Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский университет дружбы народов

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

шапкин задачи с решениями

.pdf

Скачиваний:

649

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4428 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Интеграл J вычисляем дальше:

æ 1

+ 2

æ 1

tsin4t +

9 2

2π

- 4

t cos4t +

sin4t

cos4t

J = 48 ç

è 4

2π

= 48 çt cos4t -

sin4t +

t sin4t +

cos4t -

öö

= 48

ç2π cos8π -

sin8π

×2π ×sin8π

cos8π -

4π

cos0÷÷

è 8

øø

48 ç2π +

-18π

96π (1

- 9π ).

7.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

7.1.Дифференциальные операции

7.1.2.Найти в точке А (–1, –3, 0) градиент скалярного поля

U = z + 4 . 3x + y

Градиентом скалярного поля U (A), обозначаемым символом grad u, называется вектор, проекциями которого являются частные производные функции U (A) по соответствующим координатам, т.е.

grad u = ¶¶xu ι + ¶¶uy j + ¶¶uz k.

Найдем частные производные

¶u	=	-3(z + 4)	;	¶u	=	-(z + 4)	;	¶u	=	1
¶x		(3x + y)2		¶y		(3x + y)2		¶z		3x + y

и их значения в точке А

¶u

A = -

;

¶u

A = -

;

¶u

= -

¶x

¶y

¶z

271

и эти значения подставим в формулу grad u:

grad u = - 13ι - 19 j - 16 k.

7.1.3. Найти в точке В (3, 1, 4) дивергенцию векторного поля

F (x, y, z) = z2 - x2 ι + z2 - 3y2 j +10zk.

y x

Дивергенция поля F выражается следующим образом div F = ¶¶Fxx + ¶¶Fyy + ¶¶Fzz .

Найдем частные производные

¶F

æ z2

- x2

ö¢

¶Fy

æ z2

- 3y2 ö¢

¶F

= ç

= -

;

= ç

= -

;

= (10z)¢

=10

¶x

¶y

¶z

÷ y

и найдем их значения в точке B (3, 1, 4)

¶Fx

= -

2 ×3

= -6;

¶Fy

= -

6×1

= -2; ¶Fz

=10

¶x

¶y

¶z

и подставим в формулу для div F

div FB = −6 − 2 +10 = 2.

7.1.4. Найти в точке С (2, 3, 1) ротор векторного поля

	(x, y,z) =	3x - 2y	ι	+	2x - 3y
F						j - (2x + 3y)zk	.
		z			z

В трехмерном пространстве rot F через декартовы прямоу-

гольные координаты вектора

= Fx ι

+ Fy

j + Fz

выражается сле-

дующим образом:

æ ¶F

¶Fy ö

¶F

æ ¶Fy

¶F

z ö

÷ k .

rot F = ç

ι + ç

÷ j + ç

¶y

¶z

¶x ø

¶y

è ¶x

272

Найдем частные производные

¶Fx

æ 3x - 2y ö¢

¶Fx

3x - 2y ö¢

3x -

¶y

= ç

;

¶z

= ç

= -

;

øy

ø z

¶Fy

2x -

3y ö¢

¶Fy

2x - 3y ö¢

2x - 3y

= ç

;

¶x

¶z

ø x

ø y

¶Fz

2z;

¶Fz

= 3z

= ((2x + 3y)z)

¶x

¶y

и их значения в точке С (2, 3, 1)

¶Fx

= -2;

¶Fx

= 0;

¶Fy

= 2;

¶Fy

= 5;

¶Fz

= 2;

¶Fz

= 3

¶y

¶z

¶x

¶z

¶x

¶y

и эти значения подставляем в формулу для rot F :

rot F = -2ι -2 j + 4k.

7.2. Интегралы и интегральные теоремы

7.2.1. Убедиться, что поле F (x,y,z) = 3zι + 5zj + (3x + 5y)k потенциально и найти его потенциал.

Решение. Необходимым и достаточным условием потенциальности поля F (x,y,z) является равенство нулю ротора (вихря) этого поля: rotF = 0 Находим вектор ротора поля

F = Pι +Qj + Rk = 3zι + 5zj + (3x + 5y)k :

rot

¶x ¶y ¶z

¶x ¶y

¶z

P Q R

3z 5z 3x + 5y

=((3x + 5y)¢y - (5z)¢z )ι - ((3x + 5y)¢x - (3z)¢z ) j + ((5z)¢x - (3z)¢y )k =

=(5 - 5)ι - (3 - 3) j + (0 - 0)k = 0×ι + 0 × j + 0× k = 0,

т.е. данное поле потенциально.

273

	7.2.2. Äàíû ïîëå F = (3y2 -5z2 )×i + (5x2 -3×z2 )× j +8xy×k									è ïè-
рамида с вершинами О (0; 0; 0), А (3; 0; 0), В (0; 5; 0) и С (0; 0; 8).
Найти:
	а) поток поля F		через грань АВС пирамиды в направлении
нормали, составляющей острый угол с осью Оz;
	б) поток поля F через внешнюю поверхность пирамиды с по-
мощью теоремы Остроградского – Гаусса;
	в) циркуляцию поля F вдоль замкнутого контура АВС:
		â1) непосредственно;
		â2) с помощью теоремы Стокса (обход контура происходит
в положительном направлении относительно внешней норма ли к
поверхности пирамиды).
	Решение. Строим чертеж пирамиды ОАBC (рис. 66). Найдем
уравнение плоскости АВС как уравнение плоскости в отрезках:
x	+ y	+ z = 1 èëè 40x + 24y + 15z – 120 = 0.
3	5	8
	Единичный вектор нормали к этой плоскости, обеспечиваю-
щий требуемое направление ориентации поверхности, имеет вид:
			n =	N	,
			\|	N \|
ãäå N = (40;24;15).
		z	z			z			y
	C ∙ 8		∙ 8		8 y	∙	8	8 x
			z = 8 −		8 y		z = 8 −	8 x
			K		5		K	3	5
		n	K				K		5
		n							∙ y = 5 − 5 x
									∙ y = 5 − 5 x
									K	3
									K
		S
		B					∙			∙
	0	∙			∙		∙			∙
3	∙	5	y 0		5 y	0	3		x 0	3 x
3	∙		Syz				Sxz		Sxy
x A			Syz				Sxz		Sxy
x A
			Ðèñ. 66

274

Здесь

| N |= 402 + 242 +152 = 2401 = 49.

Тогда

		40		24		15		æ	40		24		15	ö

n	=		×i +		× j +		× k = ç			;		;		÷.
		49		49		49			49		49		49
							è							ø

Следовательно, направляющие косинусы вектора n равны:

cosα = 4049 , cos β = 2449 , cosγ = 1549.

Тогда

cos a · dS = dy · dz, cos β · dS = dx · dz, cos γ · dS = dx · dy.

Для данного векторного поля F = (P; Q; R) будет

P = 3y2 – 5z2, Q = 5x2 – 3z2, R = 8xy.

Тогда по определению потока векторного поля F = (P; Q; R) через поверхность S = ABC получаем:

P = òò (P cosα +Q ×cos β + R×cosγ )× dS =

= òò (3y2 - 5z2 )×cosα × dS + (5x2 - 3z2 )×cos β × dS + 8xy ×cosγ × dS =

= òò (3y2 - 5z2 )× dy dz + (5x2 - 3z2 )× dz dx + 8xy × dx dy =

= òò (3y2 - 5z2 )× dy dz + òò (5x2 - 3z2 )dz× dx +		òò 8xy dx dy,
Syz	Sxz	Sxy

ãäå Syz, Sxz, è Sxy – проекции поверхности S на соответствующие координатные плоскости.

275

Следовательно,

8−

8 y

8− 8 x

− 5 x

P = òdy

(3y2 - 5z2 ) dz + òdx ò

(5x2 - 3z2 )× dz + òdx

ò 8xy dy =

æ 8

ö3 ö

dy ×

ç3y

×(5

- y) -

×(5 - y)

×ç

÷ +

ö æ

3 ö

dx ×ç5x

×ç8 -

x÷ - ç

8 -

x÷

×ç

5 -

x÷

ø è

= ò

(5y

- y

)

- 25×

9 (5 - y

)

÷ × dy

æ 8 ö

ò ç

40x

- ç

×(3 - x)

+ 4 ×

(9x - 6x

+ x

)× dx =

è 3 ø

æ 625

625 ö

128

æ 8

ö3

×ç

×(-5)

×27 -

×81- ç

9×25

è 3

100

= 250 -

128×

+ 40×9 - 270 +128×

+100×

×ç

- 2 ×27

= -105

294 + 75 = -324

б) Поток векторного поля F через внешнюю поверхность S всех граней пирамиды ОABC равен интегралу от дивергенции этого векторного поля, т.е. по формуле Остроградского – Гаусса имеем :

òò F × n × ds =òòòdivF × dv.

Здесь

div		=	¶P +	¶Q +	¶R = (3y2 -5z2 )¢x + (5x2 -3z2 )¢y + (8xy)¢z = 0 + 0 + 0 = 0.
div	F	=	¶P +	¶Q +
			¶x	¶y	¶z
Следовательно
				òò F × n × ds =òòòdiv F × dv = òòò0× dv = 0.
				S	V	V

276

в) Найдем циркуляцию векторного поля F вдоль замкнутого контура АВСА, где

F = (3y2 -5z2 )×i + (5x2 - 3z2 )× j + 8xy× k.

Применяем сначала теорему Стокса.

Ö = ò F × dr = òò n × rot F × ds.

ÑS

Здесь контур С — в виде сторон треугольника АВС, лежащего

âплоскости 40x + 24y + 15z – 120 = 0, проходящей через точки А,

Âè Ñ.

Найдем ротор данного векторного поля.

rot F =

¶x

¶y

¶z

3y2 - 5z2 5x2 - 3z2 8xy

= (8x + 6z)×i - (8y +10z)× j + (10x - 6y)×

Тогда

Ö = òò (8x + 6z) dy dz +òò (-8y -10z) dx dz + òò (10x - 6y)× dx dy.

Syz Sxz Sxy

Используем здесь, что уравнение плоскости есть 40x + 24y + 15z –

– 120 = 0 и для каждой координатной плоскости будем через это уравнение выражать нужные координаты. Тогда получаем интегра лы:

				5			8−		8	y																		3		8− 8 x
				5				5			æ					24										ö		3				3	æ		40					ö
				ò				ò			è							5								ø		ò			ò		è			3				ø	× dz +
Ö =				0	dy			0			ç24 -										y	+ 3z÷ dz -						0		dx		0	ç40	-				x + 5z÷			× dz +
				0				0																				0				0
																				3			5		−	5 x
																				3						3
																	+ ò dx								ò(10x - 6y) × dy =
																				0					0
=	288		× ò5		(5 - y)2 × dy -													480				× ò3			(3 - x)2dx + ò3							(-75 +100x - 25x2 )× dx =
=	25		× ò5		(5 - y)2 × dy -													9				× ò3			(3 - x)2dx + ò3							(-75 +100x - 25x2 )× dx =
				0																			0								0
		288				(x		- 5)3					5					480						(x - 3)3					3	æ							2		25		3 ö		=

																																										3
= -					×								0		+							×							0	+ ç	- 75x + 50x							-		x	÷	0
= -		25			×			3					0		+					9		×				3			0	+ ç	- 75x + 50x							-	3	x	÷	0
																											æ			è								ö			ø
																														è											ø
								288						3					480						3									25					=
						=						×5				-							×3			+	ç - 75			×3 + 50×9 -						×27÷
						=	25				×3	×5				-				27			×3			+	ç - 75			×3 + 50×9 -				3		×27÷
							25				×3									27							è							3				ø

= 480 - 480 + (-225 + 450 - 225) = 0 + 0 = 0.

277

Вычислим циркуляцию поля F непосредственно по формуле

Ö = ò F × dr = òP × dx + Q × dy + R× dz =

ÑÑ

=ò (3y2 - 5z2 ) dx + (5x2 - 3z2 )× dy + 8xy × dz.

Разобьем общий интеграл по контуру С на три части:

Ö = ÖÀÂ + ÖÂÑ + ÖÑÀ.

Участок АВ: z = 0, dz = 0, y = 53 ×(3 - x), dy = - 53 Чdx. Тогда

5 ö

2 ö

ÖAB

(3y

dx + 5x

dy) =

ç3×

×(3 - x)

÷ dx =

= ò0

((3 - x)2 - x2 ) dx =

(3 - x)3

ç-

= 0.

3 ø

Участок ВС: x = 0, dx = 0, z =

(5 - y), dz = -

dy.

Тогда

ÖÂÑ =

(-3z2dy) =

ç - 3×

×(5 - y)2 ÷ dy =

3×64

(5 - y)3

×125 =

320.

Участок СА: y = 0, dy = 0,

Тогда

= 3

(3 - x), dz = -

3 dx.

2 ö

æ 8

5 ×64

(3 - x)

320

ÖÑÀ =

ò ç

×ç

×(3

- x)÷

× dx =

(-27) = -320.

è 3

В результате Ц = ЦÀÂ + ÖÂÑ + ÖÑÀ = 0 + 320 – 320 = 0. Совпадение величин циркуляции Ц, найденных разными способами,

говорит о правильности результата.

278

9.3.Ряды Фурье

9.3.1.Разложить функцию f (x) в ряд Фурье в указанном ин-

тервале:

f (x) = (x – 4)2 в интервале (0; 4).

Решение. Доопределим (продолжим) данную функцию на сегмент [–4; 0] четным образом и разложим ее в ряд Фурье, считая ее заданной на сегменте [–4; 4], где она будет четной (рис. 67). Тогда ее коэффициенты в ряде Фурье будут:

∞

mπx

+ åçam

×cos

m 1

ãäå

mπx

am =

× ò f (x) × cos

× dx, bm

−4

+ bm ×sin				mπx ö
					÷,
				4	÷,
				4	ø
	1	4				mπx
=			× ò f (x) × sin				× dx.
=	4		× ò f (x) × sin			4	× dx.
			−4

∙	∙		∙	∙	∙
	–4	0	4	8	12	x

Ðèñ. 67

Так как f (x) – четная функция, то ее ряд Фурье содержит только свободный член а0 и косинусы, а bm = 0.

Тогда

am = 24 × ò0 f (x)×cos m4πx × dx, m = 0,1,2,...

На отрезке [0; 4] f (x) будет представляться рядом Фурье тем же, что и на отрезке [–4; 4].

279

Тогда

		2	4							1	4							1			(x	- 4)3	4
a	=	2	×	(x - 4)			2	×1× dx =		1	×	(x - 4)			2	×d(x - 4)	=	1		×	(x	- 4)3	4	=
a	=		×	(x - 4)				×1× dx =			×	(x - 4)				×d(x - 4)	=			×			0	=
0		4	ò0							2	ò0							2				3	0
		4	ò0		1					2	ò0		1				64	2			32	3
				=	1	×[(4 - 4)3			- (0 - 4)3 ] =				1	×(0 + 43 ) =			64		=		32	.
				=	6	×[(4 - 4)3			- (0 - 4)3 ] =				6	×(0 + 43 ) =			6		=		3	.
					6								6				6				3

Аналогично

am = 24 × ò0 (x - 4)2 ×cos m4πx × dx =

интегрирование по частям òudv = uv - òvdu,

u = (x - 4)2 , du = 2 ×(x - 4)× dx,

= cos

mπx

× dx, v =

×sin

mπx

mπ

mπx

- ò

ê(x

- 4)

×sin

×2 ×(x - 4)× dxú

mπ

×4

mπx

ê0 -

×0 -

(x -

×sin

dxú

mπ

по частям : u = x - 4, du = dx,

dv = sin

mπx

× dx,

v = -

×cos

mπx

mπ

4 ö

mπx

×ç -

mπ

(x - 4)×

mπ

÷ cos

mπ

×cos

× dx

mπx

= -

ê0 + (-4)

×cos0 +

×sin

mπ

= -

ê-

×1+

0ú

mπ

×π

280

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4428 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.2015693 Кб93ЧМнервы.pdf
#
21.03.201685 Кб47что явл материалом исследования патанатомии.doc
#
27.11.2019108 Кб5Шаблон реферата.doc
#
01.05.2025304 Кб0Шанина 2-ой курс.doc
#
14.04.2015156 Кб21Шанхайская организация сотрудничества .docx
#
15.04.20152 Мб649шапкин задачи с решениями.pdf
#
01.07.202530 Кб2ШЕКСПИР_2017_ПОДБОРКА СТИХОВ.docx
#
01.07.2025119 Кб2Шестак_С.Г.дипломная работа.docx
#
30.08.201933 Кб7шиза рус.docx
#
30.08.201942 Кб4шизофрения(2).docx
#
01.07.202574 Кб1школа пакостных наук_4 кл.doc