Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Краткий курс математического анализа. Том 2

.pdf

Скачиваний:

442

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 4737 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

360 Гл. 6. Гармонический анализ

Перейдя к

пределу

в этом неравенстве при

→ ∞

(это возмож-

0 и, следовательно, последовательность сумм

но, так как a

x 2

− ∞ ak2

ek 2 0.

ak2 ek 2 возрастает), получим

k=1

Отсюда сразу следует (53.22).

Докажем следствие:

∞

n=1

an2 =

c2an2

(53.23)

en 2an2

(53.22)

x 2.

∞

n=1

Поэтому ряд

an2

сходится, и, следовательно, его общий член стре-

n=1

lim an = 0.

мится к нулю: lim an = 0, а это равносильно тому, что

n→∞

Те о р е м а 3. Если X — гильбертово пространство и {en} — ортогональная в нем система, то для любого элемента x X его

ряд Фурье ∞ anen по этой системе сходится; при этом, если сумма

∞

n=1

∞

равна x0,

т. е.

ряда

anen

n=1

x0 =

anen,

n=1

то при любом n = 1, 2, ... элементы x − x0

и en ортогональны:

∞

(x − x0,

en) = 0,

n = 1, 2, ...

Пусть x

anen

n=1

sn =

akek;

(53.24)

тогда

k=1

n+p

sn+p − sn = 2k=n+1 akek2

= k=n+1 akek

j=n+1 aj ej (53.12)

2, (53.25)

(53.12)

=n+1

∞

а так как числовой ряд

an2 en 2 сходится (см. (53.22)), то для

n=1

любого ε > 0 существует такой номер nε, что для всех n > nε и всех

§ 53. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах

361

p = 1, 2, ... выполняется неравенство

k	n+p
k
	ak2 ek 2 < ε2.	(53.26)

=n+1

Поэтому для указанных n и p справедливо также неравенство

sn+p − sn < ε,

(53.25) (53.26)

т. е. последовательность {sn} частичных сумм рассматриваемого ряда фундаментальная, а поскольку пространство X гильбертово и поэтому полное, то эта последовательность сходится, т. е. существует такой элемент x0 X, что

∞

x0 =	lim sn =	anen.	(53.27)
	n→∞	n=1
Покажем, что x − x0 и ek,	k = 1, 2, ..., ортогональны.

Для доказательства равенства (x − x0, ek) = 0 выберем n > k. Тогда, согласно лемме 4, получим (x − sn, ek) = 0. Перейдя в этом равенстве к пределу при n → ∞, в силу (53.27) и непрерывности

скалярного произведения будем иметь (x − x0, ek) = 0, k = 1, 2, ...

Те о р е м а 4. Пусть X — пространство со скалярным произведением и {en} — ортогональная в нем система.

Для того чтобы ряд Фурье элемента x X по системе {en} сходился к самому элементу x, необходимо и достаточно, чтобы для этого элемента выполнялось равенство

	∞
x 2
x 2	= an2 en 2,	(53.28)

n=1

где an — коэффициенты Фурье элемента x по системе {en}.

Иначе говоря, для того чтобы ряд Фурье некоторого элемента сходился к этому элементу, необходимо и достаточно, чтобы для него

неравенство Бесселя (53.21) превратилось в равенство (53.28). Это равенство называется равенством Парсеваля 1). В случае, когда система

{en} ортонормирована, оно имеет вид

	∞
x 2
x 2	= an2	(53.29)
	n=1

и представляет собой обобщение теоремы Пифагора на случай бесконечномерного пространства.

1) М. А. Парсеваль (1755–1836) — французский математик.

362 Гл. 6. Гармонический анализ

В силу равенства

							n
		2	=		2			2	2
	x − sn		(53.21)			−		ak ek
							k=1
существует предел
							∞
	nlim x − sn 2			= x 2
	nlim x − sn 2			= x 2			−	ak2 ek 2;
	→∞						k=1
поэтому условие	nlim sn = x,			т. е. nlim x − sn = 0, равносильно
условию	→∞			∞			→∞
	x 2
	x 2		= ak2 ek 2.

k=1

Т е о р е м а 5. Для того чтобы в линейном пространстве со скалярным произведением каждый элемент был суммой своего ряда Фурье по заданной ортогональной системе {en}, необходимо и достаточно, чтобы эта система была полной.

Сл е д с т в и е 1. Для того чтобы ортогональная система была полной в линейном пространстве со скалярным произведением, необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента пространства выполнялось равенство Парсеваля относительно этой системы.

Сл е д с т в и е 2. Если все коэффициенты Фурье некоторого элемента пространства со скалярным произведением по полной ортогональной системе равны нулю, то и сам этот элемент равен нулю.

Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть для каждого элемента x X его ряд

∞

Фурье anen сходится к самому x. Тогда каковы бы ни были x

n=1

X и ε > 0, в силу определения сходимости ряда в пространстве X существует такой номер n, что

	n
2		2
2		2
2x − k=1 akek		2 < ε,

т. е. в любой близости от наперед заданного элемента x находится некоторая конечная линейная комбинация элементов системы {en}, что и означает полноту этой системы в пространстве X.

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть система {en} полная в пространстве X. Тогда для любого x X и любого ε > 0 существует такое натуральное n0 и такие действительные числа λ1, λ2, ..., λn0 , что

2x −

n0
	2	< ε.	(53.30)
n=1	λnen2	< ε.	(53.30)
	2

§ 53. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах

363

В силу же минимального свойства сумм Фурье sn =

мента x по системе {en} имеем

	n0			n0
2		2	2		2
2		2	2		2
x − sn0 = 2x − k=1 akek		2	2x − n=1		λnen2.

akek эле-

k=1

(53.31)

Поэтому	x − sn0	< ε,	(53.32)
		< ε,	(53.32)
		(53.30)
		(53.31)

а так как числовая последовательность x − sn , n = 1, 2, ..., убывает (следствие теоремы 1) и, следовательно, при n > n0 выполняются

неравенства	x − sn x − sn0 ,					(53.33)
то при n > n0	x − sn x − sn0 ,					(53.33)
то при n > n0		x	−	s	< ε.
		x		s	< ε.
					n (53.30)
	∞				(53.31)
	∞
Это и означает, что	anen = x.

n=1

Следствие 1 из теоремы 5 непосредственно вытекает из самой этой теоремы и теоремы 4.

Докажем следствие 2. Если {en} — полная ортогональная система в пространстве X, то, согласно теореме 5, для любого элемента x X

его ряд Фурье сходится к самому этому элементу, т. е. имеет место

∞

равенство x = anen. Поэтому если все an = 0, то и x = 0.

n=1

З а м е ч а н и е. Если {en} — полная ортогональная система в пространстве X со скалярным произведением, en = 0, n = 1, 2, ..., то для любого его элемента x, согласно теореме 5, имеет место разложение

∞

x = anen,

n=1

причем, в силу выполнения условия (53.13), это разложение единственно.

Таким образом, понятие полной ортогональной системы является естественным обобщением понятия ортогонального базиса конечно-

мерного пространства на случай линейного пространства со скалярным произведением.

О п р е д е л е н и е 4. Система элементов пространства со скалярным произведением называется замкнутой системой, если в этом

пространстве не существует элемента, не равного нулю и ортогонального всем элементам этой системы.

Те о р е м а 6. В гильбертовом пространстве ортогональная система замкнута тогда и только тогда, когда она полна.

364 Гл. 6. Гармонический анализ

Пусть сначала ортогональная система {en} замкнутая, x — про-
		∞
извольно фиксированный элемент пространства X и
		anen — ряд
		n=1
Фурье этого элемента. Поскольку пространство X полное, то ряд
∞	∞

anen,	согласно теореме 3, сходится. Обозначим его сумму через x0,
n=1
т. е. x0 =
	anen. В силу той же теоремы 2 разность x − x0 орто-
гональна	n=1	отсюда в силу
	всем {en}, т. е. x − x0 en, n = 1, 2, ...;

замкнутости системы {en} следует, что x − x0 = 0,		т. е. что x = x0,
и потому	∞
x =		(53.34)
x =	anen.	(53.34)
	n=1

Поскольку элемент x был выбран произвольно в пространстве X, то согласно теореме 5 из равенства (53.34) вытекает, что система {en} полная.

Пусть теперь система {en} полная. Если x X и для всех n =

= 1, 2, ... имеет место ортогональность x en, т. е. (x, en) = 0, то все

коэффициенты Фурье an = (x, en) , n = 1, 2, ..., элемента x по системе

(en, en )

{en} равны нулю, и, следовательно, согласно следствию 2 из теоремы 5 сам элемент x также равен нулю: x = 0. Это и означает замкнутость системы {en}.

П р и м е р. Пусть X = L2[−π, π] — гильбертово пространство. Согласно п. 53.2 тригонометрическая система 1, cos x, sin x, ..., cos nx, sin nx, ... является полной ортогональной системой в этом пространстве.

Поэтому в силу теоремы 5 любой элемент F L2[−π, π] раскладывается в пространстве L2[−π, π] в ряд Фурье по тригонометрической

системе:	∞

F = a0 +	ancos nx + bn sin nx,	(53.35)

n=1

т. е. если sn

ряда, то

= a0 + ak cos kx + bk sin kx — частичная сумма этого

k=1

lim F − sn = 0.

n→∞

Выполняется равенство Парсеваля, имеющее в данном случае вид

	= π 2a02	∞	.

F 2		+ n=1 an2 + bn2		(53.36)

Тем самым для элемента пространства L2[−π, π] имеется аналитическая формула для вычисления его нормы.

§ 53. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах

365

Согласно критерию Коши сходимость ряда (53.35) равносильна тому, что для любого ε > 0 существует такой номер n0, что для всех n > n0 и всех p 1 выполняется неравенство

sn+p − sn < ε.

Поскольку разность

			n+p
		k
sn+p − sn =			ak cos kx + bk sin kx
			=n+1
является непрерывной	функцией, то ее норма в пространстве
L2[−π, π] выражается с помощью интеграла
	π		n+p
	−
sn+p − sn 2 =		π k=n+1 ak cos kx + bk sin kx 2 dx.

Таким образом, получено однозначное а н а л и т и ч е с к о е о п и- с а н и е элементов пространства L2[−π, π] в виде тригонометрических рядов (53.35), удовлетворяющих условию: для любого ε > 0 существует такой номер n0, что для всех n > n0 и p 1 выполняется неравенство

π		n+p
−
	π k=n+1 ak cos kx + bk sin kx 2 dx < ε2.

Отметим, что до сих пор пространство L2[−π, π] рассматривалось, например, как пополнение пространства CL2[−π, π] (см. п. 52.6) и тем самым состояло из непрерывных на отрезке [−π, π] функций и некоторых дополнительных элементов, представляющих собой классы эквивалентных фундаментальных последовательностей непрерывных функций (см. теорему 1 в п. 52.1). Теперь же получено аналитическое описание элементов пространства L2[−π, π] и их норм с помощью формул (53.35) и (53.36).

Если f — функция с интегрируемым на отрезке квадратом и,

следовательно, f F RL2[−π, π],

то

, 1

)

(F0, )

f (x) dx,

(1, 1)

2π

(1, 1)

−π

(F , cos nx)

(f , cos nx)

an =

f (x) cos nx dx, (53.37)

(cos nx, cos nx)

−π

(F , sin nx)

(f , sin nx)

bn =

f (x) sin nx dx, n = 1, 2, ...,

(sin nx, sin nx)

−π

366	Гл. 6. Гармонический анализ

т. е. получается обычный тригонометрический ряд Фурье функции f (см. определение 1 в п. 51.1). Если Sn(x; f ) — сумма Фурье порядка n функции f , то равенство (53.35) в данном случае означает, что

	π
nlim	[f (x) − Sn(x; f )]2 dx = nlim f − Sn 22 = 0,	(53.38)
→∞	→∞

−π

т. е. тригонометрический ряд Фурье каждой функции f L2[−π, π] сходится к ней на отрезке [−π, π] в смысле среднего квадратичного.

Равенство Парсеваля (53.28) в силу формул (53.36)–(53.38) запишется в этом случае в виде

1	π			∞
1	−π			∞
	−π
	f	2(x) dx = 2a2	+	a2	+ b2 .	(53.39)
π		0		n	n
π				n=1
				n=1

Если функция f1 эквивалентна функции f , т. е. f − f1 2 = 0, и,

0 ,

следовательно, они принадлежат одному и тому же классу F RL2 то ряд Фурье функции f1 будет тот же самый, что и у функции f , так как в силу (53.37) их ряды Фурье совпадают с рядом Фурье

0 − , − ,

указанного элемента F RL2[ π π] L2[ π π].

Если все коэффициенты Фурье функции f равны нулю, то она эквивалентна нулю (см. следствие 2 теоремы 5), т. е. f 2 = 0, а если она, кроме того, и непрерывна, то она тождественно равна нулю, так как полунорма f 2 пространства RL2[−π, π] является нормой на пространстве CL2[−π, π].

Поскольку многочлены Лежандра образуют полную ортогональную систему в пространстве L2[−1, 1] (см. пп. 53.1 и 53.2), то для них имеют место аналогичные утверждения. В частности, любой элемент пространства L2[−π, π] является суммой сходящегося в смысле среднего квадратичного его ряда Фурье по полиномам Лежандра.

З а м е ч а н и е. Если линейно отобразить отрезок [0, l], l > 0, на отрезок [−π, π], т. е. положить x = πl t, −l t l, −π t π, то из сказанного выше следует, что любой элемент пространства L2[−l, l]

является суммой своего ряда Фурье по системе

1, cos πl t, sin πl t, ..., cos nπl t, sin nπl t, ...,

сходящейся в смысле среднего квадратичного (подробнее о рядах Фурье по этой системе см. далее в п. 53.6).

Подробным образом, если отобразить произвольный отрезок [a, b]

[		1, 1]	x =	2t − a − b		a		t		b
линейно на отрезок	−	, т. е. положить		b − a	,					,

−1 x 1,то любой элемент пространства L2[a, b] может быть представлен сходящимся в смысле среднего квадратичного ряда по много-

§ 53. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах

367

членам, получающимся из многочленов Лежандра Pn(x), n = 0, 1, ...,

при замене независимого переменного x = 2t − a − b , a t b. b − a

Таким образом, для элемента любого пространства L2[a, b] имеется его аналитическое представление.

53.4. Дифференцирование тригонометрических рядов Фурье и порядок убывания их коэффициентов. Покажем, что

ряд Фурье производной при определенных условиях получается из ряда Фурье самой функции почленным дифференцированием.

Те о р е м а 7. Если функция f непрерывна и имеет кусочно-непре- рывную производную на отрезке [−π, π], причем f (−π) = f (π), то

∞

	f (x) = a0 + an cos nx + bn sin nx,	(53.40)
	n=1
и	∞

	f (x) = −nan sin nx + nbn cos nx.	(53.41)

n=1

Равенство (53.40) непосредственно вытекает из следствия 2 теоремы 5 (признак Дини) п. 51.5. Пусть

∞

f α0 +

αn cos nx + βn sin nx;

(53.42)

n=1

тогда

f (x) dx =

[f (π)

−

f ( π)] = 0,

2π

−π

2π

−

αn =

f (x) cos nx dx =

cos nx df (x) =

−π

−

+ πn

π f (x) sin nx dx = nbn.

= π1 f (x) cos nx −π

Аналогично,

βn = −nan,

n = 1, 2, ... .

Таким образом, ряд (53.42) совпадает с рядом (53.41), т. е. действительно ряд Фурье для производной f получается из ряда Фурье (53.40) самой функции f его почленным дифференцированием и при этом без каких-либо предположений о сходимости ряда Фурье производной, т. е. ряда (53.41).

Теорема 7 позволяет доказать важное свойство рядов Фурье, состоящее в том, что чем «глаже» функция, тем быстрее стремятся

368	Гл. 6. Гармонический анализ

к нулю ее коэффициенты Фурье, и, более того, установить порядок их убывания относительно n1 при n → ∞ (см. замечание 1 в п. 9.2) в зависимости от того, сколько раз дифференцируема рассматриваемая функция.

Т е о р е м а 8. Если функция f имеет на отрезке [−π, π] k − 1 непрерывных производных и кусочно-непрерывную производную порядка k, k 1, причем f (j)(−π) = f (j)(π), j = 0, 1, ..., k − 1, то

∞

	f = a0 +			an cos nx + bn sin nx,			(53.43)
				n=1
и	\|an\|	εn	,	\|bn\|	εn	, n = 1, 2, ...,	(53.44)

		nk			nk
	∞
где ряд				следовательно, lim εn = 0.
	εn2 сходится и,
	n=1					n→∞

Равенство (53.43) следует из того, что при выполнении условий теоремы 8 выполняются и условия теоремы 7, при выполнении которых это равенство имеет место, как это отмечалось при доказательстве теоремы 7.

Если	∞

	f (k) αn cos nx + βn sin nx,	(53.45)

n=1

то последовательным применением теоремы 7 (т. е. дифференцируя последовательно k раз ряд (53.43) и сравнивая коэффициенты получившегося в результате тригонометрического ряда с коэффициентами ряда (53.45)) получим, что в зависимости от четности числа k выполняются либо равенства

αn = ±nkan, βn = ±nkbn,	(53.46)
либо
αn = ±nkbn, βn = ±nkan, n = 1, 2, ...	(53.47)

Отсюда следует, что для всех n = 1, 2, ... выполняются либо равенства

|an| =

(53.46)

либо

|an| =

(53.47)

Положим

εn

\|αn\|	,	\|	b	=	\|βn\|	,
nk		\|	n\|	(53.46) nk
\|βn\|	,	b		=	\|αn\|	.
nk		\|	n\|	(53.47) nk

=αn2 + βn2 .

Тогда, очевидно,

|αn| εn, |βn| εn.

(53.48)

(53.49)

(53.50)

(53.51)

§ 53. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах

369

Поэтому из (53.48) и (53.49) следует, что

\|an\|	εn	,	\|bn\|	εn	, n = 1, 2, ...,	(53.52)
	nk			nk

причем, поскольку функция f (k), будучи кусочно-непрерывной на отрезке [−π, π], интегрируема на нем в квадрате, то согласно равенству Парсеваля (53.39)

	∞			∞			1	π
	∞			∞			1	−π
		2						−π
		εn	=	α2	+ β2	=		[f (k)(x)]2 dx < +	∞
	n=1	εn	(53.50)	n	n	(53.39) π			∞
	n=1			n=1
	∞

ряд	εn2 сходится. Все утверждения теоремы 8 доказаны.
	n=1
53.5. Скорость сходимости							тригонометрических рядов.

Выясним теперь, как зависит от гладкости функции «скорость» сходимости к ней ряда Фурье, т. е., говоря более точно, как зависит от того, сколько раз дифференцируема функция, порядок убывания остатков ее ряда Фурье.

Те о р е м а 9. Если функция f имеет на отрезке [−π, π] k − 1 непрерывных производных и кусочно-непрерывную k-ю производную, k 1, причем f (j)(−π) = f (j)(π), j = 0, 1, ..., k − 1, то ряд Фурье функции f сходится абсолютно и равномерно на всем отрезке [−π, π] к функции f и

\|f (x) − Sn(x, f )\|	ηn	, −π	x π,	(53.53)
	nk−1/2
где {ηn} — бесконечно малая числовая			последовательность,

а Sn(x; f ), как обычно, есть сумма Фурье порядка n функции f. Иначе говоря,

f (x) = Sn(x; f ) + o(n−k+1/2), n → ∞.		(53.54)
В условиях теоремы имеем (см. (53.43))
	∞
f (x) = a0 +
f (x) = a0 +	an cos nx + bn sin nx.	(53.55)
	n=1
Поэтому, если
∞
m
rn(x) =	am cos mx + bm sin mx	(53.56)
=n+1
— остаток ряда Фурье (53.55), то
rn(x) = f (x) − Sn(x; f ).		(53.57)

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 4737 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.20151 Мб14КР по ТПР Чекменёв А.С..docx
#
10.05.2015649 Кб102КР_Ромашин_РС110_2012_1.doc
#
01.05.202535 Кб4Краски 3.1.doc
#
24.09.2019131 Кб10КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОСНОВНЫХ АХОВ.doc
#
10.05.20156 Мб924Краткий курс математического анализа. Том 1.pdf
#
10.05.20154 Мб442Краткий курс математического анализа. Том 2.pdf
#
10.05.20152 Мб97краткое сожержание курса БЖД.doc
#
01.05.20254 Мб6Крив_поверх.doc
#
16.11.201930 Кб40кризис.docx
#
16.03.20163 Мб757Криминология Малков В. Д..doc
#
01.07.2025250 Кб4КРМ новый.doc