Краткий курс математического анализа. Том 2

лунормы, порожденной почти скалярным произведением пространства X, получится сходящийся числовой ряд ).

т. е. ряды функций, принадлежащих пространству RL2(a, b), сходящиеся в смысле среднего квадратичного, можно почленно интегрировать.

Пусть X — линейное пространство с почти скалярным произве-

|(xn, yn) − (x, y)| = |(xn, yn) − (x, yn) + (x, yn) − (x, y)| =

= |(xn − x, yn) + (x, yn − y)| |(xn − x, yn)| + |(x, yn − y)|

(52.28)

xn − x yn + x yn − y → 0

(52.28)

при n → ∞, ибо последовательность {yn} ограничена, поскольку она

Докажем теперь следствие 2. Применим формулу (52.38) к ря-

ду элементов пространства RL2(a, b), взяв за элемент y, на кото-

∞

n = 1, 2, ..., функцию, тождественно равную единице (в силу конечности интервала (a, b) очевидно, что 1 RL2(a, b)):

З а м е ч а н и е 3. В случае когда интервал (a, b) конечный, то из равномерной сходимости на нем последовательности функций про-

странства RL2(a, b) следует ее сходимость в смысле среднего квад-

∞

ратичного (следствие леммы 8). Поэтому если ряд fn(x), fn(x)

n=1

RL2(a, b), n = 1, 2, ..., равномерно сходится на конечном интервале (a, b), то этот ряд можно почленно интегрировать (следствие 2 леммы 9). При несколько более сильных ограничениях (непрерывность членов ряда и равномерная сходимость ряда на отрезке [a, b] это утверждение было доказано раньше другим методом (см. теорему 8 в п. 31.4).

Как мы видели, скалярное произведение (x, y) порождает нормуx = (x, x) , а норма — метрику ρ(x, y) = x − y . Таким образом, всякое линейное пространство со скалярным произведением является

метрическим пространством с метрикой

О п р е д е л е н и е 18. Полное линейное пространство со скалярным произведением называется гильбертовым пространством.

Здесь полнота пространства понимается в смысле метрики (52.41), порожденной скалярным произведением.

Всякое конечномерное линейное пространство полно (см. п. 52.1), а поэтому является гильбертовым. В этом случае, как это уже отме-

чалось выше (см. пример 2), оно называется обычно евклидовым. Те о р е м а 3. Всякое линейное пространство со скалярным про-

изведением содержится и плотно в некотором гильбертовом пространстве.

Это гильбертово пространство называется пополнением исходного пространства со скалярным произведением.

Если X — линейное пространство со скалярным произведением, то обозначим через X его пополнение как метрического пространства (см. теорему 1 в п. 52.1). Линейную операцию определим в пространстве X по формуле (52.23) п. 52.3. Скалярное произведение элементов пространства X также определим с помощью предельного перехода

следующим образом. Пусть x X , y X ; поскольку X = X , то существуют такие последовательности xn X, yn X, n = 1, 2, ...,

Легко проверить, что при заданных элементах x и y определение (52.42) имеет смысл. Это явствует из того, что числовая последовательность {(xn, yn)} является фундаментальной (и, следовательно, сходящейся), что вытекает из неравенства

|(xn, yn) − (xm, ym)| |(xn − xm, yn)| + |(xm, yn − ym)|

xn − xm yn + xm yn − ym .

Предел (52.42) не зависит от выбора последовательностей xn → x , yn → y , n = 1, 2, ... Это ясно в силу неравенства

|(xn, yn) − (xn, yn)| xn − xn yn + xn yn − yn .

Наконец, то, что функционал (x , y ) на пространстве X удовлетворяет аксиомам скалярного произведения, получается предельным переходом из свойств скалярного произведения (x, y) в пространстве X.

З а м е ч а н и е 4 . Для содержательности понятий скалярного и почти скалярного произведений в комплексных пространствах необходимо изменить определяющие их аксиомы, так как единственная функция в комплексном линейном пространстве, удовлетворяющая аксиомам 1–3 почти скалярного произведения, тождественно равна нулю. Действительно, если для любого элемента x пространства и любого

комплексного числа λ справедливо равенство (λx, λx) = λ2(x, x),

1◦), 2◦)

в частности, при λ = i равенство (ix, ix) = −(x, x), то поскольку (ix, ix) 0 и (x, x) 0, то (x, x) = 0. Отсюда в силу неравенства

Коши–Буняковского (52.25) для любых элементов x и y пространства имеем (x, y) = 0.

Для комплексных линейных пространств определения скалярного и почти скалярного произведений отличаются только первым условием определения 17 этих произведений в действительных линейных пространствах: вместо выполнения условий коммутативности (x, y) = (y, x) требуется, чтобы для всех элементов x и y рассматриваемого линейного пространства выполнялось равенство

(x, y) = (y, x),

где черта над числом обозначает, как всегда, число, сопряженное стоящему под чертой комплексному числу.

Из этого свойства следует, что для любого комплексного числа λ имеет место равенство

(x, λy) = λ(x, y).

В самом деле,

(x, λy) = (λy, x) = λ(y, x) = λ (y, x) = λ(x, y).

2◦)

В n-мерном комплексном арифметическом пространстве (см. пример 4 в п. 52.3) скалярное произведение задается формулой

(x, y) = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn, x = (x1, x2, ..., xn) Cn, y = (y1, y2, ..., yn) Cn.

Из этой формулы следует, что скалярное произведение на n-мерном действительном арифметическом пространстве Rn (см. пример 2) является сужением на это пространство скалярного произведения комплексного пространства Cn.

Для комплексных линейных пространств сохраняются многие свойства действительных пространств. Например, для скалярного и почти скалярного (в частности, для скалярного) произведений

вкомплексном линейном пространстве остается верным неравенство Коши–Буняковского (52.25); каждое комплексное линейное пространство со скалярным произведением можно дополнить, превратив его

вполное пространство, в котором исходное пространство будет плотным множеством.

Докажем для примера неравенство Коши–Буняковского для почти

скалярного произведения в комплексном линейном пространстве. Пусть X — комплексное пространство, x X, y X и λ — про-

извольно фиксированное комплексное число. Согласно свойству 3◦)

определения 17 почти скалярного произведения имеем (x + λy, x + + λy) 0 и, следовательно,

(x, x) + λ(y, x) + λ(x, y) + λλ(y, y) 0.

Если (x, x) = (y, y) = 0, то λ(y, x) + λ(x, y) 0. Выбрав λ = −(x, y),

получим −2|(x, y)|2 0, что возможно лишь тогда, когда (x, y) = 0. В этом случае неравенство Коши–Буняковского выполняется очевид-

ным образом, так как обе его части обращаются в нуль. Если же (y, y) = 0, то, выбрав λ = −((xy,, yy)) , будем иметь

или

(x, x)(y, y) − (x, y)(x, y) − (x, y)(x, y) + (x, y)(x, y) 0.

Таким образом, справедливо неравенство

(x, x)(y, y) − (x, y)(x, y) 0,

т. е. имеет место неравенство Коши–Буняковского

|(x, y)|2 (x, x)(y, y).

Случай, когда (y, y) = 0, но (x, x) = 0, не нуждаются в специальном доказательстве, так как легко сводится к уже рассмотренному.

52.5. Фактор-пространства. Пусть для элементов некоторого множества X определено понятие их эквивалентности (иногда говорят «операции отождествления элементов»):

x y, x, y X,

обладающее следующими свойствами.

1◦. Каждый элемент эквивалентен сам себе: x x, x X.

2◦. Соотношение эквивалентности коммутативно: если x y, то y x, x, y X.

3◦. Соотношение эквивалентности транзитивно: если x y и y z,

то x z, x, y, z X.

Множество, элементами которого являются классы эквивалентных

элементов (отождествленные эквивалентные элементы), называется

фактор-множеством множества X, соответствующим заданной эк-

вивалентности его элементов. Элементы фактор-множества называются обычно классами эквивалентности. Переход от множества X к фактор-множеству называется факторизацией множества X.

Образно говоря, факторизация множества представляет собой отождествление эквивалентных элементов.

Мы уже встречались с подобной конструкцией при доказательстве теоремы о пополнении метрического пространства (см. теорему 1

вп. 52.1).

Оп р е д е л е н и е 18. Пусть X — линейное пространство, X0 — его подпространство, а элементы x, y X называются эквивалентными,

если

В этом случае фактор-множество, соответствующее эквивалентности (52.43), называется фактор-пространством пространства X по подпространству X0 и обозначается X/X0.

Л е м м а 10. Фактор-пространство линейного пространства X по его подпространству X0 является линейным пространством, а подпространство X0 — его нулем.

Пусть A = {a}, B = {b} — элементы фактор-пространства X/X0, т. е. классы эквивалентности (52.43), a0 A, b0 B, λ, μ — числа (действительные или комплексные в зависимости от того, какие рас-

Это определение корректно в том смысле, что оно не зависит от выбора элементов в классах эквивалентности. В самом деле, если a1 A, b1 B, то a1 a0, b1 b0. Согласно определению (52.43) это означает, что a1 − a0 X0 и b1 − b0 X0. Поскольку X0 является подпространством пространства X, то λ(a1 − a0) + μ(b1 − b0) X0, а поэтому

(λa1 + μb1) − (λa0 + μb0) = λ(a1 − a0) + μ(b1 − b0) X0

и, таким образом, λa1 + μb1 λa0 + μb0, т. е. элемент λa1 + μb1 принадлежит тому же классу эквивалентности C, что и элемент λa0 + μb0.

Операция λA + μB, определенная равенством (52.44) для элементов фактор-пространства X/X0, удовлетворяет аксиомам линейного пространства, так как этим аксиомам удовлетворяет линейная операция λa + μb над элементами пространства X, a, b X.

Отметим, что нулевым элементом фактор-пространства X/X0 (нулевым классом) является подпространство X0, которое состоит, очевидно, из всех элементов пространства X, эквивалентных его нулю. Действительно, поскольку X0 — подпространство, то оно содержит нуль: 0 X, а условие x 0 согласно определению (52.44) равносильно условию x − 0 X0.

Если A — какой-либо класс эквивалентности и a A, то в силу определения (52.44) сумма A + X0 является классом эквивалентности, содержащим элемент a + 0 = a, т. е. классом A. Это и доказывает, что

A + X0 = A.

Если X — линейное полунормированное пространство, то множество

является его подпространством.

В самом деле, если x, y X0, то для любых чисел λ, μ имеем

Из этого следует, что λx + μy = 0. А это и означает, что λx +

+ μy X0.

Из равенства x = 0, которое можно переписать в виде x − 0 = = 0, следует, что x 0. Таким образом, подпространство X0 состоит из всех элементов пространства X, эквивалентных нулю:

X0 = {x X : x 0},

и поэтому, согласно сказанному выше, является нулем фактор-про- странства X/X0.

Л е м м а 11. Если X — полунормированное линейное пространство и X0 = {x X : x = 0}, то фактор-пространство X/X0 является нормированным линейным пространством.

Пусть A = {a} X/X0 и a0 A. Положим

Это определение не зависит от выбора элементов в классах эквивалентности. Действительно, если a1 A и, следовательно, a1 − a0 X0,

То, что функция A , A X/X0, удовлетворяет аксиомам полунормы, следует из того, что им удовлетворяет полунорма a , a X, пространства X. Покажем, что полунорма A является в действи-

тельности нормой, т. е. что из равенства A = 0 следует, что A = 0. Пусть A = 0 и a A. Поскольку a − 0 = a = A = 0,

то элемент a эквивалентен нулю: a 0, и, следовательно, нуль входит в класс A. Это означает, что A является нулевым классом: A = 0. Если X — линейное пространство с почти скалярным произведением, то множество X0 = {x X : (x, x) = 0} является его подпрост-

Л е м м а 12. Если X — линейное пространство с почти ска-

лярным произведением и X0 = {x X : (x, x) = 0}, то факторпространство X/X0 является линейным пространством со скалярным произведением.

Пусть, как всегда, x = (x, x) . Если

X/X0, то положим

(A, B) = (a0, b0).

Покажем, что это определение не зависит от выбора элементов в классах эквивалентности.

|(a1, b1) − (a0, b0)| = |(a1, b1) − (a0, b1) + (a0, b1) − (a0, b0)|

|(a1 − a0, b1)| + |(a0, b1 − b0)| a1 − a0 b1 + a0 b1 − b0 = 0

и, следовательно,

(a1, b1) = (a0, b0).

Функция (A, B) обладает свойствами 1◦) –3◦) скалярного произведения (см. определение 17 в п. 52.4), так как этими свойствами

338 Гл. 6. Гармонический анализ

обладает почти скалярное произведение (a, b) в пространстве X. Тем самым функция (A, B) также является почти скалярным произведением. Покажем, что она в действительности представляет собой скалярное произведение, т. е. что из условия

следует, что A = 0.

В самом деле, почти скалярному произведению (a, b) в простран-

Поэтому из условия (52.50) следует, что норма A = 0, а поэтому

A = 0.

52.6. Пространство CL2. Займемся изучением вопроса о полноте функциональных пространств.

Те о р е м а 4. Пространство CL2[a, b] не является гильбертовым.

Приведем пример фундаментальной, но не сходящейся в пространстве CL2[−1, 1] последовательности. Пусть (рис. 70)

Функции fn, очевидно, непрерывны. Покажем, что они образуют в пространстве CL2[−1, 1] фундаментальную последователь-

ность. Считая, например, что m > n, получим

Очевидно, что если задано ε > 0, то достаточно выбрать nε > 8/ε2, чтобы при n > nε и m > nε выполнялось неравенство fn − fm 2 < ε, а это и означает фундаментальность последовательности {fn}.

В каждой точке отрезка [−1, 1] эта последовательность сходится к функции (рис. 71)

Функция f разрывна и, следовательно, не принадлежит пространству CL2[−1, 1]. Покажем, что последовательность {fn} не может одновременно сходиться в пространстве RL2[−1, 1] еще и к непрерывной функции. Допустим противное: пусть существует такая непрерывная на отрезке [−1, 1] функция g, что