4 Элементы математической статистики

4.1 Основные задачи. Понятия

463Equation Section (Next)Математическая статистика — наука, которая занимается разработкой методов приближённого решения вероятностных задач на основе статистических данных.

Основные задачи математической статистики:

1. Определение закона распределения случайной величины — задача сглаживания или выравнивания статистического ряда;

2. "Задача проверки правдоподобия гипотез", тесно связанная с первой задачей, позволяет ответить на вопрос: согласуются ли результаты опыта с гипотезой о подобранном законе распределения вида (для ответа на этот вопрос служат "критерии согласия");

3. Задача об определении наилучших оценок неизвестных параметров, например, параметров ии задача оценки точности этих оценок.

Основные понятия.

Результаты наблюдений над случайной величинойХ называют выборкой из генеральной совокупности (из всех возможных значений случайной величины Х).

При большом числе наблюдений выборку оформляют в виде статистического группированного ряда: при этом весь диапазон значений х_i делится на интервалы, подсчитывается количество значений x_i, приходящееся на каждый интервал m_i , затем вычисляют частоты . Составляют таблицу: статистический ряд распределения.

Таблица 4.1
Интервалы			…
M	m1	m2	…	mi
Q	Q1	Q2.	…	Qi

Практика показывает, что число интервалов k должно быть порядка 10–20.

Статистический ряд графически оформляется в виде гистограммы.

Для этого по оси абсцисс откладывают интервалы, на которых строят прямоугольники, площади которых равны Q_i (рис. 4.1). Ясно, что . Высоты прямоугольников вычисляют по формуле

.	47347\* MERGEFORMAT (.)

Аналогом функции распределения в математической статистике служит статистическая функция распределения

.	48348\* MERGEFORMAT (.)

4.2 Числовые характеристики

Статистические начальные и центральные моменты определяются по формулам:

;	49349\* MERGEFORMAT (.)
.	50350\* MERGEFORMAT (.)

Статистические математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение определяют соответственно по формулам:

;	51351\* MERGEFORMAT (.)
;	52352\* MERGEFORMAT (.)
.	53353\* MERGEFORMAT (.)

4.3 Дополнительные характеристики: асимметрия и эксцесс

Нормированный центральный момент третьего порядка называют асимметрией (скошенностью)

,	54354\* MERGEFORMAT (.)

а величина

55355\* MERGEFORMAT (.)

называется эксцессом и является мерой крутости, т.е. островершинности или плосковершинности кривой. Для кривой плотности нормального закона: ,.

Критериями нормального закона служат неравенства [1,стр.84]:

и ,	56356\* MERGEFORMAT (.)

где

и ,	57357\* MERGEFORMAT (.)

Значительное отклонение иот нуля, т.е. невыполнение условий 356, означает отклонение исследуемого распределения случайной величины от нормального.

4.4 Определение закона распределения на основе опытных данных

Исследование распределения статистического ряда начинается с построения гистограммы (рис. 4.1). По виду гистограммы, а также из соображений, связанных с существом задачи, делают предположение о виде теоретической кривой распределения. Если, например, исследуется ряд случайных ошибок измерений, то можно считать, что теоретической кривой является кривая нормального распределения вида 133.

Оценки инеизвестных параметровиопределяются по формулам 351 и 352. Тогда уравнение кривой 133 принимает вид

.	58358\* MERGEFORMAT (.)

Выражение 358 обычно приводят к виду

.	59359\* MERGEFORMAT (.)

где

60360\* MERGEFORMAT (.)

выбирают из таблиц Приложения A по аргументу

.

Затем на графике гистограммы строится выравнивающая её теоретическая кривая по значениям х_i и , вычисленным для левых границ интерваловх_i (см. таблицу 4.1).

Рис. 4.1 — Гистограмма и выравнивающая кривая