МОТС ИТМО

7. МАТРИЦЫ ОСОБОЙ КОНСТРУКЦИИ

7.1.Кронекеровские матричные структуры, область применения и свойства

Приступим к изучению кронекеровских (прямых) матричных структур, которые используются при решении матричных уравнений и описании процессов с перемножением переменных. Если компоненты кронекеровских матричных структур квадратные, то квадратной является и сама кронекеровская матричная структура, вычисление собственных значений которой осуществляется на основе свойств матричной функции от матрицы, но уже по более сложной схеме.

Определение 7.1(О7.1). Кронекеровским произведением двух

Примечание 7.2(П7.2). Согласованное сужение кронекеровского векторного произведения x y может быть осуществлено с помощью

оператора сужения с матрицей S вида

В качестве свойств кронекеровского произведения векторов рассмотрим правила дифференцирования кронекеровских векторных произведений по скалярному параметру, которым является время.

Свойство 7.1(СВ7.1). Дифференцирование векторной кронекеровской структуры в виде кронекеровского произведения векторов осуществляется по правилам дифференцирования сложной функции, представленной в мультикативной форме так, что:

99

Примечание 7.3 (П7.3). Кронекеровское произведение произвольных прямоугольных матриц не обладает свойством

матриц A Rn n и B Rm m называется матрица ( A B) , размерности

соответственно с матрицами А и В.

Примечание 7.4 (П7.4). Для кронекеровской суммы квадратных матриц А и В, а в общем случае произвольного числа матриц, существует альтернативное название – преобразование Сильвестра матриц, что записывается в форме

Отметим, что как и кронекеровское произведение матриц, кронекеровская сумма не коммутативна.

Кронекеровские матричные структуры, введенные выше, обладают следующими свойствами.

Свойство 7.2 (СВ7.2). Алгебраический спектр собственных значений кронекеровского произведения A B квадратных матриц

A Rn n и B Rm m как матричной функции от матриц обладает тем свойством, что его элементы образованы попарными произведениями собственных значений кронекеровски перемножаемых матриц:

{A B} { k : det( I A B) 0; k Ai Bj ;i 1, n; j 1, m; k 1, mn}.(7.11)

Свойство 7.3 (СВ7.3). Алгебраический спектр собственных значений кронекеровской суммы A B квадратных матриц A Rn n и

как матричной функции от матрицы обладает тем свойством, что его элементы образованы попарными суммами собственных значений кронекеровски суммируемых матриц:

{A B} { l : det( I A B) 0; l Ai Bj ;i 1,n; j 1,m;l 1,mn}. (7.12)

100

В (7.11) и (7.12) Ai и Bj - собственные значения соответственно

матриц А и В.

Сделаем следующее примечание к свойствам (СВ7.2) и (СВ7.3). Примечание 7.5 (П7.5). Алгебраические спектры собственных

значений кронекеровских произведений A B и B A в силу (7.11) совпадают, аналогичным свойством в силу (7.12) обладают и спектры кронекеровских сумм A B и B A.

Свойство 7.4 (СВ7.4). Определитель кронекеровского произведения квадратных матриц удовлетворяет соотношению

где A Rn n и B Rm m .

Свойство 7.5 (СВ7.5). След кронекеровской суммы квадратных матриц удовлетворяет соотношению

где A Rn n и B Rm m .

Свойство 7.6 (СВ7.6). Ранг кронекеровского произведения квадратных матриц удовлетворяет условию:

где A Rn n и B Rm m .

Приведем без доказательств полезные свойства кронекеровских произведений произвольных матриц, в справедливости которых читатель может убедиться самостоятельно.

Свойство 7.7 (СВ7.7).

В выражениях (7.20) – (7.23) I(*) – единичная матрица по размерности согласованная с матрицей (*).

Свойство 7.10 (СВ7.10). Оператор сужения кронекеровского произведения векторов с матрицей сужения S удовлетворяет соотношению

101

7.2. Псевдообращение и псевдообратные матрицы

Псевдообращение матрицы – это процедура обращения необратимой, то есть особенной матрицы в силу того, что она либо является прямоугольной, либо, будучи квадратной, имеет неполный ранг. Псевдообращение матриц – относительно недавно разработанная процедура аппарата линейной алгебры. Разработка ее связана с такими именами зарубежных математиков как Фредгольм Э.И., Мур Э.Х., Пенроуз Р., Альберт А. и советских математиков как Гантмахер Ф.Р., Беклемишев Д.В. и других.

В данном параграфе рассматривается процедура псевдообращения прямоугольных матриц. Для погружения в проблему, вынесенную в заголовок параграфа, рассмотрим линейную алгебраическую систему

существует A 1 .

Для решения поставленной задачи представим ЛАС (7.25) в развернутой форме

Таким образом, вектор y есть линейная комбинация из векторов– столбцов Ai i 1, n матрицы A , имеющая в качестве коэффициентов элементы xi i 1, n искомого вектора x , при этом задача обращения и

состоит в поиске этих компонентов. Нетрудно видеть что, если вектор y принадлежит образу матрицы A y Im A , то поставленная задача

имеет точное решение, но это частный случай. Рассмотрим общий случай, когда выполняется условие y Im A . Для этого

модифицируем первичную постановку задачи и сформулируем ее как задачу отыскания такого вектора xˆ:dim xˆ dim x n , который

решает задачу минимизации нормы вектора невязки ~ представления y

заданного вектора y Im A в форме (7.26), коэффициентами которого являются элементы вектора xˆ и заданного вектора y , что записывается

102

в виде

Примечание 7.7(П7.7). Нетрудно видеть, что если матрица A обратима и существует A 1 , то соотношения (7.29) выполняются, если

в них A заменить на A 1 . Свойства псевдообращения:

1. Псевдообращение псевдообратимо: A A;

2.Псевдообращение и транспонирование коммутативно: AT A T ; 3.Псевдообращение произведения скаляра на матрицу производится по правилу: A 1A ;

4.AA 2 AA , A A 2 A A;

5.Псевдообращение произведения матриц производится по правилу:

AB B A ,

если у матрицы A являются линейно независимыми столбцы, а у матрицы B являются линейно независимыми строки.

Рассмотрим способы псевдообращения прямоугольной m n матрицы A .

Первый способ применим для особого случая, когда m n и столбцы матрицы A являются линейно независимыми, т.е. когда столбцовый ранг матрицы удовлетворяет условию rang A n . Суть первого

103

способа псевдообращения в основном касается задач оценки параметров линейных моделей по экспериментальным данным, когда объем экспериментальных данных заметно превосходит число оцениваемых параметров. Проиллюстрируем эту ситуацию примером. В таблице 7.1 приведены экспериментальные данные некоторой зависимости двух переменных и , априори была высказана гипотеза об их линейной связи в форме

Для построения аналитической базы формирования оценок запишем

(7.33) в форме

1 0 1 ,

допускающей представления

таблицы 7.1 , то получим ЛАС вида (7.25), записанную в форме

104

(7.33) ищется по схеме (7.28) с помощью псевдообратной матрицы H , вычисляемой с помощью (7.30), что можно записать в форме цепочки соотношений

В итоге модель (7.33) по результатам обработки экспериментальных данных с помощью процедуры псевдообращения получает

представление

0.7952 0.5686 . ■

Второй способ применим также для особого случая, когда m n и на этот раз строки матрицы A являются линейно независимыми, т.е. когда строчный ранг матрицы удовлетворяет условию rang A m . Тогда по

аналогии с (7.30) для этого случая псевдообратная матрица A может быть вычислена с помощью формулы

Третий способ сформирован для любой реализации отношения

матрица.

105

Проиллюстрируем использование формулы (7.38) на примере Ф.Р. Гантмахера для пседообращения прямоугольной матрицы

Нетрудно видеть, что матрица (7.39) имеет линейно зависимые строки и столбцы, причем число линейно независимых строк и столбцов k 2. Матрица A представима в форме

Проиллюстрируем использование формулы (7.42) на примере Ф.Р. Гантмахера для пседообращения прямоугольной матрицы (7.39), которую в соответствии с (7.41) разобъѐм на матричные блоки

подстановка которых в матричную формулу (7.42) даст

использовании сингулярного разложения этой матрицы с помощью SVD–процедуры, позволяющего представить ее в виде

106

107

Тогда псевдообратная матрица (7.46) получит представление

использовании возможностей метода регуляризации А.Н. Тихонова.

последующим предельным переходом обратной регуляризованной матрицы, элементы которой зависят от константы , к псевдообратной при 0. Аналитически это записывается в форме

Основным недостатком данного способа псевдообращения является необходимость аналитического обращения регуляризованной матрицы с помощи алгоритма Лапласа, что ограничивает область его использования матрицами невысокого порядка.

108