3.3 Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал

Если от случайной величины Х перейти к её нормированному значению , для которойи, то в этом случае плотность распределения (2.19) примет вид:

,	35235\* MERGEFORMAT (.)

а функция распределения будет определяться формулой

,	36236\* MERGEFORMAT (.)

где .

Заштрихованная площадь на рис. 3.2 под кривой распределения численно равна .

Вероятность попадания случайной величины Х на интервал , как известно, определяется по формуле 119.

Переходя к нормированным значениям границ интервала  и , получим

.	37237\* MERGEFORMAT (.)

Значения можно найти по таблицам по аргументуt.

Рис. 3.2 — Функция распределения

3.4 Интеграл вероятностей

Более удобной для табулирования является функция , называемая интегралом вероятностей

.	38238\* MERGEFORMAT (.)

Численно функция равна заштрихованной площади на рис. 3.3. (в осяхt и ).

—функция нечётная, т.е. , что позволяет объём таблиц для неё сократить вдвое по сравнению с таблицами для. В ПриложенииB приводится таблица значений функции .

Рис. 3.3 — Интеграл вероятностей

По графикам, представленным на рис. 3.2 и рис.3.3 , можно установить соотношение между и. Согласно 2‑му свойству плотности вся площадь под кривой распределения равна единице. Заштрихованную на рис. 3.2 площадь, численно равную, разобьём на две части (отдо 0 и от 0 до t), одна из которых равна 0,5, а вторая — . Получаемформулу связи функции распределения и интеграла вероятностей

.	39239\* MERGEFORMAT (.)

Формула 237 с учётом 239 примет вид:

.	40240\* MERGEFORMAT (.)

Известно также, что функция представляет собой вероятность попадания случайной величиныХ в интервал, симметричный относительно математического ожидания (в осях х и ), т.е.

.	41241\* MERGEFORMAT (.)

Для случайных ошибок измерений выражение 241 примет вид:

.	42242\* MERGEFORMAT (.)

Так, для по таблице ПриложенияB находим , а длянаходим.

На основании этих теоретических расчетов устанавливают допуски в инструкциях, назначают предельные ошибки по правилу:

(или )

Результаты измерений, у которых ошибки превышают предельную, равную 2 (или 3), бракуют, и измерения переделывают заново.

Задача 3.1. Найти вероятность того, что ошибка измерений угла  не превзойдёт по абсолютной величине 6,0, если СКО измерений угла равно 10,0, а математическое ожидание ошибок измерений равно нулю (это означает отсутствие систематических ошибок).

Решение: и— найти . С учётом симметричности пределови свойства функции, получаем по формуле 240

(Значение интеграла вероятностей находим по таблице ПриложенияB).

3.5 Дополнительные характеристики разброса случайной величины

Кроме среднего квадратического отклонения , иногда применяют другие характеристики разброса случайной величины: среднее и вероятное отклонения.

Среднее отклонение — это центральный абсолютный момент первого порядка

.	43243\* MERGEFORMAT (.)

Вероятным отклонением r называют величину, равную половине длины участка, симметрично расположенного относительно математического ожидания, вероятность попадания на который равна 0,5. Вероятное отклонение находят из условия:

.	44244\* MERGEFORMAT (.)

Для нормального закона распределения случайной величины Х имеют место следующие соотношения:

и .	45245\* MERGEFORMAT (.)

Выполнение этих соотношений свидетельствует о близости закона распределения исследуемого статистического ряда к нормальному закону распределения (см. раздел II).