4. Сложение и вычитание комплексных чисел

Операции сложения и вычитания комплексных чисел ничем не отличаются от правил сложения и вычитания алгебры, изучаемой в школе. Единственное о чём нужно помнить, действительная и мнимая части должны быть записаны отдельно и перед мнимой частью должен стоять i (в общем случае результатом является комплексное число!). Сложение определяется следующим образом

z₁ +z₂ = (х₁ + iy₁) + (x₂ + iy₂) = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂)

Пример

+ i =

Вычитание вводится как разность z₁ и z₂, то есть z₁ – z₂ = (x₁ + iy₁) – (x₂ + iy₂) = (x₁ – x₂) + i(y₁ – y₂).

Пример

+ = +

Примечания:

1. Вспомните как складываются и вычитаются векторы по своим координатам и убедитесь в существовании прямой аналогии с содержанием этого раздела.

2. Результатом сложения двух комплексных сопряжённых чисел всегда является действительное число, результатом их вычитания - чисто мнимое. Убедитесь в этом.

Задачи

1. Сложить а) 2+3i и 2-3i, б) 2+3i и -2-3i, в) 2+3i и -2+3i

2. Вычесть а) 2+3i из 2-3i, б) 2+3i из -2-3i, в) 2+3i из -2+3i

Тест

1. Можно ли комплексные числа связать с векторами ?

а) Можно, б) Нельзя, в) В некоторых случаях нельзя.

2. Результат сложения и является

а) действительным числом, б)число мнимым числом, в)нулём.

3. Результатом вычитания и является

а) действительное число, б) число мнимое число, в)нуль.

4. Какой аргумент имеет результаты вычитания двух равных чисел?

а) 0, б) , в) , г) , д) , е) любой.

5. Умножение комплексных чисел и возведение их в степень

Операция умножения проводится по правилам умножения многочленов с учётом правила возведения в степень мнимой единицы i.

Ясно, что

и т.д.

Закономерность установить не сложно.

(3)

где n- любое натуральное число.

Перемножим два комплексных числа и .

= .

Пример:

Примечание: Результатом умножения комплексного числа на его сопряжение является действительное число. Убедитесь в этом сами.

Более эффектно операция умножения выглядит, когда перемножаются комплексные числа, заданные в тригонометрической форме:

= r₁(cosφ₁ + i sinφ₁) и z₂ = r₂(cosφ₂ + i sinφ₂) z = z₁z₂ = r₁(cosφ₁ + i sinφ₁) ∙ r₂(cosφ₂ + i sinφ₂) = r₁r₂ [(cosφ₁cosφ₂ – sinφ₁sinφ₂) + i (sinφ₁cosφ₂ + sinφ₂cosφ₁)].

Вспоминая школьный курс тригонометрии (теоремы сложения для косинуса и синуса) получим z = z₁z₂ = r₁r₂ [cos(φ₁ + φ₂) + i sin(φ₁ + φ₂)].

Таким образом, получаем правило «при умножении двух комплексных чисел друг на друга их модули перемножаются, а аргументы складываются».

Это свойство распространяется на любое число сомножителей. Нужно только либо перемножать их последовательно, либо пользоваться «таблицей умножения» (3). Геометрически результирующая картина будет следующая. Вектор О получается из вектора О , поворотом последнего на угол φ₂ (против движения часовой стрелки, если φ₂ › 0 ) и удалением в r₂ раз. Из введения правил умножения легко получается очень красивая формула Муавра, позволяющая возводить любое комплексное число в любую натуральную степень n. Пусть Тогда из вышеизложенного в данном разделе следует, что

, то есть

(4)

Равенство (4) называется формулой Муавра и часто используется на практике, Сам Абрахам Муавр установил не только правило возведения в степень, но и научился извлекать корень любой степени из комплексного числа. При этом правила он формулировал словесно, а аналитическую запись предложил позднее Леонард Эйлер.