1. Пример расчета на изгиб и кручение

Исходные данные

Определить диаметр вала зубчатой передачи, если вал передает мощность при угловой скорости. Силы, действующие на зубчатые колесаP₁, Р₂, Т₁, Т₂, А, показаны на расчетной схеме, рис. 2.4.

; ; .

Рис. 2.4.

Решение

Все вектора сил приведем к точкам, лежащим на оси вала. Получим расчетную схему (рис. 2.5), на которой представлены вектора сил в вертикальной и горизонтальной плоскостях, крутящий и изгибающие моменты.

Рис. 2.5.

При приложении к зубчатым колесам горизонтальных сил P₁ и Р₂ возникает крутящий момент в плоскости XOZ: ,, а также изгибающие моменты от этих же горизонтальных сил, приложенных к оси вала. При переносе силы А добавляется изгибающий моментв плоскостиХОY и в этой же вертикальной плоскости создают изгибающий момент вектора сил Т₁ и Т₂. Вектор силы А приложен вдоль оси вала. Однако величина его мала и осевое усилие от него учитываться не будет. Определим усилия, действующие на вал.

Крутящий момент находим из формулы:

.

Величины нагрузок определяем по величине и заданным соотношениям:

; ;

; ;

.

Изгибающий момент от силы А:

.

Построение внутренних усилий при изгибе в вертикальной плоскости

На рис. 2.6,а показана расчетная схема вала от вертикальных усилий (Т_1, Т₂иМ_z.). В плоскостиУОХдействует вдоль оси вала сила, которой пренебрегли. Определим опорные реакции от усилий, представленных на рис. 2.6,а.

Рис. 2.6

Так как система находится в равновесии, то для определения опорной реакций вычислим сумму моментов относительно левой опоры вала. Определим реакцию правой опоры R_B.

;

кН;

.

Аналогично определим реакцию левой опоры

;

кН;

.

Отрицательное значение опорной реакции R_Aменяет принятое при вычислении направление вектора силы. РеакцияR_A направлена вниз.

Проверим правильность вычислений.

Просуммируем проекции всех сил на ось Y

-7,51 -8,8 +13,2 + 3,11=0.

Построим эпюры поперечных сил (рис. 2.6,б) и изгибающих моментов (рис. 2.6,в):

для участка 0 0,2м

при кН;;

при х = 0,2 м ;;

для участка 0,2 0,6м

при кН;

;

при x = 0,2 м ; ;

при x = 0,6 м ; ;

для участка – 0 0,3м

при ; ;

при х = 0,3 м ; ;

при х = 0 м ; .

Построение эпюр внутренних усилий при изгибе в горизонтальной плоскости

Расчетная схема представлена на рис. 2.7,а. На вал действуют два вектора силы: Р₁ = 44 кн и Р₂ = 22 кн. Определим опорные реакции.

; ;

.

Вектор силы направлен вниз

; ;

.

Вектор силы направлен вверх. Проверка

; .

Рис. 2.7.

Построение эпюр иMy

Для участка 0 0,2м – ; ;

при x = 0 – ; ;

при x = 0,2 м – ; .

Для участка 0 0,3м – ; ;

при x = 0 – ; ;

при x = 0,3 м – ;

Построение эпюры внутреннего крутящего момента

Крутящий момент действует на участке вала от шестерни диаметром до шестерни диаметром . Расчетная схема и эпюра внутреннего крутящего момента приведена на рис. 2.8.

Рис. 2.8.

Расчетные моменты в сечениях вала:

при х = 0,2 м М_z = 1,5 кнм, М_y = 5,38 кнм, М_x= 2,2 кнм,

при х = 0,6 м М_z = 0,93 кнм, М_у = 1,467 кнм, М_x= 2,2 кнм.

Подбор сечения вала производим в сечении х = 0,2 м. Максимальный расчетный момент по III-ей теории прочности в соответствии с формулой (2.9) равен:

.

Условие прочности по формуле (2.8)

,

где W = W_z = W_y – осевой момент сопротивления поперечного сечения.

Минимально допускаемый момент сопротивления определяем по формуле:

.

Здесь ;.

Принимаем наружный диаметр вала равным D = 70 мм. Внутренний – d = 35 мм.

Осевой момент сопротивления такого вала будет:

.

Расчетные нормальные напряжения составят:

.

Момент инерции:

.