Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Краткий курс математического анализа. Том 2

.pdf

Скачиваний:

442

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 4739 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

380	Гл. 6. Гармонический анализ

Поскольку функция f четная, то (см. 54.2)) b(y) = 0. Найдем функцию a(y):

+∞

a(y) =

f (t) cos yt dt =

cos yt dt =

sin y

(54.2) π

−∞

π y

−1

Согласно (54.1) и теореме 1 имеем

+∞

sin y

если

x < 1,

cos xy dy =

1/2,

если

||x|| = 1,

если

| |

> 1.

Таким образом, с помощью теоремы 1 удалось вычислить значение интеграла, стоящего в левой части полученного равенства. В частности, при x = 1 имеет место равенство

		+∞
1			2 sin y cos y			dy =			1	,
	π					dy =			2	,
	π			y					2
		0
или, полагая t = 2y,		+∞
		+∞
				sin t	dt =		π	.
					dt =		2	.
				t			2
		0

Отметим, что эта формула была использована при доказательстве теоремы 1. Ранее она была получена другим способом (см. п. 50.4).

54.2. Главное значение интеграла. Введем новое понятие — понятие интеграла в смысле главного значения по действительной

оси, который обозначается 1)

+∞
v. p. f (x) dx.	(54.30)

−∞

Будем рассматривать функции действительного аргумента, принимающие, вообще говоря, комплексные значения,

f (x) = u(x) + iv(x), x R, u(x) R, v(x) R.

О п р е д е л е н и е 2. Пусть функция f интегрируема (в собствен-

ном или несобственном смысле) на любом отрезке [a, b] числовой оси R (такие функции называются локально интегрируемыми); тогда

	+∞	b
v. p.	def	lim f (x) dx.	(54.31)
v. p.	f (x) dx =	lim f (x) dx.	(54.31)
	−∞	b→+∞
	−∞	−b

1) Главное значение — по-французски valeur principale.

§ 54. Интеграл Фурье и преобразование Фурье

381

Отличие интеграла (54.30) от несобственного интеграла

+∞

f (x) dx

(54.32)

−∞

состоит в том, что интеграл (54.32) является пределом интегралов

f (x) dx при произвольном стремлении a → −∞ и b → +∞, а инте-

грал (54.30) — предел тех же интегралов, но лишь в случае a = −b

и b → +∞.

Если существует несобственный интеграл (54.32), то, очевидно, существует и интеграл в смысле главного значения (54.30). Однако может случиться, что несобственный интеграл (54.32) не существует, а интеграл в смысле главного значения (54.30) существует.

+∞	+∞
Например, интеграл	x dx не существует, а интеграл v. p. x dx
−∞	−∞

существует и равен нулю, ибо для любого b > 0 имеет место равенство

x dx = 0. Вообще, если функция f — нечетная и локально ин-

−b	+∞
тегрируемая, то интеграл v. p.	f (x) dx существует и равен нулю,

−∞

так как в силу нечетности функции f для каждого b > 0 имеет место

равенство f (x) dx = 0.

−b

Заметим, что для интегралов (собственных, несобственных или в смысле главного значения) от комплекснозначных функций спра-

ведливо неравенство (см. п. 29.7)
	b f (x) dx	b \|f (x)\| dx, a b,	(54.33)


	a	a

так как для собственных интегралов оно доказано в п. 24.1, а для других получается предельным переходом.

54.3.Преобразование Фурье. Если функция f непрерывна

иабсолютно интегрируема на всей числовой оси и в каждой ее точке имеет односторонние производные, то согласно теореме 1

f (x) =	1	+∞	+∞
			dy f (t) cos y(x − t) dt.	(54.34)
	π

0 −∞

382 Гл. 6. Гармонический анализ

Отсюда в силу четности косинуса следует, что и

f (x) =	1	+∞	+∞
			dy f (t) cos y(x − t) dt.	(54.35)

	2π	−∞
			−∞
Функция		+∞

Φ(y) =			f (t) sin y(x − t) dt	(54.36)

−∞

непрерывна (а следовательно, и интегрируема по Риману) на любом отрезке [−η, η], η > 0, как равномерно сходящийся интеграл от непрерывной по обеим переменным t и y функции f (t) sin y(x − t) (x фиксировано): равномерная сходимость интеграла (54.36) следует из признака Вейерштрасса равномерной сходимости интегралов, так как

|f (t) sin y(x − t)| |f (t)|,

а функция f по условию абсолютно интегрируема на всей числовой оси. (Заметим, что непрерывность функции (54.36), конечно, сразу следует и из леммы 1 п. 54.1.)

В силу нечетности синуса функция Φ(y) также нечетна, поэтому

+∞

Φ(y) dy =

+∞

(54.37)

v. p.

(54.36) v. p.

f (t) sin y(x − t) dt = .

−∞

Вспомнив, что

cos α + i sin α = eiα (см. п. 32.4), получим для рас-

сматриваемой функции

(54.35) v. p.%

+∞

f (t) cos y(x

t) dt +

−

2π

f (x) =

(54.37)

−∞

+∞

f (t) sin y(x − t) dt& =

2π

−∞

= v. p.

+∞

dy f (t)[cos y(x − t) + i sin y(x − t)] dt =

2π

−∞

+∞

= v. p.

dy f (t)eiy(x−t) dt.

(54.38)

2π

−∞ −∞

§ 54. Интеграл Фурье и преобразование Фурье

383

Перепишем получившееся равенство в виде

			+∞			+∞
1			−∞	1		−∞ f (t)e−iyt dt eiyx dy.
f (x) = v. p.	√			√			(54.39)
		2π			2π

О п р е д е л е н и е 3. Отображение F , ставящее в соответствие абсолютно интегрируемой на всей числовой оси функции f функцию, обозначаемую F f или f и задаваемую равенством

	1	+∞
(F f )(y) = f (y) =		f (t)e−iyt dt,	(54.40)

	√2π	−∞
называется преобразованием Фурье,		а отображение F −1,	ставящее

в соответствие абсолютно интегрируемой на всей оси функции f функцию F −1f , задаваемую равенством

(F −1f )(y) =	1	+∞
		f (t)eiyt dt,	(54.41)

	√2π

−∞

—обратным преобразованием Фурье.

Вформулах (54.40), (54.41) функция f может принимать и комплексные значения.

Заметим, что если функция принимает только действительные значения, то как ее преобразование Фурье, так и обратное преобразование Фурье принимают, вообще говоря, комплексные значения (определение интеграла от функции, принимающей комплексные значения,

см. в п. 29.7).

Функция F f называется образом Фурье функции f.

При сделанном в определении 3 предположении об абсолютной интегрируемости функции f оба интеграла (54.40) и (54.41) сходятся, и даже абсолютно. Действительно, поскольку

то	\|e−iyt\| = \|eiyt\| = 1,
то	\|f (t)e−iyt\| = \|f (t)eiyt\| = \|f (t)\|,	(54.42)
	\|f (t)e−iyt\| = \|f (t)eiyt\| = \|f (t)\|,	(54.42)
	+∞
а интеграл	\|f (t)\| dt по условию сходится.

−∞

Л е м м а 2. Пусть функция f непрерывна и абсолютно интегрируема на всей числовой оси и в каждой точке x R у нее существуют производные справа и слева. Если преобразование Фурье F f функции f также абсолютно интегрируемо, то

F −1F f = f ,

384	Гл. 6. Гармонический анализ
а если абсолютно	интегрируемо обратное преобразование Фурье
F −1f , то	F F −1f = f.
	F F −1f = f.

Отметим, что в случае, когда преобразование Фурье абсолютно интегрируемо, интеграл в смысле главного значения в формуле (54.39) превращается в обычный интеграл.

Равенство (54.39), записанное в обозначениях преобразования Фурье F и обратного преобразования Фурье F −1, имеет вид

f = F −1(F f ).

(54.43)

Докажем, что и

F (F −1f ) = f.

(54.44)

В силу четности косинуса из формулы (54.35) следует, что

+∞

f (x) =

f (t) cos y(t − x) dt,

2π

−∞

а в силу нечетности синуса из формулы (51.37) — что

+∞

v. p.

f (t) sin y(t − x) dt = 0.

−∞

Отсюда по аналогии с (54.38) получим

f (x) = v. p.

+∞

f (t)[cos y(t − x) + i sin y(t − x)] dt =

2π

−∞

+∞

= v. p.

f (t)eiy(t−x) dt =

2π

−∞

+∞

= v. p.

−∞

−∞ f (t)eiyt dt e−iyx dy.

√

2π

В случае абсолютной сходимости обратного преобразования Фурье F −1f функции f интеграл в смысле главного значения превращается

вэтой формуле в обычный интеграл, а поэтому ее можно записать

ввиде F F −1f = f.

Формулы (54.43) и (54.44) показывают, что отображения F и F −1 являются взаимно обратными отображениями. Это и оправдывает их обозначения символами прямой и обратной функций.

Л е м м а 3. Прямое и обратное преобразования Фурье являются линейными отображениями пространства абсолютно интегрируемых на всей числовой оси функций.

§ 54. Интеграл Фурье и преобразование Фурье

385

Это означает, что для любых функций f1 и f2 из указанных множеств функций и для всех чисел λ1 C и λ2 C выполняются соотношения

F (λ1f1 + λ2f2) = λ1F f1 + λ2F f2,	(54.45)
F −1(λ1f1 + λ2f2) = λ1F −1f1 + λ2F −1f2.	(54.46)
Равенства (54.45) и (54.46) сразу следуют из формул	(54.40)

и(54.41) в силу линейности интеграла.

54.4.Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций. Будем рассматривать абсолютно интегрируемые на всей числовой оси R функции, принимающие, вообще говоря, комплексные значения. Для таких функций определено преобразование Фурье (54.40).

Т е о р е м а 2. Если функция f абсолютно интегрируема на всей числовой оси R, то ее преобразование Фурье F f является ограниченной непрерывной на R функцией, стремящейся к нулю, когда ее аргумент стремится к бесконечности; при этом для любого y R выполняется неравенство

\|(F f )(y)\|		1	+∞
	√	1	\|f (x)\| dx.	(54.47)
	√	2π	\|f (x)\| dx.	(54.47)
			−∞

С л е д с т в и е. Если последовательность абсолютно интегрируемых функций fn, n = 1, 2, ..., сходится в среднем на числовой оси R к абсолютно интегрируемой функции, то последовательность преобразований Фурье F fn функций fn сходится равномерно на всей числовой оси R к преобразованию Фурье F f функции f .

В символической записи:

		fn	→	f в				R
		fn		f в	RL1(R) = F fn F f.
Пусть функция f				абсолютно интегрируема на числовой оси R.
Так как \|e−ixy\| = 1 (см. п. 54.3), то
\|(F f )(y)\| =
=		+∞				+∞				+∞
	1	f (x)e−ixy dx			1		\|f (x)e−ixy\| dx =		1	\|f (x)\| dx,
	√2π	f (x)e−ixy dx			√2π		\|f (x)e−ixy\| dx =		√2π	\|f (x)\| dx,

		−∞				−∞				−∞

т. е. неравенство (54.47) доказано. Оно показывает, что на числовой оси преобразование Фурье F f функции f ограничено константой

1		+∞
		\|f (x)\| dx.
√
	2π
		−∞

13 Л. Д. Кудрявцев

386 Гл. 6. Гармонический анализ

Докажем теперь, что F f является непрерывной функцией и что

lim (F f )(y) = 0.	(54.48)
y→∞

Пусть сначала функция f принимает только действительные значения; тогда

+∞

(F f )(y) =

f (x)e−ixy dx =

(54.40)

√2π

−∞

+∞

f (x)(cos yx − i sin yx) dx =

√

2π

−∞

+∞

√

f (x) cos yx dx −

√

f (x) sin yx dx.

2π

−∞

2π

−∞

Каждый из получившихся в правой части интегралов в силу леммы 1 п. 54.1 является непрерывной функцией (так как функция f абсолютно интегрируема, а функции cos yx и sin yx ограничены и непрерывны), которая согласно теореме Римана (теорема 3 п. 51.3) стремится к нулю при y → ∞. Поэтому теми же свойствами обладает и функция F f.

Если	функция f комплекснозначная, т. е. f (x) = u(x) + iv(x),
u(x) R,	v(x) R, x R, то в силу линейности преобразования Фурье

F f = F u + iF v. Отсюда следует, что функция F f непрерывна и стремится к нулю, когда ее аргумент стремится к бесконечности, так как этими свойствами, согласно доказанному выше, обладают функции

F u и F v.

Следствие вытекает из неравенства
\|(F fn	)(y)	−	(F f )(y)	=
\|(F fn		−		\| (54.45)	+∞
				1	+∞
		=		1	\|fn(x) − f (x)\| dx.	(54.49)


	(54.45) \|(F (fn − f ))(y)\| (54.47) √2π

−∞

Правая часть этого неравенства стремится к нулю при n → ∞ по условию (последовательность {fn} сходится в среднем на числовой оси к функции f ), поэтому и левая его часть стремится к нулю. При этом, так как правая часть неравенства (54.49) не зависит от y, то стремление разности (F fn)(y) − (F f )(y) к нулю происходит равномерно на R, а это и означает равномерную сходимость на R последовательности функций {F fn} к функции F f.

Те о р е м а 3. Если:

1) функция f непрерывна и абсолютно интегрируема на числовой оси,

§ 54. Интеграл Фурье и преобразование Фурье

387

2) ее производная f кусочно-непрерывна на любом конечном отрезке и также абсолютно интегрируема на числовой оси, то

(F f )(y) = iy(F f )(y).

(54.50)

С л е д с т в и е. Если функция f и все ее производные до порядка n включительно абсолютно интегрируемы на числовой оси, n 1, производная порядка n − 1 непрерывна, а производная порядка n кусочнонепрерывна на любом отрезке, то

\|(F f )(y)\|		c		, −∞ < y < +∞,		(54.51)
		\|y\|n
где				(F f (n))(y)	< + .	(54.52)
c =	sup		\|
	<y<+			\|	∞
	−∞		∞

Известно, что из абсолютной сходимости интеграла следует его сходимость. Поэтому из абсолютной интегрируемости функции f и ее производной f на числовой оси следует сходимость интегралов

+∞	+∞
f (x) dx и	f (x) dx. Покажем, что отсюда следует, что
−∞	−∞
	lim f (x) = 0.	(54.53)
	x→±∞
		+∞
Действительно, из сходимости интеграла		f (x) dx следует, на-
пример, существование конечного предела		−∞

x+∞

lim f (t) dt = f (t) dt,

x→+∞

атогда из формулы Ньютона–Лейбница

f (x) = f (0) + f (t) dt

следует и существование конечного предела

lim f (x).

x→+∞

Этот предел не может быть не равным нулю, так как тогда инте-

+∞

грал f (x) dx не мог бы быть конечным (почему?). Поэтому

−∞

lim f (x) = 0.

x→+∞

13*

388 Гл. 6. Гармонический анализ

Аналогично доказывается, что

lim

f (x) = 0.

x→−∞

Теперь, проинтегрировав по частям, получим

(F f )(y) =

+∞

f (x)e−ixy dx =

e−ixy df (x) =

√2π

−∞

∞

+∞

ixy

√2π

e−

f (x)

√2π

f (x)e−

dx (54.53)

−∞

= iy(F f )(y).

Таким образом, дифференцированию

функции f соответствует

умножение ее преобразования Фурье

(F f )(y)

на iy, т. е. формула

(54.50) доказана.

Если функция f имеет n 1 абсолютно интегрируемых на числовой оси производных, то ее n-кратное дифференцирование соответ-

ствует умножению ее преобразования Фурье на	(iy)n:
(F f (n))(y) = (iy)n(F f )(y).	(54.54)

Производная f (n) по условию следствия абсолютно интегрируема на всей числовой оси R. Следовательно, согласно теореме 2 ее образ Фурье F f (n) является ограниченной на этой оси функцией, т. е.

def

c = sup |F f (n)(y)| < +∞.

y R

Таким образом, для всех y R выполняется неравенство

Поэтому

|(F f (n))(y)| c.

(54.55)

|(F f (n))(y)|

(F f )(y)

(54.54)

(iy)n

(54.55) |

В силу определения производной комплекснозначной функции (см. п. 10.9) и линейности преобразования Фурье все проведенные выше рассуждения справедливы не только для функций f , принимающих действительные значения, но и для комплекснозначных функций.

Теорема 3 показывает, что дифференцирование функции приводит к умножению ее образа Фурье на множитель iy. Тем самым операции дифференцирования при преобразовании Фурье соответствует алгебраическая операция — умножение функции на ее аргумент и на i. На этом свойстве преобразования Фурье основываются его многочисленные применения в математике.

§ 54. Интеграл Фурье и преобразование Фурье

389

Из формулы (54.51) следует, что чем больше абсолютно интегрируемых производных имеет функция, тем, вообще говоря, быстрее

стремится к нулю ее преобразование Фурье при стремлении аргумента
к бесконечности			c
		причем, если имеется n указанных производных,
то не медленнее, чем				.
			\|y\|n
Т е о р е м а 4.	Если функция f (x) непрерывна, а функции f (x),

xf (x), ..., xnf (x) абсолютно интегрируемы на всей числовой оси, то преобразование Фурье функции f (x) является n раз непрерывно дифференцируемой на всей числовой оси функцией и

(F f )(n) = (−i)nF (xnf ).

(54.56)

Продифференцировав формально по параметру y интеграл

(F f )(y) =

+∞

f (x)e−ixy dx,

(54.57)

√2π

будем иметь

−∞

+∞

∂

+∞

(f (x)e−ixy) dx = −

xf (x)e−ixy dx.

(54.58)

√

√2π

∂y

2π

−∞

|xf (x)e−ixy| = |xf (x)|

+∞

Поскольку

и интеграл

|xf (x)| dx по

−∞

условию теоремы сходится, то согласно признаку Вейерштрасса равномерной сходимости интегралов, зависящих от параметра, интеграл (54.58) равномерно сходится.

По условию теоремы интеграл (54.57) сходится, поэтому для его дифференцирования по параметру y, согласно доказанному, можно применить правило Лейбница (см. теорему 5 п. 50.2), т. е. интеграл (54.58) является производной интеграла (54.57). Поэтому

(F f ) (y) =		i	+∞
		i	xf (x)e−ixy dx = iF (xf (x)).
			xf (x)e−ixy dx = iF (xf (x)).
(54.58)	−√2π		−
			−∞

Таким образом, производная (F f ) преобразования Фурье F f функции f равна произведению −i на преобразование Фурье функции f (x), умноженной на x. Произведя n раз дифференцирование преобразования Фурье F f функции f , получим, что производная (F f )(n) порядка n будет равна произведению (−i)n на преобразование Фурье функции f (x), умноженной на xn, и согласно теореме 2 будет непрерывной на числовой оси.

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 4739 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.20151 Мб14КР по ТПР Чекменёв А.С..docx
#
10.05.2015649 Кб102КР_Ромашин_РС110_2012_1.doc
#
01.05.202535 Кб4Краски 3.1.doc
#
24.09.2019131 Кб10КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОСНОВНЫХ АХОВ.doc
#
10.05.20156 Мб924Краткий курс математического анализа. Том 1.pdf
#
10.05.20154 Мб442Краткий курс математического анализа. Том 2.pdf
#
10.05.20152 Мб97краткое сожержание курса БЖД.doc
#
01.05.20254 Мб6Крив_поверх.doc
#
16.11.201930 Кб40кризис.docx
#
16.03.20163 Мб757Криминология Малков В. Д..doc
#
01.07.2025250 Кб4КРМ новый.doc