33 Критерий согласия пирсона

В качестве меры расхождения между кривой и гистограммой К. Пирсон предложил вычислять величину

,

где m_i — практическое число значений х_i в i‑м интервале; k — число интервалов;  — теоретическое число значений х_i, ожидаемое в i‑м интервале при подобранном распределении ; р_i — теоретическая вероятность попадания в i‑й интервал, определяемая, например, для нормального закона по формуле .

Величина ² подчинена "хи-квадрат" распределению, зависящему от одного параметра r, называемого числом степеней свободы:

,

где k — число интервалов, s — число параметров, оцениваемых по выборке.

Степень согласованности статистического распределения с теоретическим оценивается вероятностью Р, полученной из таблиц Приложения E по величинам r и  ².

Критическим значением вероятности считают [1,стр.79].

Поэтому, если полученное из таблиц значение вероятности окажется меньше критического уровня значимости, т.е. , то делают вывод о том, что результаты опыта следует считать противоречащими гипотезе о предполагаемом законе распределения вида.

34 Оценивание параметров

При малом числе измерений нельзя решить задачу определения закона распределения, можно лишь найти оценки и(приближённые значения неизвестных основных параметрови).

Оценкой неизвестного параметраа называют любую функцию элементов выборки.

Наилучшей из всех возможных значений оценок называют такую оценку, для которой выполняются свойства:

1. состоятельности, т.е.

;

2. несмещённости, т.е.

;

(невыполнение этого требования приводит к систематической ошибке в оценке параметра);

3. эффективности, т.е.

Последнее свойство означает выбор из всех оценок оценки с минимальной дисперсией, т. е. наиболее точной оценки.

Можно доказать, что, "наилучшей" оценкой для неизвестного математического ожидания является среднее арифметическое.

36 Точечные оценки параметров и понятие о доверительных интервалах

Оценка неизвестного параметра одним числом, например, по формуле , называется точечной оценкой. Недостаток такой оценки состоит в том, что точечная оценка является величиной случайной и не совпадает с параметром а, особенно при малом числе измерений. Более совершенным является способ оценивания с помощью доверительных интервалов. В задачу интервального оценивания входит построение интервала, который с заранее выбранной доверительной вероятностью  накрывает неизвестное точное значение параметра.  — близкая к единице вероятность, принимаемая в практических расчётах равной 0,90÷0,95.

Так, доверительный интервал для математического ожидания при известном среднем квадратическом отклонении  строят по формуле

,

где

и ,

t выбирается из таблиц интеграла вероятностей (Приложение B) по заданной вероятности .

Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении строят по формуле:

,

где

; ;.

Коэффициент t_ определяют по заданной вероятности и числу степеней свободыв таблице распределения Стьюдента (ПриложениеD).

5.1 Понятие о статистических связях

Существует две формы зависимости между величинами Х и Y: функциональная и статистическая.

Функциональной зависимостью между двумя величинами Х и Y называют такую зависимость, при которой каждому значению Х соответствуют значения Y, которые можно точно указать (например: ,и т.д.).

Статистической зависимостью между величинами Х и Y называют такую зависимость, при которой каждому значению Х соответствует распределение значений Y, изменяющееся вместе с изменением Х.

Частным случаем статистической связи является прямолинейная корреляционная зависимость, при которой с изменением Х изменяется математическое ожидание Y по линейному закону.