Краткий курс математического анализа. Том 2

210 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Интегралы в правых частях формул (45.51) и (45.52) понимаются как суммы интегралов по контурам, из которых состоит граница ∂G области G.

Докажем теорему.

Пусть граница ∂G области G состоит из конечного множества простых замкнутых контуров, а Gi, i = 1, 2, ..., m, — такие области, что для них выполняются условия (45.49) и (45.50). Согласно лемме 2 для каждого Gi, i = 1, 2, ..., m, имеет место равенство

Суммируя левые части этих равенств, в силу выполнения условий (45.49) и (45.50) из аддитивности кратного интеграла получим

При суммировании правых частей равенств (45.53) остается только криволинейный интеграл по ∂G+, так как все другие части границ ∂Gi встретятся в сумме дважды и с противоположными ориентациями, в силу чего сумма интегралов по ним

равна нулю (рис. 43):

Поскольку в силу формул (45.53) левые части равенств (45.54) и (45.55) равны, то равны и правые, т. е. формула

(45.51) рассматриваемого случая доказана.

Следствие теоремы вытекает из справедливости равенства (45.14) для кусочно-гладких кривых.

З а м е ч а н и е. Формула Грина (45.51) верна вообще для любой области с кусочно-гладкой границей. Ее доказательство в таких предположениях выходит за рамки настоящего курса.

45.6. Формула для площадей. В качестве приложения формулы Грина рассмотрим задачу вычисления площадей при помощи криволинейных интегралов.

Если в формуле Грина (45.51) положить P = 0, Q = x на G, то, заметив, что dx dy = μG, получим

G

(45.51)

G∂G+

Аналогично, при P = −y, Q = 0

G∂G+

Из равенств (45.56) и (45.57) следует формула

П р и м е р. Вычислим с помощью формулы (45.58) площадь S, ограниченную эллипсом

x = a cos t, y = b sin t, 0 t 2π.

Применив формулу (45.58), получим

45.7. Геометрический смысл знака якобиана отображения плоской области. Пусть

— непрерывно дифференцируемое отображение F плоской области G R2uv в плоскость R2xy с якобианом, не равным нулю на G. Тогда якобиан в силу его непрерывности сохраняет знак на G (см. замечание

вп. 35.2), т. е. либо всюду на G положителен, либо всюду отрицателен.

Ле м м а 2. Если Γ — кусочно-гладкая кривая, лежащая в области G, то ее образ F (Γ) при отображении F также является кусочногладкой кривой.

Пусть сначала Γ — гладкая кривая, т. е. непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек, и пусть u = u(t), v = v(t), u 2(t) + + v 2(t) > 0, a t b, — некоторое ее представление. Тогда представлением кривой F (Γ) является пара функций

x = x(u(t), v(t)), y = y(u(t), v(t)), a t b.

Кривая F (Γ) в силу непрерывности композиции непрерывных функций и правила дифференцирования композиции функций является непрерывно дифференцируемой кривой. Покажем, что эта

212 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

кривая также не имеет особых точек. В самом деле,

Рассматривая эти равенства как систему линейных уравнений от-

указанная система имела бы единственное решение, которым является нулевое решение, т. е. в той же точке t были бы справедливы равенства

dudt = dvdt

также особой, что противоречит сделанному предположению.

Итак, если кривая гладкая, то ее образ при отображении F также гладкий. Отсюда сразу следует, что образ кусочно-гладкой кривой при рассматриваемом отображении является кусочно-гладкой кривой, ибо кусочно-гладкая кривая представляет собой объединение конечного множества гладких кривых.

Пусть теперь D — ограниченная область, лежащая вместе со своим замыканием в области G. Пусть границей ∂D области D является простой замкнутый кусочно-гладкий контур, D D = D ∂D G. Пусть, далее, D = F (D). Тогда в силу принципа сохранения области (см. следствие 2 теоремы 3 в п. 40.5) множество D как образ области также является областью.

Будем в дальнейшем предполагать, что отображение F взаимно однозначно отображает область G на G = F (G). Тогда граница ∂D области D отображается на границу ∂D образа D области D (см. (44.44) в п. 44.2). Поэтому согласно лемме 2 граница ∂D также является простым кусочно-гладким контуром. Следовательно, по контурам Γ = ∂D и Γ = ∂D можно брать криволинейные интегралы.

Пусть области D и D таковы, что к ним применима формула Грина (на самом деле при сделанных предположениях формула Грина всегда применима на областях D и D , но у нас это не было доказано).

Обозначим, как обычно, через Γ+ положительно ориентированный

— некоторое представление ориентированного контура Γ .

214Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Те о р е м а 2. Если якобиан взаимно однозначного непрерывно дифференцируемого отображения плоской области положителен во всех точках области, то при этом отображении сохраняется ориентация простых замкнутых кусочно-гладких контуров, а если якобиан отрицателен, то указанная ориентация переходит в противоположную.

В этом и состоит геометрический смысл знака якобиана отображения плоской области.

§46. Элементы теории поверхностей

46.1.Основные определения. Пусть R2uv — координатная плоскость переменных u, v и G — некоторая область в R2uv.

Непрерывное отображение M (u, v) (см. п. 34.4, определение 2) за-

мыкания G плоской области G R2uv, (u, v) G, в пространство R3

называется поверхностью или, более подробно, параметрически заданной поверхностью. Будем обозначать поверхность буквой S и пи-

Образ множества G при отображении M (u, v) называется носителем поверхности S.

Иногда там, где это не может привести к недоразумению, носитель поверхности называют также поверхностью.

Для поверхности S = {M (u, v); (u, v) G} сужение отображения M (u, v) на границу ∂G области G называется краем поверхности S

и обозначается ∂S.

Точки поверхности, не являющиеся точками ее края, называются

внутренними точками поверхности.

Если область G1 содержится в области G, то поверхность {M (u, v); (u, v) G1}, т. е. сужение отображения M (u, v) на множество

G1, называется частью поверхности {M (u, v); (u, v) G}.

Пусть в пространстве фиксирована декартова система координат x, y, z и i, j, k — единичные координатные орты: i = (1, 0, 0), j = = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).

Вектор-функцию r = r(u, v), где r(u, v) — радиус-вектор с началом

в начале координат пространства R3 и концом в точке M (u, v), называют векторным представлением поверхности S и пишут

S = {r(u, v); (u, v) G}.

Если r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, то тройку функций x(u, v), y(u, v), z(u, v), являющихся координатами вектора r(u, v),

а следовательно, и координатами точки M (u, v), называют координатным представлением поверхности S и пишут

S = {x(u, v), y(u, v), z(u, v); (u, v) G},

причем, координатные функции x(u, v), y(u, v), z(u, v) непрерывны на

множестве G (см. п. 34.3).

Переменные u и v называют параметрами поверхности S (или

координатами на поверхности), а кривые вида M (u, v0) и M (u0, v) (u0 и v0 фиксированы) — соответствующими им координатными линиями на этой поверхности.

Точкой поверхности S называется точка M = M (u, v), (u, v) G,

пространства R3 и пара значений параметров u, v, которым она соответствует. Сама точка M пространства R3 называется в этом случае носителем рассматриваемой точки поверхности. Очевидно, что точка поверхности однозначно определяется значениями параметров, которым она соответствует. Ясно, что совокупность всех носителей точек поверхности составляет носитель этой поверхности.

При определении поверхности отображение M (u, v), (u, v) G, не предполагается взаимно однозначным: разные точки замыкания G области G могут отображаться в одну и ту же точку пространства R3.

Если для точки M (u0, v0) поверхности S = {M (u, v); (u, v) G} суще-

ствует такая точка (u1, v1) G, что (u1, v1) = (u0, v0), но M (u1, v1) = = M (u0, v0), то точка M (u0, v0) называется кратной точкой поверх-

ности S. Поверхность, у которой имеются кратные точки, называется

поверхностью с самопересечением.

Примером поверхности, не имеющей кратных точек, является график S непрерывной на замыкании G области G R2xy функции z = f (x, y). Здесь параметрами поверхности являются переменные x и y, а представление поверхности имеет вид x = x, y = y, z = f (x, y), (x, y) G. Такое представление поверхности называется явным.

Понятия частных производных, дифференцируемости, непрерывной дифференцируемости разных порядков для векторных функций многих переменных определяются по аналогии со скалярными функциями. Непрерывная дифференцируемость векторной функции r(u, v) на замыкании G области G означает (ср. случай скалярной функции

в п. 45.5), что частные производные ru = ∂u∂r и rv = ∂v∂r непрерывно продолжаемы на границу ∂G области G.

Если векторное представление поверхности является непрерывно дифференцируемой, дважды непрерывно дифференцируемой и т. д.

функцией, то задаваемая им поверхность называется соответственно

непрерывно дифференцируемой, дважды непрерывно дифференцируе-

216 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

принадлежащее соответствующему классу, называется преобразованием параметров поверхности S, и поверхность

{M (u(s, t), v(s, t)); (s, t) D}

обычно называют той же поверхностью S, а отображения (46.1), (46.2) — разными ее представлениями.

Ясно, что поверхность, получающаяся из данной посредством преобразования параметров, имеет тот же носитель, что и исходная поверхность.

Аналогично случаю кривой для поверхности определяется понятие преобразования параметров в случае, когда представление поверхности непрерывно дифференцируемо то или иное число раз.

В случае, например, непрерывно дифференцируемых поверхностей преобразованиями параметров называются диффеоморфные (см. определение 3 в п. 40.5) отображения (46.2) замыкания D области D на замыкание G области G с якобианом, не равным нулю на D (под частными производными и якобианом в граничных точках области D понимаются их непрерывные продолжения из области D на ее границу; см. об этом в п. 44.3 и п. 45.5). В этом случае отображение

обратное к отображению (46.2), согласно теореме о неявных функциях будет также непрерывно дифференцируемым с якобианом, не равным нулю.

Пусть поверхность (46.1) непрерывно дифференцируемая, ru — производная вектор-функции r = r(u, v0) одного переменного u, т. е. ru — касательный вектор к координатной линии r = r(u, v0), соответственно rv — касательный вектор к координатной линии r = r(u0, v),

(u0, v0) G.

Под кривыми (соответственно непрерывно дифференцируемыми кривыми и т. п.) на поверхности (46.1) будем понимать кривые, задаваемые представлениями вида r = r(u(t), v(t)), a t b, где u(t) и v(t) — такие непрерывные (соответственно непрерывно дифференцируемые) функции на отрезке [a, b], что (u(t), v(t)) G при t [a, b].

Таким образом, кривая {r(u(t), v(t)), a t b} на поверхности S является образом кривой {u(t), v(t); a t b}, лежащей в замыкании G области G при отображении M (u, v).

Пусть r = r(u(t), v(t)), a t b, — непрерывно дифференцируемая кривая на непрерывно дифференцируемой поверхности (46.1) t0 [a, b], u0 = u(t0), v0 = v(t), (u0, v0) G. Тогда при t = t0 имеем

и, следовательно, касательная в точке M (u0, v0) к любой кривой на поверхности S лежит в плоскости векторов ru и rv. (Касательные

векторы к кривым на поверхности будем обычно рассматривать как векторы с началом в точке касания.)

Для непрерывно дифференцируемой поверхности S касательные векторы к кривым на поверхности в точках M (u, v), когда (u, v) принадлежит границе ∂G области G, определяются с помощью непрерывного продолжения (см. п. 45.5), поэтому формула (46.4) в этом случае также имеет место.

О п р е д е л е н и е 1. Точка M0 = r(u0, v0) поверхности S называется неособой, если в ней векторы ru и rv не коллинеарны. Это

равносильно тому, что

ru ×rv = 0.

Если в точке M0 = M (u0, v0) векторы ru и rv коллинеарны (в част-

ности, хотя бы один из них равен нулю), то эта точка называется

особой.

Поверхность, не имеющая особых точек, называется гладкой.

У всякой внутренней точки гладкой поверхности S существует окрестность, в которой поверхность имеет явное представление. Действительно, некомпланарность векторов ru и rv в точке (u0, v0) означает, что строчки матрицы

линейно независимы в этой точке. Отсюда следует, что, например,

А тогда в силу теоремы о локальном диффеоморфизме (см. теорему 3 в п. 40.5) у точки (u0, v0) существует линейно связная окрестность U , которая с помощью отображения отображается на некоторую линейно

связную окрестность V точки (x0, y0), x0 = x(u0, v0), y0 = y(u0, v0). Обратное отображение

u= u(x, y), v = v(x, y)

является преобразованием параметров (для сужения поверхности S на множество U ). Подставляя эти преобразование в заданное представление поверхности на окрестности U , получим

x = x, y = y,

, , , def , , z = z(u(x y) v(x y)) = f (x y)

что является явным представлением поверхности S в окрестности точки (x0, y0).

218 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

З а м е ч а н и е. Если краем гладкой поверхности является контур,

то он может быть негладким. Например, тождественное отображение квадрата Q = {(x, y) : 0 x 1, 0 y 1, z = 0} на себя является

гладкой поверхностью с представлением x = x, y = y, z = 0, т. е. r(x, y) = (x, y, 0), rx = (1, 0, 0), ry = (0, 1, 0), и ясно, что функции rx

и rx непрерывны и линейно независимы на квадрате Q, а краем этой поверхности является кусочно-гладкая кривая, состоящая из сторон квадрата, касательные векторы к которым имеют разрывы в вершинах квадрата Q.

46.2.Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Всилу неколлинеарности векторов ru и rv в неособой точке в ней однозначно определена плоскость, параллельная этим векторам. Как было показано выше, эта плоскость содержит касательные ко всем непрерывно дифференцируемым кривым на поверхности в рассматриваемой неособой точке поверхности. Это делает естественным следующее.

О п р е д е л е н и е 2. Плоскость, проходящая через неособую точку

M (u0, v0) поверхности S параллельно векторам ru(u0, v0) и rv(u0, v0),

называется касательной плоскостью к поверхности S в этой точке. Ясно, что каса-

тельная плоскость определена однозначно.

Равенство (46.4) означает, что касатель-

ная в точке M (u0, v0) к любой непрерывно дифференцируемой кривой на поверхности лежит в касательной плоскости к поверхно-

сти S в этой точке.

Если r0u = ru(u0, v0), r0v = rv(u0, v0), r0 —

радиус-вектор точки M0 = M (u0, v0), a r — радиус-вектор произвольной точки касатель-

ной плоскости к поверхности S в точке r0, то уравнение касательной плоскости, записанное в виде смешанного произведения векторов, имеет вид (рис. 44)