Краткий курс математического анализа. Том 2

140 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Пусть X Rn и X0 Rn — измеримые множества, а τ = {Xj }jj==j1τ — разбиение множества X. Отберем те множества Xj τ , которые не пересекаются с множеством X0, и обозначим их совокупность τ (X0); совокупность же оставшихся Xj τ , т. е. тех, которые пересекаются

причем, множества τ (X0) и τ0(X0) не имеют общих элементов.

Л е м м а 8. Если μX0 = 0, то

lim μXj = 0. (42.86)

|τ|→0

Xj τ0(X0)

Согласно определению предела (42.82) надо доказать, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех разбиений τ мно-

жества X мелкости |τ | < δ выполняется неравенство

Xj τ0(X0)

Из определения (42.9) множества Sk(X) для произвольного множества X Rn следует, что множество X содержится в множестве внутренних точек множества Sk(X), т. е.

Это следует из того, что если точка x принадлежит множеству X, то все кубы ранга k, ее содержащие, содержатся в множестве Sk(X), а все кубы ранга k, содержащие какую-либо точку, содержат и некоторую ее окрестность (см. замечание 6 в п. 42.1). Таким образом, Sk(X) содержит окрестность точки x X, что и означает принадлежность этой точки к внутренности множества Sk(X).

По условию μX0 = 0, поэтому (замечание 11 из п. 42.1) и μX0 = 0. Поскольку X0 — измеримое множество, то X0 является компактом (см. замечание 12 в п. 42.1).

Согласно включению (42.88), примененному к компакту X0, этот компакт не пересекается с дополнением Rn \ Sk(X0)int к открытому

множеству Sk(X0)int. Это дополнение является замкнутым множе- ством (см. лемму 6 в п. 33.3), не пересекающимся с компактом X0, а поэтому (см. теорему 6 в п. 33.4) находится от него на положительном расстоянии:

Следовательно, если E — какое-либо множество диаметра, меньшего δ, diam E < δ, пересекает множество X0, т. е. E ∩ X0 = (рис. 25), то

Пусть произвольно зафиксировано ε > 0. В силу условия μX0 = 0 существует такое натуральное k, что

Определим для этого k число δ по формуле (42.89). Пусть, далее, τ = {Xj }jj==j1τ — какое-либо разбиение множества X мелкости |τ | < δ и, тем самым, для диаметров множеств Xj выполняются неравенства

Заметив, что множества Xj τ0(X0) образуют разбиение множе-

Xj τ(X0)

называется неполной интегральной суммой функции f . Ее всегда можно дополнить до интегральной суммы στ (f ), выбрав каким-либо

образом точки ξ(j) Xj τ0(X0) и положив

При этом любая интегральная сумма στ (f ) может быть получена таким образом из соответствующей στ(X0).

142Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Те о р е м а 4. Пусть X — измеримое множество, τ = {Xj }jj==j1τ — его разбиение, а X0 — множество меры нуль: μX0 = 0.

X

ствует конечный предел неполных интегральных сумм lim στ(X ),

|τ|→0 0

причем если этот предел существует, то он равен интегралу

f (x) dx.

X

Предел lim στ(X ) определяется аналогично пределу (42.79) инте-

|τ|→0 0

гральных сумм στ .

Поскольку функция f ограничена на множестве X, то существует такая постоянная c > 0, что для всех точек x X выполняется нера-

венство

|f (x)| c.

Поэтому

|στ0(X0)| |f (ξ(j))|μXj c μXj .

(42.94)Xj τ0 (X0) (42.96) Xj τ0(X0)

По условию μX0 = 0, следовательно, согласно лемме 8 правая часть получившегося неравенства стремится к нулю при |τ | → 0, а по-

тому lim στ (X ) = 0, и теперь утверждение теоремы сразу следует из

|τ|→0 0 0

равенства (42.95). З а м е ч а н и е 1. Из доказанной теоремы явствует, что при нахож-

дении интеграла f (x) dx можно пренебрегать значениями ограни-

X

ченной функции f на множестве меры нуль, в частности, на границе измеримого по Жордану множества.

Если множество Xk,j разбиения τk не содержит точек границы ∂X множества X, то согласно замечанию 8 п. 42.1, множество Xk,j совпадает с целым кубом ранга k, пересечением которого с множеством X оно является. Иначе говоря, в этом случае система множеств τk(∂X) состоит из кубов ранга k.

В силу теоремы 4 интеграл f (x) dx от интегрируемой и ограни-

X

ченной на множестве X функции f является пределом неполных ин-

$

тегральных сумм σ# = f (ξ , )μX , , ξ , X , , k = 1, 2, ...,

k k j k j k j k j Xk,j τk (∂X)

144 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Условие (42.97) равносильно условию

— колебание функции f на множестве Xj , j = 1, 2, ..., jτ (определение колебания см. в. п. 35.1).

Все эти утверждения доказываются аналогично одномерному случаю.

Т е о р е м а 6. Если функция непрерывна на измеримом по Жордану компакте, то она интегрируема на нем по Риману.

И эта теорема доказывается аналогично одномерному случаю (п. 23.6). Поясним на ее примере, как это выглядит.

Пусть функция f непрерывна на измеримом компакте X. Тогда она ограничена и равномерно непрерывна на X. Последнее означает, что, каково бы ни было ε > 0, существует такое δ > 0, что если диаметр множества E X меньше δ: diam E < δ, то колебание ω(f ; E) функции f на множестве E меньше ε:

Если теперь τ = {Xj }jj==j1τ — произвольное разбиение мелкости |τ | < δ компакта X, то

diam Xj |τ | < δ, j = 1, 2, ..., jτ ,

и, следовательно,

jτ

так как согласно лемме 6 μXj = μX. В силу произвольности ε > 0

j=1

отсюда следует равенство (42.99).

Таким образом, функция f ограничена, и для нее выполняется условие (42.99), а поэтому она интегрируема.

З а м е ч а н и е. Можно доказать, что если функция ограничена на измеримом компакте и множество точек ее разрыва имеет меру Жордана, равную нулю, то функция интегрируема на рассматриваемом компакте.

42.7. Свойства кратных интегралов. На кратные интегралы от ограниченных функций переносятся все основные свойства интеграла по отрезку (п. 33.1): линейность, аддитивность по множествам, правило интегрирования неравенств, оценка абсолютной величины интеграла через интеграл от абсолютной величины подынтегральной функции и теоремы о среднем. Доказательства этих свойств кратных интегралов проводятся аналогично одномерному случаю, поэтому ограничимся лишь их формулировками и некоторыми пояснениями. Исключение сделаем только для полной аддитивности интеграла и следствия теоремы о среднем, для которых приведем полные дока-

3◦. Если X и Y — измеримые множества, X Y , функция f ограничена и интегрируема на множестве Y , то она интегрируема и на множестве X.

4◦ (аддитивность интеграла по множествам). Если X — измеримое множество, τ = {Xj }jj==j1τ — его разбиение, функция f определена и ограничена на множестве X, а ее сужения на Xj интегрируемы на Xj , j = 1, 2, ..., jτ , то функция f интегрируема на X и

Xj=1 Xj

Это равенство легко доказывается по аналогии с одномерным случаем при предположении, что функция f интегрируема на множестве X. При предположении о ее интегрируемости только на множествах Xj , j = 1, 2, ..., jτ , доказательство более сложно (его можно найти, например, в учебнике: К у д р я в ц е в Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х т. — М.: Юрайт, 2012).

З а м е ч а н и е 1. Ограниченность функции в свойстве 4 существенна. Подтвердим это следующим примером. Пусть (r, ϕ) — полярные координаты на плоскости, X = {(r, ϕ) : r < 1} — открытый круг, X = {(r, ϕ) : r = 1} — ограничивающая его окружность. Рассмотрим

146 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

функцию

Ясно, что сужения функции f на множествах X и X интегрируемы и

Это следует из неограниченности функции f в окрестности точки (1, 2π), так как для любого разбиения τ = {Xj }jj==j1τ , в котором множество Xj , содержащее точку (1, 2π), имеет положительную меру, множество значений интегральных сумм στ неограниченно (доказывается это аналогично тому, как доказывалась неинтегрируемость неограниченной функции на отрезке, см. п. 23.2).

Для полноты доказательства заметим, что у круга существуют сколь угодно мелкие разбиения с указанным свойством, например, вида рассмотренного при доказательстве леммы 7 в п. 42.3.

З а м е ч а н и е 2. Если функция f интегрируема и ограниченна на множестве X, то она интегрируема и на множестве Xint его внутренних точек, причем

Это следует из свойства 4◦, так как

X = Xint (X \ Xint), μ(X \ Xint) = 0

(см. замечание 11 в п. 42.1) и интеграл от любой функции по множеству меры нуль равен нулю.

Аналогично, если функция f интегрируема и ограниченна на замыкании X измеримого множества X, то она интегрируема и на самом этом множестве, причем

f (x) dx = f (x) dx,

XX

так как X = X (X \ X) и μ(X \ X) = 0.

5◦. Если функции f и g интегрируемы и ограниченны на некотором множестве X, то и их произведение f g, а если inf |g(x)| > 0, то

X

и отношение f /g, интегрируемы на этом множестве.

6◦ (интегрирование неравенств). Если функции f и g интегрируемы на множестве X и для всех x X выполняется неравенство

f (x) g(x), то

f (x) dx g(x) dx.

XX

С л е д с т в и е (монотонность интеграла от неотрицательных функций по множествам). Если X и Y — измеримые множества, X Y , функция f неотрицательна, ограниченна и интегрируема на Y , то

f (x) dx f (x) dx.

XY

7◦. Если функция f интегрируема и ограниченна на множестве X, то и ее абсолютная величина |f | интегрируема на нем, причем

XX

При доказательстве интегрирования неравенств для функций, интегрируемых на отрезке, не использовалась их ограниченность, поэтому и в случае функций любого числа переменных свойство 6◦ интеграла справедливо без предположения ограниченности рассматриваемых функций. При доказательстве же следствия используется свойство 3◦, доказываемое при предположении ограниченности подынтегральной функции, поэтому в формулировке следствия содержится условие

ограниченности функции.

8◦. Если функция f ограниченна, интегрируема и неотрицательна на измеримом открытом множестве G, x(0) G, функция f непрерывна в точке x(0) и f (x(0)) > 0, то

f (x) dx > 0.

G

Отсюда следует, что если функция f непрерывна и интегрируема на открытом множестве G и |f (x)| dx = 0, то функция f тождествен-

G

но равна нулю в G:

f (x) ≡ 0 в G.

9◦. Если G, Gm — измеримые открытые множества,

148 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

а функция f интегрируема и ограниченна на множестве G, то

Докажем сначала, что из выполнения условий (42.101) и (42.102)

Множества sk(G), будучи объединением конечного множества замкнутых кубов, является компактом. Поскольку этот компакт лежит в множестве G, то в силу равенства (42.102) система открытых множеств {Gm} является его покрытием. Из этого покрытия согласно теореме Гейне–Бореля (см. в п. 33.3 теорему 4) можно выделить конечное покрытие. Ясно, что если m0 — наибольший номер множеств Gm, входящих в это конечное покрытие, то в силу включений (42.101) имеет место включение

на множестве G означает существование такой постоянной c > 0, что

G\Gm

при m → ∞, т. е. равенство (42.103) доказано.

З а м е ч а н и е 3. В формулировке полной аддитивности интеграла по открытым множествам условие ограниченности функции можно отбросить, так как из интегрируемости функции по открытому множеству следует ее ограниченность на нем. Это доказывается анало-

гично тому, как в одномерном случае доказывается ограниченность функции, интегрируемой на отрезке (см., например, снова учебник: К у д р я в ц е в Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х т. Т. 2. — М.: Высшая школа, 1988).

З а м е ч а н и е 4. Отметим, что для любого измеримого открытого множества G существует последовательность измеримых открытых множеств Gm, удовлетворяющая условиям (42.101) и (42.102). Более того, эту последовательность можно даже выбрать таким образом, что не только сами множества Gm, но и их замыкания Gm будут содержаться в множестве G:

При этом поскольку множества Gm измеримы, то они ограниченны. Следовательно, ограниченны и их замыкания Gm, которые являются поэтому компактами.

В качестве таких множеств Gm можно взять например, множества

где, как обычно, множество sm(G) состоит из кубов ранга m, содержащихся в множестве G.

Из очевидного включения sm(G) sm+1(G) следует включение

Gm = sm(G)int sm+1(G) = Gm+1,

т. е. выполняется условие (42.101). Докажем свойство (42.102). Ясно, что из

Gm = sm(G)int sm(G) G

С другой стороны, для любой точки x G в силу открытости множества G существует ее ε-окрестность U (x; ε), ε > 0, содержащаяся

в G: U (x; ε) G. Если ранг m0 кубов таков, что куб этого ранга имеет

√

диаметр меньше ε, т. е. < ε, то все кубы ранга m0, содержащие

точку x, лежат в окрестности U (x; ε) точки x и, следовательно, в множестве G. Поэтому

x sm0 (G)int = Gm0

(42.108)

(см. замечание 6 в п. 42.1). Итак, если x G, то существует такой

ранг m0, что

x Gm0