Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1330 вузов, 5513 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Санкт-Петербургский государственный морской технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Интегралы.pdf
Скачиваний:
71
Добавлен:
18.04.2015
Размер:
621 Кб
Скачать
☆
►Содержание►

2.8. Несобственные интегралы b

В определении интеграла ∫ f (x)dx предполагалось, что: a

1)промежуток интегрирования [a;b] конечен.

2)функция f (x) определена и непрерывна на [a;b].

Такой определенный интеграл называется собственным (слово собственный обычно опускается).

Если нарушается хотя бы одно из условий 1) или 2), то интеграл называется

несобственным определенным интегралом.

Выясним смысл этого нового понятия для двух простейших случаев.

• Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования (I рода)

+∞

 

b

Этот интеграл по определению равен ∫ f (x)dx =

lim

∫ f (x)dx . Несобственный

a

b→+∞

a

 

интеграл с бесконечным пределом интегрирования часто называют несобственным интегралом 1 рода.

Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, в противном

случае интеграл называется расходящимся.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если F(x) - первообразная функция для подынтегральной функции

f (x) , то

 

+∞

 

 

 

 

 

[F(b) − F(a)]= F(+∞) − F(a), где F(+∞) = lim

 

 

 

∫ f (x)dx = lim

F(b)

 

 

a

 

 

b→+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b→+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

b

Аналогичным

образом

 

 

определяются интегралы:

∫ f (x)dx =

lim

∫ f (x)dx и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

a

→−∞

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

c

 

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

−∞

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

dx

+∞

 

 

 

 

x1−α

 

 

 

+∞

 

x1−α

 

 

 

1

 

 

1

 

, α >1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

∫x

−α

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

=

lim

 

 

 

 

 

α −1

.

 

 

x

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

−α

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1 −α

 

1

 

 

x→+∞1 −α

 

 

∞,

α <1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если α =1, то

+∞ dx

= ln

 

x

= ∞.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, интеграл

 

∫

- сходится при

p >1 и расходится при

p ≤1.

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Во многих случаях достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится.

Для этого могут быть полезными следующие теоремы.

 

 

 

 

 

 

Теорема 1 (Признак сравнения). Если для всех x ≥ a

выполняется неравенство

 

 

+∞

 

+∞

 

 

 

 

 

0 ≤ f (x) ≤ g(x) и если

∫g(x)dx сходится, то

∫ f (x)dx

тоже сходится, причем

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

+∞

+∞

+∞

 

 

+∞

 

∫ f (x)dx ≤ ∫g(x)dx . Если же ∫ f (x)dx расходится, то

∫g(x)dx - тоже расходится.

a

a

a

 

 

a

 

 

 

 

 

+∞

 

dx

 

 

 

 

 

 

Пример. Исследовать сходится ли интеграл ∫

 

 

 

 

.

 

 

x

2

 

x

)

 

 

 

1

(1 + e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

+∞

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Т.к.

 

 

 

 

<

и

∫

 

dx

- сходится, то данный интеграл сходится.

x

2

(1 + e

x

)

2

 

2

 

 

 

 

x

1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

+∞

Теорема 2. Если интеграл

∫

 

f (x)

 

dx сходится, то сходится и интеграл

∫ f (x)dx . В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Исследовать сходимость интеграла

∫

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

1

 

 

+∞

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как

 

≤

 

 

 

и ∫

dx сходится, то данный интеграл сходится абсолютно.

 

3

 

 

3

3

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

всех х ≥ а

 

 

 

 

Теорема

3

 

(Предельный

признак

сравнения).

Если

для

функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

+∞

 

f (x) ≥ 0 и

g(x) ≥ 0 ,

 

 

причем

f (x) ~

g(x) , то интегралы

∫ f (x)dx

и

∫g(x)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→+∞

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

одновременно сходятся или одновременно расходятся.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

x −1

е−хdx

 

 

 

 

 

 

 

 

x

−1

е−х

 

е−х

 

Пример.

 

 

 

∫

сходится,

так

 

как

 

~

и

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫е−хdx = −

е−х

 

 

< ∞ ― сходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

x −1

 

 

 

 

 

 

 

x −1

ех ~

ех

+∞

 

 

 

+∞ = ∞

Пример.

∫

 

ехdx расходится, так как

и

∫ехdx = ех

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x→+∞

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

― расходится.

•Несобственный интеграл от разрывной функции (II рода)

Пусть f (x) непрерывна при а ≤ х < c и имеет точку разрыва при x = c . Тогда несобственный интеграл

c

 

b

∫ f (x)dx =

lim

∫ f (x)dx

a

b→c−0

a

 

называется сходящимся или расходящимся в зависимости от того, существует или нет конечный предел.

Аналогично определяются интегралы:

 

 

 

b

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫ f (x)dx =

lim

 

∫ f (x)dx (разрыв в точке a )

 

 

 

с

a→c+0

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

x0

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

и ∫ f (x)dx =∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx (разрыв в точке x0 ).

 

a

 

 

 

a

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

a

dx

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

1−m

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. ∫

 

 

= ∫(x − a)−m d(x − a)=

(x − a)

 

 

=

(x − a)

m

 

1 − m

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1−m

 

 

 

1−m

 

 

(− a)1−m

 

 

lim

(x − a)

−

(− a)

=

 

 

 

 

 

, m <1,

 

 

m −

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − m

 

1 − m

 

 

 

x→a

 

 

 

∞,

 

 

 

m >1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

a

dx

 

 

 

 

 

 

 

a = ∞ расходится.

Если m =1, то ∫

= ln

 

x − a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x − a

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

dx

 

Таким образом интеграл ∫

 

 

 

 

сходится при m <1 и расходится при m ≥1.

 

 

 

 

m

 

 

0

(x − a)

Рассмотрим теоремы, устанавливающие признаки сходимости несобственных

интегралов от разрывной функции.

 

 

 

Теорема 1 (Признак сравнения). Если на отрезке [а; с] функции f (x) и g(x)

 

c

c

разрывные в точке с, причем g(x) ≥ f (x) ≥ 0 и ∫g(x)dx сходится,

то ∫ f (x)dx тоже

 

a

a

c

c

 

 

 

сходится. Если же ∫ f (x)dx расходится, то ∫g(x)dx тоже расходится.

 

 

 

a

a

 

 

 

 

c

 

 

 

Теорема 2. Если

f (x) разрывная функция в точке с и интеграл ∫

 

f (x)

 

dx сходится,

 

 

 

 

 

 

 

c

то интеграл ∫ f (x)dx

a

тоже сходится и такая сходимость называется абсолютной.

 

a

 

 

 

[а; с]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 3. Если на отрезке

функции

 

f (x)

и g(x)

разрывные в точке с,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

с

причем f (x) ≥ 0

и

g(x) ≥ 0 и

f (x)

~ g(x) ,

то

интегралы

∫ f (x)dx

и ∫g(x)dx

 

 

 

 

 

 

x→с

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

одновременно сходятся или одновременно расходятся.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

1

dx

 

 

Пример. ∫

 

 

2 dx сходится, так как

 

2

~

и ∫

сходится.

х +

4х

 

 

1

1

 

 

 

х

+ 4х

 

x→0

x

 

 

 

0 x

 

 

 

 

0

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕОРИИ

1.Как определяется первообразная для заданной функции f (x)?

2.Какими свойствами обладают первообразные?

3.Как называется множество всех первообразных для одной функции?

4.Какими свойствами обладает неопределенный интеграл?

5.Как выглядит таблица неопределенных интегралов для основных элементарных функций?

dx

6. По какому правилу вычисляются неопределенные интегралы вида ∫ x2 ± a2 ?

7. По какому правилу вычисляются неопределенные интегралы вида ∫

dx

?

 

x2 ± a2

 

8.Какая формула называется формулой интегрирования по частям?

9.Какие интегралы берутся с помощью формулы интегрирования по частям?

10.Что такое рациональная дробь?

11.Какая рациональная дробь называется правильной? Неправильной?

12.В каком виде может быть представлена неправильная рациональная дробь?

13.Какие рациональные дроби называются простейшими?

14.В каком виде может быть представлена правильная рациональная дробь?

15.Как вычисляются интегралы вида ∫R(x, k1 ax +b, k2 ax +b,K, km ax +b )dx ?

16.Как вычисляются интегралы вида ∫R(x2n , a2 − x2 )dx ?

33

17.Как вычисляются интегралы вида ∫R(x2n , a2 + x2 )dx ?

18.Как вычисляются интегралы вида ∫R(x2n+1, a2 ± x2 )dx ?

19.Как вычисляются интегралы вида ∫R(x2n , x2 − a2 )dx ?

20.Какая подстановка называется универсальной тригонометрической подстановкой? Как выглядят формулы такой подстановки?

21.Как вычисляются интегралы вида ∫sin m x cosn x dx ?

22.Как вычисляются интегралы вида ∫tg m x dx и ∫ctg m x dx ?

23.Можно ли утверждать, что для любой функции существует первообразная в виде суперпозиции элементарных функций?

24.Что называется определенным интегралом от функции f (x) по промежутку [a, b]?

25.Каков геометрический смысл определенного интеграла?

26.Для какого класса функций существует определенный интеграл?

27.Перечислите основные свойства определенного интеграла?

28.Какой интеграл называется интегралом с переменным верхним пределом? От какой переменной он зависит и как вычисляется производная от него по этой переменной?

29.Какая формула называется формулой Ньютона-Лейбница и для чего она применяется?

30.Как проводится замена переменной в определенном интеграле?

31.Как выглядит формула интегрирования по частям в определенном интеграле?

32.Как с помощью определенного интеграла вычисляется площадь области, ограниченной кривыми, заданными в декартовой системе координат?

33.Как с помощью определенного интеграла вычисляется площадь области, ограниченной кривыми, заданными параметрическими уравнениями?

34.Как с помощью определенного интеграла вычисляется площадь криволинейного сектора в полярных координатах?

35.Как с помощью определенного интеграла вычисляется длина дуги кривой, заданной в декартовой системе координат?

36.Как с помощью определенного интеграла вычисляется длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями?

37.Как с помощью определенного интеграла вычисляется длина дуги кривой, заданной в полярной системе координат?

38.Как с помощью определенного интеграла вычисляется объем тела по сечениям?

39.Как с помощью определенного интеграла вычисляется объем тела вращения?

40.Как с помощью определенного интеграла вычисляется поверхность тела вращения?

41.Как определяется несобственный интеграл 1 рода?

42.Какой несобственный интеграл 1 рода называется сходящимся? Расходящимся?

43.Как определяется несобственный интеграл 2 рода?

44.Какой несобственный интеграл 2 рода называется сходящимся? Расходящимся?

45.Как формулируется признак сравнения несобственных интегралов 1 рода?

46.Какой несобственный интеграл 1 рода называется абсолютно сходящимся?

47.Как формулируется предельный признак сравнения несобственных интегралов 1 рода?

+∞

dx

 

48. При каких значениях параметра p несобственный интеграл 1 рода ∫

 

является

x p

a

 

сходящимся?

49.Как формулируется признак сравнения несобственных интегралов 2 рода?

50.Какой несобственный интеграл 2 рода называется абсолютно сходящимся?

51.Как формулируется предельный признак сравнения несобственных интегралов 2 рода?

b

dx

52. При каких значениях параметра p несобственный интеграл 2 рода ∫

(x −b)p

a

является сходящимся?

 

5.ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

1.Определение первообразной и ее свойства.

34

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности