шапкин задачи с решениями

Подставляем в формулу полной вероятности:

P (À) = 3395 ×1+ 1495 ×1+ 9548 ×0 = 9547 .

Таким образом, вероятность того, что две наудачу извлечен -

47

ные перчатки образуют пару равна 95 .

12.1.2. В урне находятся 3 шара белого цвета и 5 шаров черного цвета. Наудачу по одному извлекают 3 шара и после каждого извлечения возвращают обратно в урну. Найти вероятность т ого, что среди извлеченных шаров окажется:

а) ровно два белых шара, б) не мене двух белых шаров.

Решение. Имеем схему с возвращением, т.е. каждый раз состав шаров не изменяется:

а) при извлечении трех шаров два из них должны быть белыми, а один черный. При этом черный может оказаться или первым, или вторым, или третьим. Применяя совместно теоремы сл о- жения и умножения вероятностей, имеем:

P = P1á ×P2á × P3÷ + P1á ×P2÷ ×P3á + P1÷ × P2á ×P3á = = 38 × 38 × 58 + 38 × 58 × 38 + 58 × 38 × 38 = 135512 ;

б) вынуть не менее двух белых шаров означает, что белых шаров должно быть или два, или три:

P (не менее) = P (2 белых) + P (3 белых) = 135512 + P1á × P2á ×P3á =

=135512 + 38 × 38 × 38 = 162512 .

12.1.3.В урне находятся 6 белых и 5 черных шаров. Три шара наудачу последовательно извлекаются без возвращения их в урну. Найти вероятность, что третий по счету шар окажется белым.

Решение. Если третий по счету шар должен быть белым, то первые два шара могут быть белыми, или белым и черным, или черным и белым, или черными, т.е. имеются четыре группы не-

351

совместных событий. Применяя к ним теорему умножения веро - ятностей, получим:

P = P1á × P2á ×P3á + (P1á × P2÷ ×P3á + P1÷ ×P2á × P3á ) + P1÷ ×P2÷ ×P3á = = 116 ×105 × 49 + 116 ×105 × 59 + 115 ×106 × 59 + 115 × 104 × 69 = 540990 = 116 .

12.2.Случайные величины

12.2.1.Закон распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

Найти вероятности P4, P5 и дисперсию D (x), если математи- ческое ожидание M (x) = –0,5 + 0,5 · m + 0,1 · n.

Решение. Из условия åPi =1 имеем P4 + P5 + 0,2 + 0,1 + 0,2 = 1 èëè P4 + P5 = 0,5.

Из определения математического ожидания М (x) = åxi × pi получим:

–0,4 – 0,1 + m · P4 + (m + n) P5 = –0,5 + 0,5m + 0,1n,

èëè

m · P4 + (m + n) P5 = 0,5m + 0,1n,

èëè

m (P4 + P5) + nP5 = 0,5m + 0,1n.

Из этих двух уравнений с двумя неизвестными относительно P4 è P5 имеем:

P4 = 0,4, P5 = 0,1.

Дисперсию найдем из формулы

D (x) = M (x2) – (M (x))2.

352

Находим математическое ожидание квадрата случайной вел и- чины

M (x2) = (–2)2 · 0,2 + (–1)2 · 0,1 + 0 · 0,2 + m2 · 0,4 + (m + n)2 · 0,1 = =0,9 + 0,4 · m2 + 0,1 · (m + n)2.

Тогда

D(x) = (0,9 + 0,4 · m2 + 0,1 · (m + n)2) – (–0,5 + 0,5m + 0,1n)2 =

=0,65 + 0,25m2 + 0,1 · m · n + 0,09 · n2 + 0,5 · m + 0,1 · n

Сюда подставляйте свои m и n и получайте готовый ответ. Однако, с самого начала этой задачи берите свои значения п араметров m и n и решайте.

12.2.2. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

Найти: а) параметр а.

èëè 4a ×4 =1;

откуда а = 1.

б) функцию распределения F (x).

Из свойства функции плотности f (x) имеем:

F (x) = òx f (x) dx.

−∞

Рассматриваем три интервала.

353

Ïðè õ £ 4.

x

F (x) = ò 0× dx = 0.

−∞

Ïðè 4 < õ < 6.

в) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (5, 7).

P (5 < X < 7) = F (7) - F (5) = F (6) - F (5) =

= 41 (x - 4)2 56 = 41 (4 -1) = 34 .

354

г) математическое ожидание М(x) и D(x).

д) построим функции F (x) (рис. 82) и f (x) (рис. 83).

F(õ)

1

Ðèñ. 82

355

f (õ)

1

Ðèñ. 83

12.2.3. Случайные величины X1, X2, X3 имеют геометрическое, биномиальное и пуассоновское распределения соответственно. Найти вероятности P (4 ≤ Xi ≤ 6), если математические ожидания М (Xi) = 4, а дисперсия D (X2) = 2:

а) Для геометрического распределения

Так как для геометрического закона распределения P (n) = P · qn–1. б) Для биномиального распределения М (X) = np и D (X) = npq

ì4 = np, íî2 = npq.

Делим одно уравнение на другое, получаем

356

Вероятность

P (4 £ X2 £ 6) = P4,8 + P5,8 + P6,8.

По формуле Бернулли

Окончательно

P (4 £ X2 £ 6) = 25670 + 25656 + 25628 = 154256 = 0,602.

в) Для пуассоновского распределения

Ì (X) = D (X) = λ; Ì (X3) = λ è λ = 4.

Вероятность

P (4 £ X3 £ 6) = P4,8 + P5,8 + P6,8.

По формуле Пуассона

=44 ×e−4 × 36035 = 0,456.

12.2.4.Случайные величины X4, X5, X6 имеют равномерное, показательное и нормальное распределения соответственн о. Найти вероятность P (2 < Xi < 6), если у этих случайных величин

357

математические ожидания и средне квадратические отклон ения равны 4:

а) Закон равномерного распределения имеет вид:

Имеем систему

ìb + a = 8

íîb - a = ±8 3 .

Решая эту систему найдем, что

Так как предполагается, что а < b, то

a = 4 - 4 3, b = 4 + 4 3 .

Тогда

358

в) Вероятность попадания в заданный интервал нормально р аспределенной случайной величины определяется как

где функция Лапласа Φ(t) определяется по таблицам.

13.Математическая статистика

13.1.Численная обработка данных одномерной выборки

Выборка Х объемом 100 измерений задана таблицей:

ãäå xi — результаты измерений, mxi — частоты с которыми встре- чаются значения xi.

359

13.1.1 Построить полигон относительных частот Wi =mxi / N . Решение. Вычисляя относительные частоты Wi =mxi / N = mi /100

13.1.2. Вычислить среднее выборочное X , выборочную дисперсию Dx и среднее квадратическое отклонение σx.

Решение. Для вычисления X , Dx è σx воспользуемся методом произведений. Введем условные варианты

u1 = (xi − cx ) , hx

ãäå cx — значение хi, которому соответствует наибольшая частота, cx = 3,8, hx – шаг выборки, hx = 1,2.

Тогда, вычисляя ui, получим условный ряд:

360