13 Функция распределения и ее свойства

1. Функция распределения.

Для непрерывной случайной величины график функции распределения (рис. 2.3) имеет форму плавной кривой.

Свойства функции распределения:

1. ;

2. ;

3. , если .

Рис. 2.3 — Функция распределения непрерывной величины

2. Плотность распределения определяется как производная от функции распределения, т.е.

.

Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 2.4).

Свойства плотности:

1. , т.е. плотность есть неотрицательная функция;

2. , т.е. площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, всегда равна 1.

Если все возможные значения случайной величины Х заключены в пределах от a до b, то второе свойство плотности примет вид:

.

Рис. 2.4 — Кривая распределения

14 Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал

На практике часто оказывается необходимым знать вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключённое в некоторых пределах, например, от  до . Искомая вероятность для дискретной случайной величины Х определяется по формуле

,

при этом условились левую границу  включать в участок , а правую β— не включать.

Для непрерывной случайной величины Х формула  примет вид:

,

так как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю: .

Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х на интервал (,) определяется также выражением:

.

Эта вероятность численно равна заштрихованной площади на рис. 2.4.

Выразим функцию распределения через плотность. Функция распределения определяется выражением , а, учитывая , получаем формулу для вычисления функции распределения непрерывной случайной величины

,

где х в верхнем пределе интегрирования представляет собой конкретное значение аргумента.

Задача 2.2. В условиях задачи 2.1 найти вероятность того, что число попаданий в мишень будет находиться в пределах от 1 до 3 (т.е. будет равно или 1, или 2).

Решение. На основании  имеем

.

Действительно,

.

Задача 2.3. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти плотность , а также вероятность того, что в результате испытания случайная величинаХ примет значение, заключённое в интервале .

Решение:

1. 

2. Вероятность попадания случайной величины Х в интервал определяем по формуле . Принимаяи, находим

или по формуле 

.

16 Математическое ожидание, его свойства

Закон распределения характеризует полностью случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако при решении ряда задач достаточно бывает указать только отдельные числовые параметры, характеризующие основные черты распределения; например, какое-то среднее значение (центр распределения), около которого группируются возможные значения случайной величины, или, например, число, характеризующее степень разброса этих значений относительно среднего, и т.д.

Математическое ожидание служит характеристикой центра распределения случайной величины. Применяют обозначения: или.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности

.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х определяется по формуле

.

Свойства математического ожидания:

1. , где С — постоянная величина;

2. 

3. ;

4. , если — взаимно независимые случайные величины.