Задания

Задание 2.5 Вычислить предел показательно-степенной функции.

Ответы:72. , 73. , 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. .

3. Непрерывность функции.

3.1 Односторонние пределы.

Определение 8. Левой (правой) окрестностью точки называется множество значений , удовлетворяющих неравенству

( ). (30)

Определение 9. Число называется левосторонним (правосторонним) пределом функции , если для любого сколь угодно малого найдется такое , что для всех принадлежащих левой (правой) окрестности точки выполняется:

. (31)

Левосторонний и правосторонний пределы обозначаются следующим образом:

.

Пример 19.

Вычислить односторонние предел функции при

Решение:

Найдем левосторонний предел. Заметим, что при слева, выражение . Таким образом

.

Для вычисления правостороннего предела заметим, что при справа, выражение . Поэтому,

Ответ: ,

3.2 Определения непрерывности функции.

Определение 10.Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

(32)

Определение 11.Функция называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции в точке

(33)

Определение 12.Функция называется непрерывной в точке , если для любого сколь угодно малого положительного найдется такое , что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется:

. (34)

Определение 13.Функция называется непрерывной в точке слева (справа), если существуют односторонние пределы и ( ).

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке . Для того, чтобы функция была непрерывной в точке , необходимо и достаточно, чтобы

(35)

3.3 Классификация точек разрыва.

Определение 14. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Точка называется точкой разрыва функции , если функция либо неопределена в точке , либо не является в ней непрерывной.

Определение 15. Точка называется точкой устранимого разрыва, если

, но при этом неопределена в точке .

Определение 16. Точка называется точкой разрыва первого рода, если –существуют и конечны , причем

.

Определение 17. Точка называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов неопределен или равен бесконечности.

Пример 20.

Установить характер точки разрыва функции .

Решение:

Функция неопределена в точке . Вычислим односторонние пределы .

Таким образом, , следовательно, согласно определению 15 точка является для функции точкой устранимого разрыва.

Ответ: Точка является для функции точкой устранимого разрыва.

Пример 21.

Установить характер точки разрыва функции .

Решение:

Функция имеет следующий явный вид

Точкой разрыва функции является точка . Вычислим односторонние пределы.

Таким образом, , следовательно, согласно определению 16, точка является для функции точкой разрыва первого рода.

Ответ: Точка является для функции точкой разрыва первого рода.

Пример 22.

Установить характер точки разрыва функции .

Решение:

Точкой разрыва функции является точка . Вычислим односторонние пределы .

Один из односторонних пределов равен , следовательно, согласно определению 17, точка является точкой разрыва второго рода для функции .

Ответ: Точка является точкой разрыва второго рода для функции .

3.4 Асимптоты графика функции.

Определение 18. Прямая, расстояние до которой от графика функции стремится к нулю при стремлении одной из координат к бесконечности, называется асимптотой.

Определение 19. Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если .

Определение 20. Прямая является наклонной асимптотой графика функции , если .

Из определения 20 следует, что числа и могут быть найдены по формулам:

(36)

Если , то график функции не имеет наклонных асимптот.

(37)

Если , то график функции не имеет наклонных асимптот.

В частном случае , наклонная асимптота превращается в горизонтальную .

Пример 23.

Найти асимптоты графика функции .

Решение:

а) Найдем вертикальные асимптоты. Приравнивая знаменатель заданной функции к нулю , получаем .

Вычислим односторонние пределы при .

Точка является точкой устранимого разрыва функции.

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции.

б) Найдем наклонные асимптоты .

Числа и могут быть найдем по формулам (35),(36).

Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту .

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту и наклонную асимптоту .