Часть III. Расчет статически неопределимой рамы

Задание

Для рамы, приведенной на рис. 7 (в гл. 1), выполнить следующие расчеты:

1. Раскрыть статическую неопределимость по методу сил, если жесткость на изгиб всех стержней, образующих раму, .

2. Построить эпюры продольных сил N, поперечных сил Q и изгибающих моментов М.

3. Подобрать сечения стержней рамы из равнобоких уголков, используя условие прочности по нормальным напряжениям, если допускаемые напряжения .

Исходные данные взять из табл. 1.2 и рис. 1.14.

Исходные данные

Вычерчиваем схему рамы и проставляем линейные размеры. Обозначаем и указываем величину внешней нагрузки (рис. 1.15,а).

Рис. 1.14.

Рис. 1.15.

Решение

1. Вычисляем степень статической неопределимости заданной рамы по формуле (1.10). Рама дважды статически не определима.

N=5-3=2.

2. Выбираем лишние неизвестные и основную систему (рис. 1.15,б). В качестве лишних неизвестных выбираем составляющие реакции в левой опоре. Составляем эквивалентную систему (рис. 1.15,в). Строим эпюры от единичных нагрузок, приложенных в направлении действия силХ₁иХ₂(рис. 1.15,г,д) для основной системы. Строим эпюру моментов от внешней нагрузки для основной системы (рис. 1.15,е).

3. Записываем канонические уравнения метода сил для заданной рамы:

4. Вычисляем коэффициенты системы уравнений.

Эти коэффициенты представляют собой перемещения. Для вычисления используем правило Верещагина. Коэффициент определяется путём перемножения эпюрМ_р и ,коэффициент – перемножением эпюр и ,коэффициент – умножением эпюры на и т.д.

;

;

;

;

.

5. Подставляем коэффициенты в систему уравнений и решаем её.

Решаем систему уравнений путем исключения одной неизвестной

Для решения умножим второе уравнение на коэффициент 2,877 и сложим его с первым уравнением. Получаем

Находим Х₁, подставив полученное значение в первое уравнение

;

.

Делаем проверку

Таким образом, реакции опоры найдены. В дальнейший расчет принимаем

6. Загружаем основную систему внешней нагрузкой и вычисленными реакциями Х₁ и Х₂ и строим эпюрыN, Q иМ(рис. 1.16), рассмотренными ранее способами.

Анализ эпюры Q показывает, что на участке ВС находится особенная точка, в которой Q = 0. Следовательно, на эпюре внутренних изгибающих моментов будет экстремум. Определяем это экстремальное значение. Для этого изображаем отдельно участок рамы ВС, полагая в точке С опору в виде жесткой заделки. Все нагрузки, приложенные на участке АВ, приводим к точке В. Таким образом все условия статики сохранены. Находим расстояние “m” из условия равенства нулю Q в точке M (рис. 1.16).

; .

Рис. 1.16.

Определяем момент М_М:

7. Подбираем сечение стержней рамы из условия прочности по нормальным изгибным напряжениям, опасное сечение на участке ВС, где. Из условия прочности

подбираем сечение стержней рамы, не учитывая в первом приближении напряжений, вызванных продольной силой. Наибольший изгибающий момент действует в вертикальном стержне и равен . Продольная сила на этом участке составляет

Требуемый момент сопротивления относительно оси, перпендикулярной плоскости, в которой действует изгибающий момент

.

Рис. 1.17.

Из сортамента подбираем равнобокий уголок – 100x100x10 (ГОСТ 8509-86), у которого в соответствии с обозначением осей (Прил. 2)

;

Момент сопротивления уголка относительно оси

.

Заданное сечение стержня рамы состоит из двух уголков, соединенных полками, поэтому

Сечение стержня

; .

Сделаем проверку прочности с учетом продольной силы, определив максимальные действующие напряжения в опасном сечении

;

.

Прочность рамы обеспечена.