Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

dilman_tipovoy_raschet

.pdf

Скачиваний:

117

Добавлен:

09.05.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне

BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит

отрезок AB в

отношении

:1,

а точка

E делит отрезок

JJJG

JJG

JJJG

JJG

отношении 3:1. Пусть AB = a

BC = b . Найдите векторы DF и AF.

= 2 ,

= 3 и векторы p

Пусть p

= 3a

−b, q = a

+ b,

перпендикулярны друг другу. Найдите модуль вектора q .


9. Найдите координаты вектора x из условий: вектор x
ортогонален векторам aG(0; 2; 3) и b(1; 1; 3), а его проекция на вектор
cG(2; 2; 1) равна 5.				M (−2; −1; −2), L(4; 0; −4),
10. В		тетраэдре TMLF T(1; −1; 0),
вершина		F(−2; y; 0), высота тетраэдра,		опущенная из вершины F,
равна	36		. Найдите координаты вершины F и объем тетраэдра.
	337

11.

Уравнения основания и боковой стороны равнобедренного

треугольника ABC соответственно

2x − y −5 =0 и

4x +3y −5 = 0.

Точка

D(3; 3)

лежит на

боковой

стороне.

Запишите

уравнение

третьей стороны.

12.

Составьте

уравнение

прямой, проходящей

через две

x + 2

y −1

x = t + 2,

скрещивающие

прямые

l2 :

y = −t −4,

−3

z = −2t +1

x −3

y + 4

z −5

параллельно прямой l3 :

13.

В параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1: A(2; 2; −1),

B(2; 3; 1),

C(3; 2; 3), A1 (2; 3; 3). Найдите расстояние между прямыми AC и BC1.

14. Составьте уравнение кривой, отношение расстояний точек которой до данной точки A(0; 8) и до данной прямой y = 4,5 равно

43 . Полученное уравнение упростите и постройте кривую.

15. Установите,	какая	кривая	определяется	уравнением
x = −3 −2 y2 + 4y +3 , изобразите ее			на координатной	плоскости,

найдите координаты фокусов этой кривой.

				В а р и а н т					20
1.	Вычислите определитель								−3
					1		0	2
					1		0	2
					5		2	10	−15	.
					−2		7	−1	−6
					3		1	5	13
2.	Найдите матрицу C:					4	−1 0		2
						4	−1 0		2
C = (−BT B +3A2 )		T				−3 0 2 1					;		−1 1 3 4
C = (−BT B +3A2 )			; A =								;	B =	0 −4 2 7	.
						2 5 −7 −1							0 −4 2 7
						0	0	1	5

3. Решите систему методом Крамера:

3x +2y +5z =175,2y + z = −25,

7x + 4y +3z = 25. 4. Решите матричное уравнение

	0	−3	4	−22		0	44

X	−2 2 4			=	0	22	0	.
	2	−3	1

5. Решите систему методом Гаусса:

x1 + 2x2 −4x3 =1,
2x1 + x2 −5x3 = −1,
x1 − x2 − x3 = −2,
4x1 +5x2 −13x3 =1.
6. Проверьте, что векторы образуют базис: aG(−4; 1; −4),
bG(3; 2; 3), cG(1; 0; 2). Вектор d составляет с осью OX угол	π	, с осью
	3

	π
OY угол	π	, с осью OZ тупой угол;	d	= 6. Какой угол вектор d
	4			G G G
	4			G G G
образует с осью OZ? Разложите вектор d				по базису a, b, c .
		42

7. В параллелограмме ABCD точка E лежит на стороне BC, а

точка F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE

и BF. Точка E делит отрезок BC в отношении 2 : 3, а точка F делит

отрезок CD

в отношении

3: 2 .

Пусть

JJG G

JJJG

AB = a ,

AD = b . Найдите

JJJG

JJG

векторы GB

иGGEG

8. Пусть p = a

+ 2b ,

q = 2a

−b,

=3,

=1 и

19 . Найдите

модуль вектора q .

9. Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален векторам

aG(2; −2; 1)

и b(0; 1; 2), образует с вектором

cG(−5; 4; 3)

острый угол, а модуль вектора x равен

45 .

10. В тетраэдре

ABCD

A(−2; 1; −2),

B(−4; 1; −3),

C(−2; 5; −8),

D(x; 4; 0), высота тетраэдра, опущенная из вершины D, равна

Найдите координаты вершины D и объем тетраэдра.

AB: BC = 2 :3.

11. В прямоугольнике ABCD отношение сторон

Уравнение

прямой

AB x +2y −4 = 0,

точка

Q(1; −6)

–

точка

пересечения диагоналей. Найдите уравнения прямых AC и BD.

12. Составьте

уравнение

прямой,

проходящей

через

две

x −4

y +1

z −2

x = 0,

скрещивающие

прямые

l2 : y = 2t −5,

−1

z = 4t

x −2

y +1

z −4

параллельно прямой l

−2

13. В параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1: A(1; 4; 2), B(2; 0; −1),

C(2; 4; 3), A1 (1; 5; 2). Найдите расстояние между прямыми BD и AB1. 14. Составьте уравнение кривой, отношение расстояний точек

которой до данной точки A(0; 2) и до данной прямой y =8 равно 12 .

Полученное уравнение упростите и постройте кривую.

15. Установите, какая кривая определяется уравнением x = −1+ 4 y +1 , изобразите ее на координатной плоскости, найдите координаты фокусов этой кривой.

В а р и а н т

Вычислите определитель

−1

Найдите матрицу C:

−1

C =((2A)

A −B2 )

−2 1 −3 4

−2 1

−5 0

;

A =

; B =

4 0

−1 −2

−1 0 5

−1

−7

3. Решите систему методом Крамера:

−x +2y =102,

−2x + y −2z =119,

x +2y −3z =34.

Решите матричное уравнение

−2 4 5

4 −8

−1 2

12 −4

X =

−3

−5

32 −16

5. Решите систему методом Гаусса:

x1 + x2 +3x3 −2x4 +3x5 =1,

+2x2

+ 4x3 − x4 +3x5 = 2,

2x1

+3x2

+5x3 −2x4 +3x5

=1,

3x1

+2x2

+8x3 −3x4 +9x5

= 2.

2x1

bG(4; 5; 0),

Проверьте, что векторы образуют базис: a (1; 0; −3),

c(0;

−2; −5)

. Вектор d составляет

с осью OX тупой уголG, с осью OY

угол 450, с осью OZ угол 1200;

=8. Какой угол вектор d образует с

G G

осью OX? Разложите вектор d по базису a, b, c .

7. В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит

отрезок

AB в

отношении 2 : 3

, а точка E

делит

отрезок

BC в

JJJG

JJG

отношении 2 :1. Пусть AB = a , AC = b

. Найдите векторы FC и FE.

= 2 ,

= 3,

8. Пусть p

= −a

+3b ,

q =

−b,

(a; b)=1200 .

Найдите косинус угла между векторами p и q .

9. Найдите

координаты вектора

x (2x; 3; − x),

если

проекция

вектора xG×aG(3; −1; 1) на вектор b(1; 2; 2)

равна 2.

R (−3; −1; 6),

10. В

тетраэдре

SPQR

S(−5; −2; 4),

P(−2; −2; 6),

Q(0; y; 2), высота тетраэдра, опущенная из вершины Q, равна

Найдите координаты вершины Q и объем тетраэдра.

11. В

∆ABC

известны:

вершина

B(0; 4) ,

сторона

AC : x −3y −2 = 0,

высота

CH : 2x +3y −4 = 0. Найдите уравнение

средней линии ∆ABC , параллельной стороне AB.

12. Составьте

уравнение

прямой,

проходящей

через

две

y −2

z −

x = −3t + 2,

скрещивающие

прямые

= t,

l1 :

: y

−1

= −1

x −5

y + 2

z −1

параллельно прямой l3 :

A(2; −1; 1), B(3; 5; 4),

13. В

параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1:

C(1; −1; 2), A1 (1; 4; 2). Найдите расстояние между прямыми AC и

A1B.

14. Составьте уравнение кривой, отношение расстояний точек которой до данной точки A(0; 2) и до данной прямой y =12,5 равно

0,4 . Полученное уравнение упростите и постройте кривую.

15. Установите, какая кривая определяется уравнением

y =1+	1	8x − x2 , изобразите ее на координатной плоскости, найдите
	2

координаты фокусов этой кривой.

В а р и а н т 22

1.	Вычислите определитель				−1
			1	0		1
			1	0		1
			2	1	3	−1	.
			4	0	3	2
			−1	1	1	2
2.	Найдите матрицу C:
			−1		1	0
	C = (−3A2 + 2BBT )T			2	−3	1
	C = (−3A2 + 2BBT )T	; A =		2	−3	1
				−3	−2	4
				−3	−2	4
				7	−1	0

3. Решите систему методом Крамера:

−x + y + 2z = 3,−2x + y +3z = 3,

x + y +5z =8. 4. Решите матричное уравнение

2		−2		0
0			4	−5
0	;	B =	4	−5	.
0			−2
0			−2	−1
5			3	−8

−12

−2 2

−24

−6

5. Решите систему методом Гаусса:

x1 +2x2 −3x3 + x4 =1,

−x2 + x3 +2x4 = 2,

2x1

+3x2 −5x3 +2x4

= 4,

4x1

+4x2 −7x3 +5x4

= 7.

7x1

6. Проверьте, чтоGвекторы образуют базис: a (−5; 3; 0), b(0; 1; 1),

c(−1; 0; −2). Вектор d составляет с осью OX угол 1350, с осью OY

острый угол, с осью OZ

угол 1200;

=12. Какой угол вектор d

G G G

образует с осью OY? Разложите вектор d по базису a, b, c .

7. В параллелограмме ABCD точка E лежит на стороне BC, а

точка F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE
и BF. Точка E делит отрезок BC в отношении 3:1, а точка F делит
отрезок CD	в отношении		1:3.	Пусть		JJG	G	JJJG	G	Найдите
						AB = a ,		AD = b .
JJJG	JJG	G	G	G					G	G
векторы AG иGFG . G
8. Пусть	p = −a	−3b ,	q = 2a −b,		a	= 2 ,	b	= 4,	(a; b)= 600 .
			G
Найдите проекцию вектора				на вектор p .
			2p +3q

	9. Найдите координаты вектора x из условий: вектор x
ортогонален векторам aG(1; 0; 3) и b(2; 1; 3), а его проекция на вектор
cG	(6; 3; 2) равна −1.
	10. В тетраэдре EFDC E(0; −2; −4), F(4; −2; −1), D(3; −4; −4),
C(−1; 0; z), высота тетраэдра, опущенная из вершины C, равна		36	.
		181	.
		181

Найдите координаты вершины C и объем тетраэдра.

11. Высота и медиана, проходящие через разные вершины треугольника ABC, лежат на прямых, заданных уравнениями

соответственно

2x + y −8 =0

6x −7y −15 = 0.

Найдите уравнения

сторон AB и AC, если B(7; 4).

12. Составьте

уравнение

прямой, проходящей через две

скрещивающие прямые l :

x + 2

y −5

и l

x +1

y +3

z −1

−1

параллельно прямой l3 :

x −3

y +1

z −4

−3

A(3; 1; 1),

B(2;−1;1),

13. В параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1:

C(4; 2; 1), A1 (3; 2; 2). Найдите расстояние между прямыми BD и B1C.

14. Составьте уравнение кривой, отношение расстояний точек которой до данной точки A(0; −4) и до данной прямой y = −9 равно

23 . Полученное уравнение упростите и постройте кривую.

15. Установите, какая кривая определяется уравнением

x = 3 −	3	y2 −2y +5 , изобразите ее на координатной плоскости,
	2

найдите координаты фокусов этой кривой.

В а р и а н т 23

1.	Вычислите определитель									−2
								1	3		4
								1	3		4
								0	1	−2	0	.
								3	−1	3	0
								4	1	2	5
2.	Найдите матрицу C:									1	−1
										1	−1
C = (A −B		T	)(A	T	+ 2B)	2	;			0	1
C = (A −B			)(A		+ 2B)		;		A =	0	1
										−4	8
										−4	8

3. Решите систему методом Крамера:

x + y −z = 0,2x + y −z = 4,

x −3y +z = 2.

0		−4		0	1
−2	;		−5 0
		B =			−1 .
−4			−6	7	4

4. Решите матричное уравнение						−7
	7 7	0 1	49			−7
	X			=	63	14	.
	−1 −2	−1 2			63	14

5. Решите систему методом Гаусса:

		x1 + x2 − x3 −4x4 = −3,
			2x1 −x2 + x3 −2x4 = 0,
			2x1 −x2 + x3 −2x4 = 0,
			−x1 +3x2	+ x3 + x4 = 4,
			−x1 +3x2	+ x3 + x4 = 4,
				+ x3 −5x4 =1.
		2x1 +3x2		+ x3 −5x4 =1.			aG(−3; 0; −1),
6. Проверьте, что			векторы	образуют базис:			aG(−3; 0; −1),
bG(2; 9; 0), cG(0; 4; −3). Вектор d составляет с осью OX угол								π, с осью
	π							6
OY угол						=10. Какой угол вектор d
OY угол		, с осью OZ тупой угол;			d	=10. Какой угол вектор d
	4					G G	G
	4					G G	G
образует с осью OZ? Разложите вектор d по базису a, b, c .

отрезок

отношении 3: 2 ,

точка E

делит

отрезок

JJJG

JJG

JJJG

отношении 1:1. Пусть AB = a , BC = b . Найдите векторы AF и FC.

= 2 ,

= 3,

G G

8. Пусть

= −a

+3b ,

q = 2a −b,

(a; b)=1200 .

Найдите

длину диагоналей

параллелограмма, построенного

на

векторах p и q .

9. Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален векторам aG(3; 0; 2)

b(2; 1; −1),

образует с вектором

cG(1; −1; 1)

тупой угол, а модуль вектора x равен

62 .

P(−2; 8; 1),

10. В

тетраэдре

OMPN

O(−4; 8; 0),

M(0; 9; 0),

N(x; 5; 0), высота тетраэдра,

опущенная из вершины N,

равна

Найдите координаты вершины N и объем тетраэдра.

11. В

треугольнике

ABC

уравнение

биссектрисы

угла

2x + y −13 = 0, уравнение высоты

из

точки

C 4x −3y +24 = 0

B(1; 1). Найдите уравнение стороны AC.

12. Составьте

уравнение

прямой,

проходящей

через

две

x −4

y +1

z −3

x = −2,

скрещивающие

прямые

и l2

= 3t

+1,

: y

= −t

−4

x −2

y +1

z −4

параллельно прямой l

−4

−5

A(3; 2; 1),

B(4; 3; 2),

13. В

параллелепипеде ABCDA1B1C1D1:

C(1; 0; 1),

A1 (6; 4; 2). Найдите расстояние между прямыми AB1

A1C1.

14. Составьте уравнение кривой, отношение расстояний точек которой до данной точки A(0; 4) и до данной прямой y =16 равно

0,5. Полученное уравнение упростите и постройте кривую.

15. Установите, какая кривая определяется уравнением y = 4 + 2 2x − x2 , изобразите ее на координатной плоскости, найдите координаты фокусов этой кривой.

						В а р и а н т					24
1.	Вычислите определитель									−1
							1		2		5
							1		2		5
							1		5	6	3	.
							−1		−2	3	5
							2		4	−2	8
2.	Найдите матрицу C:												−1 0 −3 0
C = (B +3(A			)B)				1 −1 4						−1 0 −3 0
		T		T	;			−3 2		−4				−1 1 2 −2
					;	A =		−3 2		−4	;		B =	−1 1 2 −2	.
								1 0		−1				0 −4 −5 5
								1 0		−1				0 −4 −5 5

3. Решите систему методом Крамера:

2x + y −4z = 3,x −2y +z = −1,3x + y +2z = 4.

4. Решите матричное уравнение

−10 0 6

= (28

−56 0).

−1

Решите систему методом Гаусса:

x1 + x2 −3x

4 −4x5 = 0,

+ 2x4 − x5 =1,

x1 + x2 − x3

2x1 +2x2 + x3 − x4 +3x5 = 0.

aG(−1; 1; 0),

Проверьте,

что

векторы

образуют базис:

bG(3; 0; −5), cG(0; −4; 5). Вектор d составляет с осью OX острый угол,

с осью OY угол

2π

, с осью OZ угол 450;

= 6. Какой угол вектор d

G G

образует с осью OX? Разложите вектор d

по базису a, b, c .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2025183 Кб17DES, AES.docx
#
08.05.20158 Мб75Design Patterns Explained. Williams 2002.pdf
#
09.05.20151 Мб37Design patterns.pdf
#
01.07.20252 Мб4detali.docx
#
08.05.20152 Мб704Die deutsche Sprache.doc
#
09.05.20152 Мб117dilman_tipovoy_raschet.pdf
#
01.07.2025440 Кб1Diplom_Batalova.doc
#
01.05.2025528 Кб0Diplom_Novikova_18_01_14.docx
#
01.05.2025148 Кб1Diplom_osnovnoy.docx
#
01.05.2025176 Кб1Diplom_osnovnoy.docx
#
01.07.202586 Кб0Diplom_sasha_2.docx