Занятие 9-10. Исследование поверхности методом сечений

Цель занятия: Научиться определять вид поверхности по ее уравнению и восстанавливать уравнение поверхности по ее изображению.

Задачи

1. Исследовать методом сечений и построить поверхности:

1). ; 2).; 3).;

4). ; 5).; 6).; 7)..

2. По изображению поверхности составить ее каноническое уравнение.

Занятие 11-13. Построение тел, ограниченных поверхностями

Цель занятия: Научиться строить тела, ограниченные поверхностями.

Задачи

1. Построить тела, ограниченные поверхностями:

1). ;

2). ;

3). ;

4). ;

5). ;

6). ;

7). ;

8). .

Домашнее задание ИДЗ. Работа № 4. Построение тел, ограниченных поверхностями. [9].

Занятие 14. Отображения, их виды. Преобразования множества. Композиция преобразований

Задачи

1. Какие из приведенных ниже высказываний верны, а какие – нет?

1. Функция есть отображение множества всех действительных чиселв множество;

2. Функция есть отображение множества всех неотрицательных действительных чиселво множество;

3. Вычитание натуральных чисел есть отображение множества N×N во множество целых чисел.

2. . На плоскости задана аффинная система координат . Каждой точкеставится в соответствие точка, где. Тем самым задано отображение плоскости в себя. Найти образы и прообразы точек. Сделать рисунок.

3. Рассматривая функцию как отображение множества R в себя , найти:

1. образ отрезка [0; 2];

2. полный прообраз отрезка [0; 1];

3. множество значений данного отображения.

4. Рассматривая функцию как отображение множества R в себя, найти:

1. образ отрезка [0; π];

2. полный прообраз числа 0;

3. множество значений данного отображения.

5. Пусть А={1; 2; 3; 4}, В={а; b; с; d; е}. Задать какое-нибудь отображение f: , которое было бы инъективным, но не сюръективным.

6. Пусть A={1; 2; 3; 4; 5}, В={а; b; с; d}. Задать какое-нибудь отображение f: , которое было бы сюръективным, но не инъективным.

7. Пусть A={1; 2; 3; 4}, В={а; b; с; d}. Задать какое-нибудь отображение f: , которое было бы инъекцией и сюръекцией, т.е. биекцией.

8. Рассматривая функцию y=sin x как отображение множества R в отрезок [–1; 1], выяснить, является ли это отображение инъекцией? сюръекцией? биекцией?

9. Рассматривая функцию y=sin x как отображение отрезка в отрезок [–1; 1], выяснить, является ли это отображение инъекцией? сюръекцией? биекцией?

10. Рассматривая функцию y=sin x как отображение отрезка в отрезок [–1; 1], выяснить, является ли это отображение инъекцией? сюръекцией? биекцией?

11. Доказать, что если отображение f: является биекцией, то всякий элемент множестваB имеет ровно один прообраз.

12. Дано отображение f: . Доказать, что если всякий элемент множестваB имеет ровно один прообраз, то f – биекция (признак биективности).

13. Задать какое-нибудь преобразование:

1. множества A={1; 2; 3};

2. множества B={а; b; с; d}.

14. Отображение f плоскости в себя в некотором аффинном репере задано формулами x′= x+y+1, y′= x–y+2. Доказать, что f – преобразование плоскости.

15. Отображение f плоскости в себя в некотором аффинном репере задано формулами x′= а₁x+ b₁y+ c₁, y′= а₂x+ b₂y+ c₂ (1). Доказать, что отображение f является преобразованием тогда и только тогда, когда .

16. Являются ли преобразованиями плоскости, отображения, заданные следующими формулами:

1. x′= x – 2y + 5, y′= 3x – 6y + 1;

2. x′= x – 2y + 5, y′= 3x – 5y + 1;

3. x′= x + 1, y′= x + y.