шапкин задачи с решениями

Для этого ряда составим расчетную таблицу

Возвращаясь к исходному вариационному ряду, с помощью равенств xi = hxui + cx получаем:

13.1.3. По критерию χ2 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α = 0,05.

Решение. Проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, используя критерий χ2(Пирсона) при α = 0,05.

В основе критерия лежит сравнение частот mi и теоретических

частот mTi , вычисленных в предположении нормального распределения генеральной совокупности. Критерий Пирсона не по д- тверждает однозначно правильность или неправильность г ипотезы, а только устанавливает ее согласие или несогласие с данны-

361

ми выборки при данном уровне значимости. В качестве крите рия выбирается величина

Ее значение сравнивают с критическим значением χêð2 , определяемым по соответствующей таблице значений при заданн ом уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы k = p –1-r, где p – число интервалов, r – число параметров нормально закона распределения. В данном случае p = 7; r = 2; k = 4.

По таблице распределения χ2 с k = 7 – 2 – 1 = 4 степенями свободы при уровне значимости α = 0,05 находим χêð2 = 9,49.

Если в результате вычислений выполняется неравенство χ 2 < χ êð2 , то гипотеза принимается при данном уровне значимости. Если же χ 2 > χ êð2 , то гипотезу отвергают. Применим критерий Пирсона к данной выборке. Для этого составим расчетную та б- лицу, находя теоретические частоты mTi для нормального распределения по формуле

362

Складывая числа последнего столбца таблицы, получаем χ2 = 1,65.

Òàê êàê χ 2 < χ êð2 , то гипотеза о нормальном распределении

генеральной совокупности принимается.

Таким образом, с уровнем значимости a = 0,05 можно считать, что генеральная совокупность распределена по нормальному за-

кону с параметрами a = X = 3,58; σx = 1,72.

Ответ. X = 3,584; Dx = 2,949; σx = 1,72; гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается .

13.2. Построение уравнения прямой регрессии

Двумерная выборка результатов совместных измерений при - знаков x и y объемом N = 100 измерений задана корреляционной таблицей:

363

Решение. Для вычисления Y , Dy è σó воспользуемся методом произведений. Введем условные варианты vj = (yj – cy) / hy, ãäå cy — значение yj, которому соответствует наибольшая частота, cy = 2,1, hy – шаг выборки, hy = 0,8.

Тогда, вычисляя vj, получим условный ряд:

Для этого ряда составим расчетную таблицу

Возвращаясь к исходному вариационному ряду, с помощью равенств yj = hyvj + cy получаем

σy = hyσ v = 0,71.

13.2.2.Построить уравнение прямой регрессии Y на Х в виде

yx = ax + b. Уравнение прямой регресии Y на Х имеет вид:

364

Значения xi и частоты их появления mxi совпадают с данными для задачи 13.1.2.

Следовательно,

X = 3,584; σ x = 1,72.

Значения Y и σy найдены в задаче 13.2.1: Y =2,12; σy =0,71. Коэффициент корреляции определяется по формуле

r = XY - X ×Y ,

σ xσ y

ãäå XY = 1 åå7 5 mij xi yi .

N i=1 j=1

Для нахождения XY воспользуемся корреляционной таблицей

Как следует из таблицы XY = 8,568. Таким образом,

365

На графике рядом с точками указаны частоты их появления.

366

РАЗДЕЛ 7

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Особенностью развития современного общества является с ложный характер рыночной экономики, характеризуемый измене нием и быстрой сменяемостью условий экономической деятель ности, предъявлением высоких требований к методам планирова ния и хозяйственной деятельности. В этих условиях использова ние серьезных методов анализа в экономических исследования х приобретает первостепенное значение. Математическое модел ирование экономических ситуаций на базе современной вычислит ельной техники позволяет автоматизировать сбор и обработку первичной информации, выделить основные параметры, влияющие на деятельность фирмы, рассчитать различные варианты дея тельности (проектирования) фирмы, определить наиболее целесо образные мероприятия, обеспечивающие необходимую эффекти в- ность производства или предпринимательства, и на основе э тих данных принять решение о выборе оптимальной стратегии по управлению деятельностью фирмы (формы бизнеса).

Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано понятием сложная система.

Сложность системы определяется количеством входящих в н ее элементов, связями между этими элементами, а также взаимо отношениями между системой и средой. Экономика страны облад а- ет всеми признаками очень сложных систем. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутре нних связей и связей с другими системами (природная среда, экон омика других стран и т.д.).

Сложность экономики иногда рассматривается как обоснов а- ние невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделиро - вать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования, именно здесь моделирование может дать резул ьтаты, которые нельзя получить другими способами исследован ия.

Основополагающим для практического применения математического моделирования в экономике является наполнени е раз-

367

работанных моделей конкретной и качественной информаци ей. Точность и полнота первичной информации, реальные возмож - ности ее сбора и обработки во многом определяют выбор тип ов прикладных моделей.

Исходная информация имеет существенно различный характер и происхождение и может быть разделена на две категор ии: о прошлом развитии и современном состоянии объектов (эконо ми- ческие наблюдения и их обработка) и о будущем развитии объ ектов, включающую данные об ожидаемых изменениях их внутрен - них параметров и внешних условий (прогнозы).

Методы экономических наблюдений и использование резуль - татов этих наблюдений разрабатываются экономической ст атистикой. Так как в экономике многие процессы являются масс о- выми, то моделирование должно опираться на массовые наблю - дения. Экономические процессы являются динамическими вследствие изменчивости их параметров и структурных отн ошений. Поэтому такие экономические процессы следует постоя нно держать под наблюдением, необходимо иметь устойчивый поток новых данных.

Познание количественных отношений экономических процес - сов и явлений опирается на экономические измерения. Точно сть измерений в значительной степени предопределяет и точно сть конечных результатов количественного анализа посредств ом моделирования.

Экономические процессы, сохраняя характер массовых процессов, обязательно включают случайные (стохастические) компоненты. Непредвидимые случайности могут быть вызваны пр и- родными явлениями, изменениями в международной обстанов ке, научно-техническими открытиями, различными субъективны ми факторами. Таким образом, экономические закономерности и меют стохастический характер.

Для методологии планирования важное значение имеет поня - тие неопределенности экономического развития. В исследо ваниях по экономическому прогнозированию и планированию раз ли- чают два типа неопределенности: «истинную», обусловленну ю свойствами экономических процессов, и «информационную» , связанную с неполнотой и неточностью имеющейся информации о б этих процессах.

Сложность экономических процессов и явлений и другие, отмеченные выше особенности экономических систем, затрудн яют

368

не только построение математических моделей, но и проверк у их адекватности, истинности получаемых результатов.

В экономике и других общественных науках тезис «практика — критерий истины» в большей степени применим к простым дес к- риптивным моделям, используемым для пассивного описания и объяснения действительности.

Следует отметить, что создание конструктивной комплексн ой методики адекватности моделей, учитывающей как объектив ные особенности моделируемых объектов, так и особенности их п о- знания, по-прежнему является одной из наиболее актуальных задач экономико-математических исследований.

7.1. Линейное программирование

Теорию и решение задач смотрите в учебнике [17] гл. 2 и гл. 4. Линейное программирование (ЛП) изучает важную для практики задачу отыскания экстремума линейной функции при на ли-

чии ограничений в виде линейных неравенств или уравнений . Сущность этих задач заключается в том, чтобы из множества

возможных вариантов исследуемого экономического процес са выбрать по какому-либо признаку наилучший, или, как его наз ы- вают, оптимальный вариант.

В этом методе обязателен специальный показатель выгодно с- ти плана, который называют показателем или критерием опти - мальности плана. Часто это прибыль, доход, валовый продукт , производительность, эффективность. В таких случаях выгод но, чтобы показатель оптимальности был для выбранного вариа нта плана максимальным. Если показателем оптимальности план а служат издержки, себестоимость, капиталовложения или тру доемкость, то необходимо планировать так, чтобы показатель оптимальности для выбранного плана был минимальным.

Таким образом, ясно, что цель, которую мы ставим перед собой заключается в максимизации или минимизации некоторо го количества средств (денег, сырья, оборудования, продуктов питания и т. д.), которое математически выражается в виде линейн ой формы некоторого числа переменных.

Множество возможных вариантов, из которых выбирается оптимальный план, всегда ограничено (ресурсами сырь я, наличием рабочей силы, количеством оборудования и т.п.). Поэт о- му каждый из рассматриваемых вариантов должен быть допус -

369

тимым планом, удовлетворяющим имеющимся ограничениям. Показатель оптимальности плана является некоторой функ цией Z = f (x) плана Х. Поэтому задача отыскания оптимального плана сводится к математической задаче нахождения экстремума этой функции.

Решение экстремальных экономических задач можно разбит ь на три этапа: 1) построение экономико-математической модел и; 2) нахождение оптимального решения одним из математическ их методов; 3) практическое внедрение в народное хозяйство.

Построение экономико-математической модели состоит в со - здании упрощенной экономической модели, в которой в схема ти- ческой форме отражена сущность изучаемого процесса. При э том особое внимание должно быть уделено отражению в модели вс ех существенных особенностей задачи и учету всех ограничив ающих условий, которые могут повлиять на результат. Затем опред еляют цель решения, выбирают критерий оптимальности и дают м а- тематическую формулировку задачи.

7.1.1. Задача оптимального производства продукции

Для изготовления двух видов изделий I и II используются три вида сырья.

На производство единицы изделия I требуется затратить сырья первого вида 13 кг, сырья второго вида — 32 кг, сырья третье - го вида — 58 кг.

На производство единицы изделия II требуется затратить сы - рья первого вида 24 кг, сырья второго вида — 32 кг и сырья третьего вида — 29 кг.

Производство обеспечено сырьем первого вида в количеств е 312 кг, сырьем второго вида — 480 кг, сырьем третьего вида — 696 кг.

Прибыль от реализации единицы готового изделия I составляет 4 усл. ед., а изделия II — 3 усл. ед.

Требуется составить план производства изделий I и II, обеспе - чивающий максимальную прибыль от их реализации, если зара - нее планируется изготовление не менее 10 единиц изделий I и II.

Решение. Рассмотрим математическую модель задачи. Если за х1 взять количество изделий I, планируемых к выпуску, а за х2 — количество изделий II, то получим задачу линейного програм мирования.

370