Краткий курс математического анализа. Том 2

при n → ∞ и разность f − g не зависит от n, то f − g 2 = 0 (это равенство следует, конечно, и из леммы 4 п. 52.3), т. е.

т. е. функция g не непрерывна в точке x = 0.

Итак, последовательность {fn} непрерывных функций является фундаментальной в пространстве CL2[−1, 1], но не имеет в нем предела. Это и означает, что пространство CL2[−1, 1] неполное.

52.7.Лебеговы пространства L1 и L2. Пространство CL2 =

=CL2(a, b) (см. пример 3 в п. 52.4) как всякое пространство со скалярным произведением можно пополнить до гильбертова пространства

(см. теорему 3 в п. 52.4), а пространство CL1 = CL1(a, b) (пример 7 в п. 52.3) как всякое нормированное пространство можно пополнить до банахова пространства (см. теорему 2 в п. 52.3), −∞ a < b +∞.

О п р е д е л е н и е 19. Пополнение пространств CL1 и CL2 называются соответственно лебеговыми пространствами L1 и L2.

Изучим связь лебеговых пространств L1 и L2 с пространствами абсолютно интегрируемых функций RL1 и пространством интегрируемых в квадрате функций RL2. Для этого обобщим прежде всего понятие плотности множества в метрическом пространстве (см. определение 5 в п. 52.1) на случай полунормированного пространства, которое, вообще говоря, может не быть метрическим.

О п р е д е л е н и е 20. Подмножество Y полунормированного пространства X называется плотным в пространстве X по его полунор-

ме, если для любого элемента x X и любого ε > 0 существует такой элемент y Y , что x − y < ε.

Очевидно, что в случае, когда полунорма является нормой, понятие плотности подмножества в пространстве в смысле определения 20 совпадает с понятием его плотности в смысле метрики, порожденной нормой рассматриваемого пространства.

В терминах плотности множества в полунормированном пространстве теорему 2 в п. 51.2 можно переформулировать следующим об-

разом.

Множество ступенчатых функций плотно в пространстве абсолютно интегрируемых функций RL1 = RL1(a, b), −∞ a < b +∞.

Покажем, что аналогичное свойство имеет место и для простран-

ства RL2.

Л е м м а 13. Пусть f — функция с интегрируемым на интервале

(a, b) квадратом: f RL2(a, b), −∞ a < b +∞. Тогда для любого ε > 0 существует такая ступенчатая функция с носителем на

этом интервале: supp ϕ (a, b), что

f − ϕ 2 < ε.

Иначе говоря, множество ступенчатых функций плотно в пространстве интегрируемых в квадрате функций.

Пусть функция f интегрируема по Риману на любом отрезке [ξ, η] (a, b) (общий случай абсолютно интегрируемой функции легко сводится к этому случаю; см. п. 51.1). Зафиксируем произвольно

На отрезке [ξ, η] функция f интегрируема по Риману, следовательно, она ограничена на нем, т. е. существует такая постоянная c > 0, что

Согласно теореме 2 п. 51.2, примененной к интервалу (ξ, η), для функции f существует ступенчатая функция ϕ, удовлетворяющая следующим условиям (см. еще там же замечание 2):

Из выполнения условий (52.59) и (52.62) следует утверждение леммы (рис. 72).

Л е м м а 14. Для любой ступенчатой функции ϕ, supp ϕ (a, b), −∞ a < b+∞, и любого числа ε > 0 существует такая непрерывная и финитная функция g, supp g (a, b), что

и рассмотрим непрерывную кусочно-линей- ную функцию g, график которой изображен на рис. 73 жирной линией. Эта функция g финитна на интервале (a, b),

так как

supp g(x) = [ξ, η] (a, b),

т. е. для функции ϕ = χ выполняются условия (52.63). Ясно, что любая непрерывная финитная на конечном или бес-

конечном интервале (a, b) функция f принадлежит пространствам RL1(a, b) и RL2(a, b), так как в силу ее непрерывности и финитности

bb

Обозначим через CL1 = CL1(a, b) подмножество полунормирован-

ность тех же функций, но рассматриваемых как подмножество пространства RL2(a, b), где (a, b) — конечный или бесконечный интервал −∞ a < b +∞.

◦◦

Ясно, что множества CL1 и CL2 являются линейными нормиро-

ванными пространствами.

Те о р е м а 5. Множество непрерывных финитных на интервале (a, b) функций плотно в пространствах RL1(a, b) и RL2(a, b).

С л е д с т в и е. Лебеговы пространства L1(a, b) и L2(a, b) явля-

ются пополнениями пространств непрерывных финитных функций,

◦ ◦

соответственно, CL1(a, b) и CL2(a, b).

◦

Плотность множества CL1 в пространстве RL1 и плотность мно-

◦

жества CL2 в пространстве RL2 доказываются аналогичным образом. Докажем, например, второе утверждение.

Для любой функции f RL2(a, b) и любого числа ε > 0 согласно лемме 13 (в случае, когда f RL1(a, b) надо воспользоваться теоремой 2 из п. 51.2) существует такая ступенчатая функция, что

Для этой ступенчатой функции, согласно лемме 14, существует такая непрерывная финитная функция g, что

◦

g CL2(a, b).

◦

Это и означает плотность множества CL2(a, b) в пространстве

RL2(a, b).

Доказательству следствия предпошлем следующее замечание.

З а м е ч а н и е 1. Пусть

A B X,

где X — полунормированное пространство.

Если множество A плотно в пространстве X, то ясно, что оно плотно и в множестве B. Если множество A плотно в множестве B, которое плотно в пространстве X, то нетрудно убедиться, что и множество A плотно в этом пространстве. Докажем теперь следствие.

Имеют место следующие включения:

◦

В силу теоремы 5 множество CL2 плотно в пространстве RL2, поэтому, согласно сказанному выше, оно плотно и в множестве CL2,

которое плотно в пространстве L2, так как L2 является пополнением

◦

пространства CL2. Отсюда и следует, что пространство CL2 плотно в пространстве L2, что и означает, что лебегово пространство L2 явля◦ -

ется пополнением множества непрерывных финитных функций CL2. Аналогично доказывается и◦что лебегово пространство L1 являет-

ся пополнением пространства CL1.

Получим теперь лебеговы пространства L1 и L2, соответственно из пространств RL1 и RL2. Эти пространства являются полунормированными, но не нормированными. Поэтому их нельзя пополнить до полных метрических пространств. Для того, чтобы установить связь между пространствами RL1 и RL2 и пополнениями L1 и L2 соответ-

ственно пространств CL1 и CL2, рассмотрим фактор-пространства пространств RL1 и RL2 по их подпространствам функций с нулевой полунормой (см. леммы 11 и 12 в п. 52.5).

Пусть RL01 и RL02 указанные подпространства, т. е.

a

З а м е ч а н и е 2. Если в классе эквивалентности F пространства RL1 или RL2 имеется непрерывная функция, то она единственна.

Это следует из того, что если две функции f1 и f2 непрерывны и эквивалентны в пространстве RL1, соответственно в пространстве

RL2, то

b

f2 − f1 1 = |f2(x) − f1(x)| dx = 0,

a

соответственно,

b

f2 − f1 2 = (f2(x) − f1(x))2 dx = 0,

a

то функции f1 и f2 тождественно раны на интервале (a, b).

346 Гл. 6. Гармонический анализ

Из сделанного замечания следует, что отображение, ставящее в соответствие каждой функции f CL1(a, b), т. е. каждой непрерывной абсолютно интегрируемой на интервале (a, b) функции, содержащей

ее класс F эквивалентных функций, F RL1, является взаимно однозначным отображением пространства CL1(a, b) в пространство

ным выше определениям (см. п. 52.5) линейные операции с функциями совпадают с линейными операциями, применяемыми к содержащим эти функции классам, т. е. к образам рассматриваемых функций при указанном отображении.

Аналогично отображение, ставящее в соответствие каждой функции f CL2(a, b), т. е. каждой непрерывной с интегрируемым на интервале (a, b) квадратом функции, содержащей ее класс F эквивалентных функций, F RL2(a, b), также является взаимно однозначным отображением пространства CL2(a, b) в пространство RL2(a, b). При

0

0

этом не только линейные операции, но и скалярное произведение функций пространства CL2(a, b) совпадают, соответственно, с линейными операциями и скалярным произведением, применяемыми к содержащим рассматриваемые функции классам.

Отождествим каждую непрерывную функцию из пространства CL1(a, b), соответственно из пространства CL2(a, b), с содержащим ее классом эквивалентных функций, являющимся элементом соот-

ветствующего пространства RL1(a, b) или RL2(a, b). Тогда множества

и CL2(a, b), будучи подмножествами множеств CL1(a, b) и CL2(a, b)

в силу включения (52.73) являются подмножествами пространств

◦

Согласно теореме 5 найдется такая функция g CL2(a, b), что

f − g RL2 < ε.

Отождествив, как это было сделано выше, функцию g с ее классом

Из включений (52.74), (52.75) и замечания следует плотность пространств CL1(a, b) и CL (a, b) соответственно в пространствах

0 , 0 ,

RL1(a b) и RL2(a b).

Доказательству следствия предпошлем следующее замечание.

З а м е ч а н и е 3. Если множество A является плотным подмножеством полного метрического пространства X, то одним из пополнений

Aявляется пространство X. Докажем теперь следствие.

0 ,

будет пополнение пространства RL1(a b).

С другой стороны, согласно следствию из теоремы 5, пространство

◦

L1(a, b) является пополнением пространства CL1(a, b). Следовательно

0 ,

(см. замечание п. 52.1), пополнение пространства RL1(a b) изометрично L1(a, b).

0 ,

Аналогично доказывается, что пополнение пространства RL2(a b) изометрично пространству L2(a, b).

Можно показать, что пополнения нормированных пространств

0 , 0 ,

RL1(a b) и RL2(a b) не только изометричны, но и изоморфны соответственно лебеговым пространствам L1(a, b) и L2(a, b).

Поскольку все пополнения пространства CL1(a, b) изоморфны, то их принято обозначать одним и тем же символом L1(a, b).

Аналогично все пополнения пространства CL2(a, b) изоморфны

иих также принято обозначать одним и тем же символом L2(a, b).

За м е ч а н и е 3. Если ограничиться определением пространства

L2(a, b) как пополнения пространства CL2(a, b), то тогда можно было бы сказать лишь, что пространство L2(a, b) состоит из непрерывных функций и классов фундаментальных (в смысле метрики про-

странства CL2) эквивалентных последовательностей непрерывных функций. Тем самым осталось бы невыясненным, что все функции,

квадраты которых абсолютно интегрируемы на промежутке (a, b), т. е. функции из пространства RL2(a, b), а точнее, классы таких эк-

0 , ,

вивалентных функций, т. е. элементы пространства RL2(a b) можно рассматривать как элементы пространства L2(a, b). Например, без дополнительных рассуждений было бы не ясно, что класс функций, эквивалентных разрывной и неограниченной функции

f (x) = x11/3 RL2(−1, 1),

можно рассматривать как элемент пространства L2(−1, 1), каковым этот класс является согласно определению пространства L2(−1, 1) как

0 −1, 1

пополнения пространства RL2( ).

Заметим, что существует такое понятие интеграла (интеграл Лебега) и основанного на нем понятия эквивалентности функций, для которых все элементы пространства L2(a, b) оказываются классами эквивалентных функций, интегрируемых в квадрате в смысле указанного интеграла. Рассмотрение этого вопроса не входит в задачу настоящего учебника.

Аналогичное замечание относится и к лебегову пространству

L1(a, b).

З а м е ч а н и е 4. Иногда для краткости вместо f RL2(a, b) пишут f L2(a, b), понимая под этим, что у функции f ее квадрат f 2 интегрируем на рассматриваемом промежутке.

0 0 ,

З а м е ч а н и е 5. Пространство RL1 = RL1(a b) часто называют

пространством абсолютно интегрируемых функций, хотя точнее было бы называть его пространством классов эквивалентных абсолютно интегрируемых функций. В этом смысле и говорят, что все абсолютно интегрируемые функции принадлежат пространству L1(a, b).

В случае конечного отрезка [a, b], −∞ < a < b < +∞, всякая непрерывная и финитная на интервале (a, b) функция, очевидно, непрерывна и на отрезке [a, b], а сужение на интервал (a, b) всякой непрерывной на отрезке [a, b] функции абсолютно интегрируемо на интервале (a, b), поэтому (обозначения см. в замечании 2 п. 52.4)

L1[a, b] пространства CL1[a, b] совпадает с пополнением L1(a, b) про-

◦

странства CL1(a, b):

L1[a, b] = L1(a, b).

Аналогично показывается, что пополнение L2[a, b] пространства

◦

CL2[a, b] совпадает с пополнением L2(a, b) пространства CL2(a, b):

L2[a, b] = L2(a, b).

Таким образом, в результате пополнения в рассматриваемых метриках пространств функций, непрерывных на отрезке [a, b] или на интервале (a, b), мы приходим к одному и тому же пространству.

§ 53. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах

53.1. Ортогональные системы. Пусть X — линейное про-

странство со скалярным произведением. Элементы x X и y X называются ортогональными, если (x, y) = 0. В этом случае пи-

шут x y.

Пусть A — некоторое множество, которое будем называть множеством индексов.

О п р е д е л е н и е 1. Система {xα}, α A, элементов пространства X, называется ортогональной, если (xα, xβ ) = 0 при α = β, α A,

β A. Если, кроме того, для всех α A выполняется условие

(xα, xα) = 1,

то система {xα}, α A, называется ортонормированной.

Л е м м а 1. Если {xα}, α A — ортогональная система в пространстве со скалярным произведением и для всех α A выполняется неравенство xα = 0, то эта система является линейно независимой системой.

Надо показать, что, каково бы ни было конечное подмножество элементов системы {xα}, α A, его элементы линейно независимы (определение 9 из п. 52.2). Пусть xαi {xα}, α A, и существуют числа λi, i = 1, 2, ..., n, такие, что

Умножив это равенство скалярно на элемент xαk (k фиксировано, k = 1, 2, ..., n), получим

n

λi(xαi , xαk ) = 0.

i=1

Поскольку при i = k выполняется равенство (xαi , xαk ) = 0, то

λk(xαk , xαk ) = 0.

По условию xαk = 0, следовательно, и (xαk , xαk ) = 0, поэтому λk = 0. Таким образом, из равенства (53.1) следует, что все числа λ1, ..., λn равны нулю, а это и означает линейную независимость элементов xα1 , ..., xαn .

П р и м е р 1. Тригонометрическая система

1, cos x, sin x, ..., cos nx, sin nx, ...