§16. Равновесие при наличии трения скольжения

Трение между двумя соприкасающимися телами происходит прежде всего вследствие шероховатости их поверхностей и наличия сцепления у прижатых к друг другу тел. При покое тела увеличение силы, стремящейся привести тело в движение, вызывает увеличение силы трения от нуля до известного предела F_пр, больше которого сила трения быть не может. Этот предел называют силой трения скольжения при начале движения.

F_тр  F_пр . (35)

Как показывает опыт, максимальное значение силы трения пропорционально нормальному давлению:

F_тр = f N. (36)

Под нормальным давлением понимают составляющую полного давления, перпендикулярную соприкасающимся плоскостям. Так, если тело весом G лежит на плоскости, составляющей угол  с плоскостью горизонта С (рис. 36), то нормальное давление N = G cos. При постепенном увеличении угла уменьшается сила нормального давления (а, следовательно, и сила трения) и увеличивается составляющая веса, направленная вдоль наклонной плоскости G sin. При некотором угле  = _тр тело не сможет больше удерживаться трением на наклонной плоскости и начнет сползать вниз. Этот угол называют углом трения, тангенс его равен коэффициенту трения для данной пары трущихся материалов (тела и плоскости)

tg_тр = f. (37)

Этот же угол называют углом естественного ската, потому что сыпучее тело, лежащее на горизонтальной плоскости, имеет форму конуса, образующие которого наклонены под этим углом к горизонтальному основанию.

Рис. 36

Подсчитаем, например, сколько яровой пшеницы можно насыпать на круглую площадку диаметром 10 м, если насыпная плотность яровой пшеницы равна 750 кг/м³, а f = 0,75? Для этого умножим насыпную плотность яровой пшеницы на объем конуса , где  – угол естественного откоса (tg = f), и получим ответ (98000 кг).

Задача 6. Каким должен быть вес тела 1, для того чтобы началось скольжение вверх по наклонной плоскости (рис. 37), если сила F = 90 H, а коэффициент трения скольжения f = 0,3?

Рис. 37

Решение. Рассмотрим равновесие тела. На тело действуют силы ,,и. Составляя условия равновесия в проекциях на осиx и y, получим:

, .

Из последнего уравнения . Тогда. Подставляя это значение F_тр в первое уравнение и решая его, найдем окончательно

Н.

Глава 4

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

§17. Центр параллельных сил

Понятие о центре параллельных сил используется при определении положений центров тяжести тел.

В случае системы двух параллельных и одинаково направленных сил и, приложенных в точкахA₁ и A₂ (рис. 38), их равнодействующая и ее модуль определяются, очевидно, формулами

=+,R = F₁+F₂.

Линия действия равнодействующей параллельна слагаемым силам и тоже проходит через точку С, лежащую на прямой A₁A₂. Положение точки С найдем с помощью теоремы Вариньона. Согласно этой теореме или 0 =F₁∙h₁ – F₂∙h₂ = F₁∙A₁C cos – F₂∙A₂C cos, откуда

F₁∙A₁C = F₂∙A₂C . (38)

Рис. 38

Если силы иповернуть около точекA₁ и A₂ в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, то образуются две новые параллельные силы и, имеющие те же модулиF₁, F₂; следовательно, для сил ,равенство (38) сохранится и линия действия их равнодействующейтоже пройдет через точку С. Такая точка называется центром параллельных сили.

Приведенные выше рассуждения справедливы и для системы нескольких параллельных и одинаково направленных сил ,, …,, приложенных к твердому телу. Равнодействующая этой системы сил, модуль которой равен

, (39)

всегда будет проходить через одну и ту же точку С, положение которой по отношению к точкам приложения сил будет неизменным.

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Координаты центра параллельных сил определяются формулами:

, ,. (40)

где x_k, y_k, z_k – координаты точек приложения сил, R – определяется равенством (39).

Заметим, что формулы (39) и (40) будут справедливы и для параллельных сил, направленных в разные стороны, если считать F_k величинами алгебраическими (для одного направления со знаком плюс, а для другого – минус) и если при этом R ≠ 0.