§21. Центры тяжести некоторых однородных тел
1. Центр
тяжести дуги окружности. Рассмотрим
дугу AB
радиуса R с центральным углом
.
В силу симметрии центр тяжести дуги
лежит на оси Оx (рис.40).
Найдем координату xC
по формулам (49). Для этого выделим на
дуге AB
элемент MM/
длиной dℓ = Rd.
Координата x элемента MM/
будет x = R cos.
Подставляя эти значения x и dℓ в первую
формулу (49), получим
,
где L – длина дуги AB, равная R∙2. Отсюда находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, равном
xC = (Rsin)/, (50)
где угол измеряется в радианах.
Рис. 40
Приведем без доказательства еще два результата.
2. Центр тяжести площади кругового сектора ОАВ радиуса R с центральным углом 2(рис. 41) лежит на его оси симметрии на расстоянии от центра О, равном
.
(51)
Рис. 41 Рис. 42
3. Центр тяжести С объема полушара лежит на оси Оx (оси симметрии, рис. 42), а его координата
xC = OC = 3R/8, (52)
где R – радиус полушара.