Задания
Задание 2.2 Вычислить предел функции, используя первый замечательный предел и его следствия.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы:36.
,
37.
,
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
,
53.
.
2.2 Второй замечательный предел.
Вторым замечательным пределом называют предел вида:
,
(23)
или эквивалентное выражение
.
(24)
Следствия второго замечательного предела.
1.
2.
3.
4.
Частный случай:
На основании перечисленных следствий 1-4 и определения эквивалентности бесконечно малых (18) можно записать следующие соотношения эквивалентности при :
(25)
(26)
(27)
Пример 13
Вычислить предел функции
.
Решение:
При
подстановке
имеем
неопределенность типа
.
.
При решении мы воспользовались соотношением эквивалентности (19) и следствием 1 из второго замечательного предела.
Ответ:
Пример 14
Вычислить предел функции
Решение:
Мы воспользовались соотношениями эквивалентности (19) и (25).
Ответ:
Пример 15
Вычислить
предел функции
Решение:
Ответ:
Задания
Задание 2.3 Вычислить предел функции, используя второй замечательный предел и его следствия.
|
|
|
|
|
|
Задание 2.4 Вычислить предел функции, используя эквивалентность бесконечно малых величин
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы:54.
,
55.
,
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
,
71.
.
2.3 Вычисление предела от показательно-степенной функции.
Рассмотрим
теперь показательное степенное выражение
,
где
и
являются функциями одной и той же
переменной
.
.
(28)
Для
вычисления предела (28)
необходимо вычислить отдельно два
предела
и
.
Рассмотрим различные случаи, которые
могут возникнуть.
,
тогда
(29)
Пример 16
Вычислить
предел функции
Решение:
Вычислим отдельно пределы основания и показателя степени:
,
,
поэтому
.
Ответ:
;
,
тогда
Пример 17
Вычислить предел функции
Решение:
,
тогда
.
Ответ:
.
Искомый предел будет равен
.
Пример 18
Вычислить
предел функции
Решение:
Ответ:
