TIPOVOJ_RASChET_3_DEKABR
.pdf
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
11 |
|||
|
1. |
Найдите и изобразите на плоскости область определения функции |
|||||||
|
|
|
|
|
z = |
y |
. |
||
|
|
|
|
|
cos x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
lim x |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
2. |
Вычислите |
|
4−2y 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
x →0 3x |
+y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y →0 |
|
|
|
|
|
|
du |
3. |
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите |
|||||||
, если u = tg(3t2 |
+ 4x 3 −y), где |
x = |
1 , |
y = t . |
|||||
dt |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
4. Найдите производные zx′ и zy′ |
заданной неявно функции |
|||||||
|
|
|
|
|
z sin(x 2y) +xyz = 5 . |
||||
5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции
z= (x −y)exy .
6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции
f (x;y) = 2x +y2
вточке (8,01;3,03).
7.Составьте уравнения касательной плоскости и нормальной прямой для поверхности
x2 −y2 − 5z = 0
вточке (0;5;-5).
8.Исследуйте на экстремум функцию
z= 3x 2 +18xy +18y − 8x + 8 .
9.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
z = (x −1)2 +2y2
на замкнутом множестве, ограниченном линией (x −1)2 +y2 = 1.
В а р и а н т 12
|
1. |
Найдите и изобразите на плоскости область определения функции |
|||||
|
|
|
|
z |
= arcsin y . |
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2. |
Вычислите lim |
|
xy −x |
|
|
. |
|
|
x − |
y ) |
||||
|
|
x →0 sin( |
|
||||
|
|
y →0 |
|
|
|
|
|
|
3. |
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите |
|||||
du |
, если u = eat (y −z) , где |
y = a sint , z = a cost , a = const . |
|||||
dt |
|
a2 |
|
|
|
|
|
4. Найдите производные zx′ и zy′ заданной неявно функции exyz + sin(xy) + zx = 0 .
5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции
z= y ln xy .
6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции
|
f (x,y) = ex 3y2 −1 |
в точке (1,02;0,98). |
|
7. |
Составьте уравнения касательной плоскости и нормальной прямой |
для поверхности |
|
|
z 2 + x 2 = 5 |
в точке (-1;6;2). |
|
8. |
Исследуйте на экстремум функцию |
|
z = 7x 2 − 6xy + 3y2 − 4x + 7y −12 . |
9. |
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции |
|
z = (x −1)2 +2y2 |
на замкнутом множестве, ограниченном линией (x −1)2 +y2 = 1.
В а р и а н т 13
1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции z = 1 −x 2 + y2 −1 .
2−
2.Вычислите lim x 2 +y2 .
x→0
y→0
3.Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите1 + x 2y2
du |
, если u = sin(t3 |
+ 5x 2 +y), где x = et , y = 2t . |
dt |
|
|
4. Найдите производные zx′ и zy′ заданной неявно функции ezx − cos(2xz) +y2 = 0 .
5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции
z= arctg(x + 2y).
6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции
f (x;y) = e3x 5y4 −3
вточке (1,03;0,99).
7.Составьте уравнения касательной плоскости и нормальной прямой для поверхности
x2 + y2 + 3z 2 = 1
|
|
1 |
; − |
1 |
; − |
1 |
|
|
в точке |
|
|
|
|
. |
|||
2 |
2 |
6 |
||||||
|
|
|
|
|
8. Исследуйте на экстремум функцию
z= xy − 3x 2 −y2 + x −12 .
9.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
z = x 2 + xy +y2 −2x −y
на замкнутом множестве, ограниченном линиями x = 3, y = 3 , x +y = 3 .
В а р и а н т 14
1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции
|
x 2 |
− |
y2 |
−1 |
−21 |
|
z |
= |
9 |
4 |
. |
||
|
|
|
|
|
||
2
2.Вычислите lim sin 5y2 .
x→0
y→0
3.Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдитеsin 3x
du |
, если |
u = ln sin(xy) , где x = 3t2 , y = t2 +1 . |
dt |
|
|
4. Найдите производные zx′ и zy′ заданной неявно функции ezy +2 sin(x 2y) +z = 0 .
5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции
z= arcsin(xy).
6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции
f (x;y) = x 2 21 +y2
вточке (2,03;2,01).
7.Составьте уравнения касательной плоскости и нормальной прямой для поверхности
z 2 + 2x 3 − 3y2 − 3 = 0
вточке (1;1;2) .
8.Исследуйте на экстремум функцию
z= 6 − 3x 2 − 4y2 + x −y .
9.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
z = 3x 2 +y2 − 3y3 +y
на замкнутом множестве, ограниченном линией 3x 2 +y2 = 1.
|
|
В а р и а н т 15 |
|||
1. |
Найдите и изобразите на плоскости область определения функции |
||||
|
|
z = arcsin |
x |
+ arcsin(1 −y) . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y2 |
||
2. |
Вычислите lim |
1 + x +y −1 |
. |
||
|
|||||
|
x →0 |
x +y |
|||
|
y →0 |
|
|
|
|
3. |
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите |
||||
du |
, если |
u = ln cos(xy), где x = 5 t3 , y = et . |
dt |
|
|
4. Найдите производные zx′ и zy′ заданной неявно функции xy + zx −yz = 0.
5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции
z= sin(xy).
6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции
f (x;y) = ln(x 3 +y2 )
в точке (0,04;1,04).
7. Найдите градиент функции |
z = sin |
2 |
3x +e |
−y |
в точке |
π |
;2 |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
8. Исследуйте на экстремум функцию
z= 3 ln x + xy2 −y 3 .
9.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
z = x 2 −2y2 + 4xy + 4y
на замкнутом множестве, ограниченном линиями x = 0, y = 0 , y +2x = 2 .
В а р и а н т 16
1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции z = arccos x 2 x+y2 .
arctg(x 2 +y2 )
2.Вычислите .
x→0 x +y
y→0
3.Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдитеlim
du |
, если u = ex 2 +3y4 +t , где x = sint , |
y = 2t + 5 . |
dt |
|
|
|
4. Найдите производные zx′ и zy′ |
заданной неявно функции |
|
z ln(x + z) − xy = 0 . |
|
|
|
3 |
5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции
z= arctg yx .
6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции
f (x;y) = sin(3x 2 + 5xy −13)
в точке (1,04;1,94).
7. Найдите градиент функции z = ln x −y в точке (2;1) .
8. Исследуйте на экстремум функцию
z= x − x 2 + 3y − 4y2 .
9.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
z = x 2 + 4y2 + 4y3 +1
на замкнутом множестве, ограниченном линией x 2 + 4y2 = 1.
|
|
|
|
В а р и а н т |
17 |
|
|||||
|
1. |
Найдите и изобразите на плоскости область определения функции |
|||||||||
|
|
|
|
|
z = |
|
|
|
xy |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x 2 +y2 |
+ x |
||||
|
2. |
Вычислите lim |
(x 2 −1)(xy +1) |
. |
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
x →∞ |
|
x y |
|
|
|
|
|
||
|
|
y →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
3. |
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите |
|||||||||
, если u = arctg(3x 2 + 5 |
y ), |
где |
x = e2t , |
y = 3t 3 . |
|||||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найдите производные zx′ |
и zy′ |
заданной неявно функции |
|||||||
|
|
|
|
z 2 ln(y + z) − xz = 1. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
5. |
Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции |
|||||||||
|
|
|
|
z = 13 (x 2 +y2 )3 . |
|||||||
6. Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции
f (x;y) = 2x 3 + 3yx 2 +y2
в точке (1,02;1,05).
7. |
Найдите градиент функции z = tg(2x2 + 3yx 2 −5) в точке (2;1). |
8. |
Исследуйте на экстремум функцию |
z= yx −2x 2 + 6y −y2 + 3 .
9.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
z = 2x 2 + 3y −xy + 4
на замкнутом множестве, ограниченном линиями x = 0, y = 0 , y = x +1 .
В а р и а н т 18
1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции
z = arctg e−xy −1 .
2.Вычислите x .
x→1 y x −1
y→1
3.Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдитеlim x 2y3 −
du |
, если u = arcsin(5x + 3y2 ), где |
x |
= 2t 4 +1 , |
y = 1 . |
|
|
|
|
|||
dt |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
4. |
Найдите производные zx′ и zy′ |
заданной неявно функции |
||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xz −ey + x 3 +y3 = 0 . |
|
|
|
|
|
||||
|
5. |
Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции |
|
||||||||
|
|
z = |
x 2 +2y . |
|
|
|
|
|
|||
|
6. |
Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение |
|||||||||
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f (x;y) = tg(x 4 +2xy2 −9) |
|
|
|
|
|||||
в точке (1,01;1,97). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= |
2 −y |
|
|
π |
|
|
|
|
7. |
Найдите градиент функции |
z |
|
|
в точке |
|
|
; 3 |
. |
|
|
sin 3x |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. Исследуйте на экстремум функцию
z= 8x − 6x 2 +12y −y2 + 3 .
9.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
z = 9x 2 + 4y2 + 2y3 − 6y
на замкнутом множестве, ограниченном линией 9x 2 + 4y2 = 1.
В а р и а н т 19
1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции z = ln(−x) + x − 4y2 .
2 − 2
2.Вычислите lim x +y
x→0
y→0
3.Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдитеy ) .2 arcsin(x
du |
, если u = arctg(txy), где x = et , |
y = |
2t +1 . |
|
dt |
|
|
|
|
|
4. |
Найдите производные zx′ и zy′ |
заданной неявно функции |
|
|
|
x |
|
|
|
|
yz −ey + z 2 + x 3 + 4y3 = 0 . |
||
|
5. |
Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции |
||
|
|
z = (x 2 +y2 )− |
1 |
|
|
|
2 . |
||
|
6. |
Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение |
||
функции |
|
|
||
|
|
f (x;y) = x 3 +y3 |
||
в точке (1,02;1,97). |
|
|
||
|
7. |
Найдите градиент функции z = ln(y2 − x ) в точке (1;2). |
||
|
8. |
Исследуйте на экстремум функцию |
|
|
|
|
z = x 2 −xy +y2 + 3x −2y +1 . |
||
|
9. |
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции |
||
|
|
z = 3xy −12x 2 − 3y2 + x |
||
на замкнутом множестве, ограниченном линиями x = 0, y = 2 , y = 2x .
В а р и а н т 20
1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции z = x +2 −5 −6y −y2 .
2.Вычислите lim sin(x +xyy ) .
x→∞
y→∞
3.Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите
du |
, если u = tg(t + 3x 4 |
+y), где x = lnt , |
y = e2t . |
dt |
|
|
|
4. Найдите производные zx′ и zy′ заданной неявно функции
z
xyz −e 5 + x 2 +y2 = 0 .
5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции
z= x ln yx .
6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции
f (x;y) = x 4 +y3
в точке (1,02;1,98). |
|
|
|
|
|
3 |
(2y −x) в точке |
π |
; |
π |
|
7. Найдите градиент функции z = cos |
|
2 |
. |
||
|
|
4 |
|
|
8. Исследуйте на экстремум функцию
z= (x −2)2 +2y2 .
9.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
z = 2 − 4x 2 −y2 + 4y − 43 y3
на замкнутом множестве, ограниченном линией 4x 2 +y2 = 1.