TIPOVOJ_RASChET_3_DEKABR
.pdf
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
В а р и а н т 1
1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции z = 2x +y + x −2y .
2.Вычислите lim x 2 +y2 +y2 ) .
x→0
y→0
3.Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдитеsin(x 2 +y2 )cos(x 2
du |
, если u = ex2 +3y5 , где x = sin2t , |
y = t 3 . |
dt |
|
|
|
4. Найдите производные zx′ и zy′ |
от функции, заданной неявно |
|
x 2 + z 2 −2y2 − 5x z +10z 3 − 5 = 0 . |
|
5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции
z= sin2(2x +y).
6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции
f (x;y) = x y
в точке (1,04;2,05).
7. Составьте уравнения касательной прямой и нормальной плоскости
для линии
x = t , y = t2 , z = 1 − 2t
вточке (2;4;0).
8.Исследуйте на экстремум функцию
z= 2xy − 6x 2 −y2 + 4y .
9.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
z = (x −2)2 +2y2
на замкнутом множестве, ограниченном линиями x = 0, y = 2 −x , y = 0 , y = 1.
|
|
|
В а р и а н т |
2 |
|||||
1. |
Найдите и изобразите на плоскости область определения функции |
||||||||
|
|
|
|
z = ln x + ln(y2 |
− 4x) . |
||||
2. |
Вычислите lim |
1 − cos(x 2 |
+y2 ) |
. |
|
||||
(x |
2 |
+y |
2 |
|
2 2 |
|
|||
|
x →0 |
|
|
)x y |
|
|
|||
y →0
du dt
3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите , если u = 3z 2 + zy5 +y3 , где z = sint , y = e2t2 .
4.Найдите производные zx′ и zy′ от функции, заданной неявно
xy − 5xyz = 20x z .
5.Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции
z= cos2(3x + 5y) .
6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции
f (x;y) = x 2 +y2
вточке (4,05;2,96).
7.Составьте уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для линии
x = sint , y = 2 cost , z = 4t
вточке (0;2;0).
8.Исследуйте на экстремум функцию
z= 3xy −12x 2 − 3y2 + x .
9.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
z = 3xy −12x 2 − 3y2 + x
на замкнутом множестве, ограниченном линиями x = 0, y = 0 , y = 1 −x .
В а р и а н т 3
1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции z = x −2 y .
2. Вычислите lim |
sin x |
. |
|
|
|||
xy −2 x |
|||
x →0 |
|
||
y →2 |
|
|
du dt
3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите
, если u = ln arcsin(x −y), где x |
= 3t2 , y = |
1 . |
|
|
t |
4. Найдите производные zx′ и zy′ |
от функции, заданной неявно |
|
z 3 + 5yz = a 3 , a = const .
5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции
z= tg(x + 7y).
6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции
f (x;y) = arctg |
|
x |
−1 |
|
|
y |
|
||
|
|
|
|
вточке (1,98;1,02).
7.Составьте уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для линии
x = et cost , y = et sin t , z = et
вточке (1;0;1).
8.Исследуйте на экстремум функцию
z= 2x 2 + 4y2 +y −xy .
9.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
z = 2x 2 + 4xy −2y2
на замкнутом множестве, ограниченном линиями x = 2 , y = 2 , x +y = 2 .
|
|
|
|
В а р и а н т |
4 |
|
||
|
1. |
Найдите и изобразите на плоскости область определения функции |
||||||
|
|
|
|
z = |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 −x 2 |
− 1 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2. |
Вычислите lim x 2 |
−2y2 . |
|
|
|
||
|
|
x →0 |
x |
+y |
|
|
|
|
|
|
y →0 |
|
|
|
|
|
|
du |
3. |
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите |
||||||
, если u = 5x 3 + 4x 2 −y , |
где |
x = cost , |
y = e2t . |
|||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найдите производные zx′ |
и zy′ от функции, заданной неявно |
|||||
|
|
|
|
ez |
−xyz = 3xy . |
|||
|
5. |
Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции |
||||||
z= exy .
6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции
f (x;y) = x y+1
вточке (0,98;2,02).
7.Составьте уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для линии
x = 2t , y = lnt , z = t2
вточке (2;0;1).
8.Исследуйте на экстремум функцию
z= 2x 2 + 3y −xy + 4 .
9.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
z = 3x + 6y −x 2 −xy + y2
на замкнутом множестве, ограниченном линиями x = 2 , y = 1, x +y = 2 .
В а р и а н т 5
|
1. |
Найдите и изобразите на плоскости область определения функции |
|||||||
|
|
|
|
|
z = ln(y2 − 4x + 8)−1 . |
||||
|
2. |
Вычислите |
lim |
|
xy |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
xy + |
1 −1 |
||||||
|
|
|
x →0 |
|
|||||
|
|
|
y →0 |
|
|
|
|
|
|
du |
3. |
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите |
|||||||
, если u = cos(x 2 |
+ 5y), |
где |
|
x = e3t , y = sin 2t . |
|||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найдите производные zx′ |
|
и zy′ от функции, заданной неявно |
|||||
|
|
|
|
|
sin(xyz) −x 2y +z = 0. |
||||
|
5. |
Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции |
|||||||
z= x sin2 y .
6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции
f (x;y) = ln (3 x + 4 y −1)
вточке (1,03;0,98).
7.Составьте уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для линии
x = cost , y = sint , z = ln cost
вточке (1;0;0).
8.Исследуйте на экстремум функцию
z= x 2 −2y2 + 4xy + 4y .
9.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
x
z = e 2 (x +y2 )
на замкнутом множестве, ограниченном линиями x = 0, x = 1, y = 0 , y = 3 .
В а р и а н т 6
1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции
z = arccos x 2 +y2 . 9
x2
2.Вычислите lim x 2 + 2x −xy −2y .
x→2
y→2
3.Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите−y2
du |
, если u = sin(2x 3 |
+y3 ) , где x = ln 2t , |
y = t 3 . |
dt |
|
|
|
4. Найдите производные zx′ и zy′ от функции, заданной неявно cos(x 2yz) +xy + 5z = 0 .
5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции
z= y cos2 x .
6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции
f (x;y) = ex3y4 −8
вточке (2,02;0,97).
7.Составьте уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для линии
x = t , y = t 3 , z = lnt
вточке (1;1;0).
8.Исследуйте на экстремум функцию
z= x 2 + xy +y2 −2x −y .
9.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
z = 2x 3 − xy
на замкнутом множестве, ограниченном линиями y = 2x , y = x , x = 1.
В а р и а н т 7
1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции
z = 4x −y2 . ln(1 −x 2 −y2 )
5
2.Вычислите lim(1 + 2xy)xy .
x→0
y→0
3.Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите
du |
, если u = ln(ex +ey ), где x = t5 , |
y = cos2t . |
|
dt |
|
|
|
|
4. |
Найдите производные zx′ и zy′ |
от функции, заданной неявно |
|
|
(x 2 +y2 +z2 )2 −a2(x 2 −y2 ) = 0 . |
|
|
5. |
Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции |
|
|
|
z = sin2(x −y). |
|
|
6. |
Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение |
|
функции |
|
||
|
|
f (x;y) = ln (3 x − 4 y ) |
|
вточке (8,03;0,99).
7.Составьте уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для линии
x = 2 cost , y = 3 sint , z = 5
вточке (0;3;5).
8.Исследуйте на экстремум функцию
z= 3x 2 +y2 + 3x − 4y +1.
9.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
z = 3 ln x + xy2 −y 3
на замкнутом множестве, ограниченном линиями y = 0 , y = 2 , x = 1, x = 3.
В а р и а н т 8
1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции
z = |
9 |
. |
|
ln |
|
||
x2 +y2 |
|||
du dt
2. Вычислите lim(x 2 +y2 )sin |
1 |
. |
|
||
x →0 |
xy |
|
y→0
3.Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите
, если u = ln(et +ex ), где x = t 3 .
4. Найдите производные zx′ и zy′ от функции, заданной неявно zxey + z 2xy = 0 .
5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции
z= ln(x 2 −y2 ).
6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции
f (x;y) = ln ( x − 3 y )
вточке (4,02;1,03).
7.Составьте уравнения касательной плоскости и нормальной прямой для поверхности
z = 3x 2 + 4xy −y2
вточке (0;1;-1).
8.Исследуйте на экстремум функцию
z= x 2 + xy +y2 −2x −y .
9.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
z = x 2 − xy +y2 + 3x − 2y +1
на замкнутом множестве, ограниченном линиями y = x , y = 3x , x = 2 .
В а р и а н т 9
1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции
du dt
z = arcsin x |
+ xy . |
3 |
|
|
1 |
+ |
y x |
2. Вычислите lim |
. |
||
x →∞ |
|
|
x |
y→3
3.Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите
, если u = ln arctg(x) , где x = et .
4. Найдите производные zx′ и zy′ заданной неявно функции yezx + 2z 3x 2y = 0 .
5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции z = ln(xy).
6. Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции
f (x;y) = ln (3 x − y )
вточке (8,03;1,02).
7.Составьте уравнения касательной плоскости и нормальной прямой для поверхности
z = 2x 2 + 3y2
вточке (1;-1;5).
8.Исследуйте на экстремум функцию
z= (x −1)2 −2y2 .
9.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
z = 7x 2 − 6xy + 3y2 − 4x + 7y −12
на замкнутом множестве, ограниченном линиями x = 3, y = 0 , y = x .
В а р и а н т 10
1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции z = y sin x .
2.Вычислите lim x +y .
x→0
y→0
3.Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите2x
du |
, если u = arcsin(5t3 |
+x), где x = t2 |
+1 . |
dt |
|
|
|
4. Найдите производные zx′ и zy′ функции, заданной неявно x 2ezy + xyz = 3 .
5. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции
z= arctg(xy).
6.Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции
f (x;y) = x 2y
вточке (1,02;2,02).
7.Составьте уравнения касательной плоскости и нормальной прямой для поверхности
x2 −2y2 −z 2 = 3
вточке (-2;0;1).
8.Исследуйте на экстремум функцию
z= (x −1)2 +2y2 .
9.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
z = 3x 2 +18xy +18y − 8x + 8
на замкнутом множестве, ограниченном линиями y = 2 , y = x , x = 0.