dilman_tipovoy_raschet

В а р и а н т

15

1.

Вычислите определитель

2

1

1

8

1

−3

−6

9

.

0

2

2

−5

1

4

6

0

2.

Найдите матрицу C:

C =((A2 )T B +B)T ;

−5 0 −2

−2 −3 0 1

A = −1 1 0 ; B = 1 −1 0 −2 .

4 1 −1

−5 3 −3 1

3. Решите систему методом Крамера:

−2x + y +8z =198,

5x +3y + 2z = 297,

6x + y + z = 99.

4.

Решите матричное уравнение

−7

0

3

X 1 2 −5 = (−24 0 −48).

1

−1

1

5. Решите систему методом Гаусса:

2x1 + x2 − x3 − x4 + x5 =1,

x1 − x2 + x3 + x4 −2x5 = 0,

3x1 +3x2 −3x3 −3x4 + 4x5

= 2,

4x1 +5x2 −5x3 −5x4 +7x5

= 3.

G

6.

Проверьте, что векторы образуют базис: a (5; −3; 1), bG(0; 2; 1),

G

c(1; 0; 4). Вектор d составляет

с

осью OX острый угол, сG осью OY

угол 1350, с осью OZ угол 1200;

d

=8. Какой угол вектор d образует

с осью OX? Разложите вектор d

G

G

по базису a, b, c .

отрезок AB в

отношении

2 : 3, а точка

E делит

отрезок BC в

отношении 1: 2 . Пусть

JJJG

G

JJG

G

JJJG

JG

AB = a

, BC

= b . Найдите векторы AF и FC.

G

G

G

G

G

G

a

= 2 ,

b

=1 и

G

=

13 . Найдите

8. Пусть p

= 2a + b

, q = a +3b ,

p

модуль вектора q .

вектора x (x; 3x; 1),

9. Найдите

координаты

если

проекция

вектора xG

×aG(−1; 1; 1)

на вектор b(−2; 1; 2) равна 2.

10. В

тетраэдре

KLFE

K (0; 0; −4),

L(0; 3; −9),

F(1; 3; −6),

вершина E лежит на оси OX, высота тетраэдра, опущенная из

вершины E, равна

30

. Найдите координаты вершины E и объем

115

В а р и а н т

16

1.

Вычислите определитель

5

1

2

7

3

0

0

2

.

1

3

4

5

2

0

0

3

2.

Найдите матрицу C:

6 −4 0 1

−2 4

C = (BBT +3A)T ; A

= 0 1 −2 2 ;

B = 0 −4 .

3 1 1 −1

2 −1

3 2 4 −3

−5 0

3. Решите систему методом Крамера:

6x +2y +5z = 2,

3x +5y −2z =1,

4x +7y −3z =1.

4.

Решите матричное уравнение

−8 0 2

−16 8

1 −1 −1 X = 24

0 .

0 4 2

−32 −24

5. Решите систему методом Гаусса:

x1 + x2 −6x3 −4x4 = 6,

− x2

−6x3 −4x4 = 2,

3x1

2x1 +3x2 +9x3 + 2x4

= 6,

3x

+ 2x

2

+3x

3

+

8x

4

= −7,

1

aG(1; −1; 2),

6.

Проверьте, что

векторы

образуют

базис:

bG(0; −3; −4), cG(5; 0; −6). Вектор d составляет с осью OX угол

2π

, с

3

π;

осью OY тупой угол, с осью OZ угол

d

=10. Какой угол вектор d

4

G G

G

образует с осью OY? Разложите вектор d по базису a, b, c .

34

В а р и а н т

17

1.

Вычислите определитель

1

1

3

4

2

0

0

8

.

3

0

0

2

4

4

7

5

2.

Найдите матрицу C:

1 −3 −1

7 −7 1

C = (4A −3BT )2 ;

A = 2 0 −2

; B = 0 1 2 .

4 5 6

5 0 −8

3. Решите систему методом Крамера:

2x + y +3z = 6,

7x +5y +9z =3,

3x +3y + 4z =10.

4.

Решите матричное уравнение

3

−5

0

7

0

−14

X

0 5

−4

=

21

−7

0

.

−7

1

9

5. Решите систему методом Гаусса:

x1 + 2x2 −3x3 + 4x4 = 4,

2x1 −3x2 + x3 −2x4 = −2,

x1 + 2x2 +3x3 + x4 = 7,

2x1 −3x2 −5x3 + x4 = −5.

aG(−1; 0; 2),

6.

Проверьте, что

векторы

образуют

базис:

bG

(4; −5; 0), cG(−7; 1; −2). Вектор d составляет с осью OX угол 1200, с

осью OY угол 450, с осью OZ острый угол;

d

= 2. Какой угол вектор

G

G G

G

d образует с осью OZ? Разложите вектор d

по базису a, b, c .

7. В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне

BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит

отрезок AB

в

отношении

3:1,

а

точка E

делит

отрезок BC в

JJJG

G JJG

G

JJG

отношении 1: 2 . Пусть AB = a , AC = b . Найдите вектор BF.

8. Пусть

G

G

G

G

G

a

= 4 ,

b

=1,

G G

p = a

−2b, q = −a −b,

(a; b)=1200 .

Найдите проекцию вектора

G

на вектор p .

3p +q

9. Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален векторам aG

(−1; 2; 3)

и b(1; 2; −1),

образует с вектором

cG(3; 4; 5)

тупой угол, а модуль вектора x равен

21.

10.

В

тетраэдре

PMQR

M(0; 1; −2), Q(−5; 5; −2),

R (1; −1; 6),

вершина

P(0; y; −1), высота тетраэдра,

опущенная из вершины P,

равна

9

. Найдите координаты вершины P и объем тетраэдра.

42

11.

В

треугольнике

ABC

уравнение

биссектрисы

угла

A

x + y −9 = 0 , уравнение высоты из точки C

3x − y −5 = 0 и B(−4; 5).

Найдите уравнение стороны AC.

12.

Напишите уравнение прямой, симметричной данной прямой

x = −2t −4,

l : y = 5t +3, относительно плоскости 3x −5y +4z −257 = 0.

z = t +1

A(2; −1; 3),

B(3; 4; 1),

13.

В

параллелепипеде ABCDA1B1C1D1:

C(1; 3; 2), A1 (3; 2; 2). Найдите расстояние между прямыми AB1

и

A1C1.

Составьте уравнение кривой, отношение расстояний точек

14.

которой до данной точки A(0; 10) и до данной прямой y =6,4 равно

5

. Полученное уравнение упростите и постройте кривую.

4

15.

Установите,

какая

кривая

определяется

уравнением

В а р и а н т

18

1.

Вычислите определитель

0

5

2

0

8

3

5

4

.

7

2

4

1

0

4

1

0

2.

Найдите матрицу C:

2 −1 0

5 1 −1

C = ((3BT )2 −4ATB); A = 1 −1 2 ;

B = 0 1 −2 .

3 0 −3

3 −1 2

3.

Решите систему методом Крамера:

2x + y +3z =19,

3y +z =1,

4x +2y +5z = 31.

4.

Решите матричное уравнение

1 −1 3 −3 −15 −45

0 5

X

=

.

−6 5

30

0

5.

Решите систему методом Гаусса:

x1 + 2x2 −3x3 + 4x4 = 7,

2x1 + 4x2 +5x3 − x4 = 2,

5x1 +10x2 +7x3 + 2x4 =11.

aG(−1; 6; 0),

6.

Проверьте,

что

векторы

образуют

базис:

bG

(−2; 4; 5), cG(1; 0; 3). Вектор d составляет с осью OX тупой угол, с

осью OY угол 1350, с осью OZ угол

π;

d

= 2

. Какой угол вектор d

3

G G

G

В а р и а н т

19

1.

Вычислите определитель

2

2

1

3

−3

−1

2

1

.

4

3

−1

4

−2

1

0

−1

2.

Найдите матрицу C:

−1 1 −2

1 2 −2 −4

C =(−(A2 )T B + B)T : A = 3 −3 1 ; B = 0 0 −1 6 .

0 4 0

6 7 8 −9

3.

Решите систему методом Крамера:

2x +3y +3z = −2,

−3x −4y −5z = 3,

x +5y −z =1.

4.

Решите матричное уравнение

23 0 −23

7 8 1

−3 −2 0 X = −46 23 0 .

1 5 −1

0 46 2

5.

Решите систему методом Гаусса:

3x1 −x2 + x3 = 6,

−5x2

+ x3 =12,

x1

+4x2 = −6,

2x1

2x

1

+ x

2

+3x

3

= 3,

5x

1

+4x

3

=

9.

a (1; 2; 3), bG(3; −1; 3),

6. Проверьте, что векторы образуют базис:

G

G

составляет с осью OX угол

π, с осью OY

c(0; 5;

−2). Вектор d

2π

4

острый угол, с осью

OZ угол

;

d

= 4. Какой

угол вектор d

3

G

G G

образует с осью OY? Разложите вектор d

по базису a, b, c .

40