3. Комплексные числа в полярных координатах
Применим полярные
координаты (r,φ)
на комплексной плоскости z
(рис.1). Неотрицательное число r
называется модулем
или абсолютной
величиной
комплексного числа z.
Из рис.1 видно, что применяя формулы
теоремы чемпиона Олимпийских игр по
кулачному бою, Пифагора с острова Самос,
легко получить
.
Ясно, что r
по модулю всегда больше или равен нулю,
причём r
= 0 лишь в том случае, когда z
= 0. Отметим, что для модулей двух
комплексных чисел z1
и z2
естественным
образом выполняется неравенство
Минковского. Действительно, если z1
= х1
+ iу1
и z2
= x2
+iy2,
то
или
Это становится
очевидно, если вспомнить про геометрический
смысл |z1|,
|z2|
и |z1
+ z2|.
Угол φ обычно называют аргументом, реже фазой комплексного числа и пишут φ = Arg z. При z ≠ 0 аргумент определяется по формулам (см. рис.1)
cos
=
, sin
=
,
(1)
но согласно правилам тригонометрии, с точностью до 2πк (к− целое) то есть является действительной многозначной функцией. Обычно используется главное значение аргумента arg z, удовлетворяющее неравенствам –π φ ≤π в этом случае у каждого числа z существует лишь один аргумент.
В случае z = 0 аргумент не определён и может считаться любым. Если вспомнить из школьного курса тригонометрии формулу для тангенса половинного угла, то используя (1), можно записать
tg
=
=
=
,
.
Стало быть, для главного значения аргумента
arctg z = 2
arc tg
,
что является верным для всех комплексных чисел, кроме действительных, отрицательных и нуля.
Применение полярных координат позволяет получить тригонометрическую (иногда её называют «полярной») форму комплексного числа. Для этого нужно вместо х и у в определение комплексного числа подставить их выражения из (1). Получим
z = r(cos φ + i sin φ).
Любое действительное число А может быть представлено в виде комплексного (тригонометрическая форма) следующим образом.
A
=
(2)
Пример:
2 = 2(cos 0 + i sin 0) или
-17 = 17(cos π + i sin π).
Пример:
Запишем число z
= (-8) в
тригонометрической форме:
,
.
.
Т.к. z
находится в левой полуплоскости, то
.
Тригонометрическая форма этого числа
имеет вид:
.
Пример:
Запишем число
в алгебраической форме. Модуль z
= 2, а аргумент
.
Его действительная
часть
,
а мнимая часть
.
Таким образом, алгебраическая форма
числа z
имеет вид
.
Пример:
1) Вычислить модуль числа 3+4i
Re
(3+4i)=3; Im(3+4i)=4; r =
2) Найти главное значение аргумента числа 3-4i
argz
= 2 arctg
3) Записать комплексное число 1 в тригонометрической форме.
1 = 1(cos0 + isin0)
Задачи
1. Записать в
тригонометрической форме числа 3+4i,
-1+2i,
-
,
2. Найдите модуль комплексных чисел 3i, 3, 1, i.
3. Запишите числа
и
в тригонометрической форме
Тест
1. Что такое φ?
а) одна из фаз трёхфазного электродвигателя,
б) Фаза или аргумент комплексного числа,
в) угол между радиус-векторам комплексного числа и осью OY.
2. У чисел имеет и
а) аргументы будут равными,
б) модули будут равными,
в) модули будут равными, а аргументы нулевыми,
г) и аргументы и модули будут равными
3. У комплексного
числа
а) ReZ = ImZ,
б) r=1,
в) φ=
.