. /Под ред. Ушакова А.В.–СПб.: Балт. гос. техн. ун-т «Военмех» им.Н.Ф.Устинова. 2008

43.Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем/ Учебник. Минск: Дизайн ПРО. 2004.

44.Ту Ю.Современная теория управления/ Пер. с англ. М.: Машиностроение,1971.

45.Уонем М. Линейные многомерные системы: Геометрический подход. М.: Наука, 1980.

46.Ушаков А.В. Обобщенное модальное управление// Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т. 43. №3. C. 8-16.

47.Ушаков А., Дударенко Н., Слита О. Современная теория многомерного управления: аппарат пространства состояний.–

Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011.

48.Ушаков А.В., Хабалов В.В., Дударенко Н.А. Математические основы теории систем: элементы теории и практикум./ Под ред. Ушакова А.В. – СПб: СПбГУИТМО, 2007.

49.Ушаков А.В., Быстров П.С., Нуйя (Осипцева) О.С. Цифровое дистанционное управление: сетевые технологии и алгоритмы. - Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing – 2013

50.Френкс Л. Теория сигналов. Нью-Джерси, 1969 г. Пер с англ. под ред. Д.Е.Вакмана – М.: Сов. Радио, 1974.

51.Харитонов В.Л. Об асимптотической устойчивости семейства систем линейных дифференциальных уравнений// Диф. уравн. 1978. Т.14. №11.C. 2086-2088.

52.Шарый С.П. Алгебраический подход к анализу линейных статических систем с интервальной неопределенностью// Теория и системы управления. 1997. №3. С. 51–61.

53.Van Loan C.F. Introduction to Scientific Computing, A Matrix-Vector Approach Using MATLAB, Prentice Hall, 2000.

266

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

РЯДЫ ФУРЬЕ, ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА

абсолютную норму, иначе говоря, является интегрируемой абсолютно

в том смысле, что

при этом коэффициенты Сk разложения вычисляются по правилам вычисления скалярных произведений элементов функционального

абсолютную норму. Иначе говоря, функция является интегрируемой абсолютно в том смысле, что

267

T

p 1 ,T t : t в силу того, что она не имеет ограниченную

абсолютную норму, иначе говоря, не является интегрируемой абсолютно в том смысле, что

имеет ограниченную абсолютную норму, иначе говоря, является

интегрируемой абсолютно в том смысле, что

ОПРЕДЕЛЕНИЕ П1.4(ОП1.). Обратным преобразованием

Лапласа функции F s комплексного аргумента s c j называется интегральное преобразование

268