Краткий курс математического анализа. Том 2

350 Гл. 6. Гармонический анализ

ортогональна в пространстве L2[−π, π], а система

называемые многочленами Лежандра, образуют ортогональную систему в пространстве L2[−1, 1].

и выполнив последовательно интегрирование по частям в написанном интеграле, получим при 0 m n − 1

ибо 0 n − m − 1 n − 1.

Поскольку любой многочлен Qm(x) степени не выше m, m = 0, 1, ...

..., n − 1, является линейной комбинацией степеней 1, x, x2, ..., xm, то из равенства (53.3) следует, что

1

Qm(x)Pn(x) dx = 0, m = 0, 1, ..., n − 1.

−1

В частности,

1

Pm(x)Pn(x) dx = 0, m = n.

−1

Аналогичными рассуждениями доказывается, что

номах Лежандра объясняется тем, что при таком выборе для всех n = 0, 1, 2, ... выполняется условие Pn(1) = 1.

Линейное пространство многочленов степени не выше n обозна-

чим Pn. Очевидно, что Pn = L(1, x, x2, ..., xn), т. е. пространство Pn

является линейной оболочкой системы степенных функций 1, x, x2, ...

..., xn.

Поскольку степень нулевого многочлена равна −∞ (см. п. 3.2), то она меньше любого неотрицательного целого числа, а поэтому нулевой многочлен принадлежит любому пространству Pn, n = 0, 1, 2, ... .

Л е м м а 2. Пространство Pn имеет размерность n + 1, и всякая система {Q0(x), Q1(x), ..., Qn(x)} из n + 1 многочленов

m

Qm(x) = qmkxk

k=0

таких, что многочлен Qm(x) имеет степень m, т. е. что qmm = 0,

m= 0, 1, ..., n, образует базис в пространстве Pn.

Сл е д с т в и е 1. Многочлены Лежандра

образуют базис в пространстве Pn многочленов степени не выше чем n.

С л е д с т в и е 2. Любой многочлен степени не выше чем n является линейной комбинацией многочленов Лежандра (53.4) также степеней не выше чем n.

Докажем, что степени 1, x, x2, ..., xn линейно независимы: если на каком-то промежутке

то, продифференцировав последовательно n раз равенство (53.5), по-

лучим

λ0 + λ1x + λ2x2 + ... + λn−1xn−1 + λnxn = 0,

1· λ1 + 2λ2x + ... + (n − 1)λn−1xn−2 + nλnxn−1 = 0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(n − 1)! λn−1 + n(n − 1) ... 2λnx = 0, n! λn = 0.

Из последнего равенства следует, что λn = 0. Подставив это значение λn в предпоследнее равенство, будем иметь λn−1 = 0. Продолжив этот процесс, получим

λn−2 = λn−3 = ... = λ1 = λ0 = 0,

что и означает линейную независимость степеней 1, x, x2, ..., xn. Следовательно, эти степени образуют базис в их линейной оболочке Pn = L(1, x, x2, ..., xn), являющейся в силу этого (n + 1)-мерным пространством.

Теперь заметим, что любая система n + 1 многочленов, степени которых различны и не превосходят n, т. е. система многочленов

Q0(x), Q1(x), ..., Qn(x), где многочлен Qk(x) имеет степень, равную k, k = 0, 1, ..., n, образует базис в пространстве Pn. Действительно, если

k

Qk(x) = akmxm, то по условию akk = 0. Таким образом, много-

m=0

члены Qk(x) выражаются через элементы базиса 1, x, x2, ..., xn с помощью треугольной матрицы, диагональные элементы akk которой не равны нулю, и, следовательно, с помощью невырожденной матрицы. Поэтому многочлены Qk(x), k = 0, 1, ..., n, также образуют базис в пространстве Pn, т. е. они линейно независимы, и каждый многочлен степени не выше n является их линейной комбинацией.

Многочлены Лежандра (53.2) удовлетворяют условиям лем-

мы 2, ибо

Pn(x) = 2n1n! (2n(2n − 1)...(n + 1)xn + ...)

имеет степень n. Поэтому многочлены Лежандра образуют базис в пространстве Pn. Отсюда следует, что любой многочлен степени не выше n является линейной комбинацией многочленов Лежандра (53.2) степеней не выше n.

53.2. Полные системы.

О п р е д е л е н и е 2. Пусть X — полунормированное пространство. Система {xα}, α A, его элементов называется полной в нем, если

множество линейных комбинаций элементов этой системы (т. е. их линейная оболочка, см. определение 10 из п. 52.2) плотно в пространстве X по его полунорме.

Иначе говоря, полнота системы {xα}, α A, в пространстве X означает, что для любого элемента x X и любого ε > 0 существуют такие элементы xα1 , xα2 , ..., xαn этой системы и такие числа λ1, λ2, ..., λn, что

x − (λ1xα1 + λ2xα2 + ... + λnxαn ) < ε.

З а м е ч а н и е. Если система элементов {xα}, α A, полна в подпространстве X0 полунормированного пространства X и подпростран-

3. Система многочленов Лежандра (53.2) полна в пространстве непрерывных функций C[a, b] и лебеговых пространствах L1[a, b],

L2[a, b].

Действительно, любой многочлен является линейной комбинацией многочленов Лежандра (см. следствие 2 леммы 2) и поэтому многочлены Лежандра очевидным образом образуют полную систему в пространствах C[a, b], L1[a, b] и L2[a, b], так как таковой согласно доказанному является система алгебраических многочленов.

(53.7) является тригонометрический многочлен. Поэтому полнота

− ,

тригонометрической системы (53.7) в пространстве C[ π π] означает плотность в нем множества тригонометрических многочленов. А это непосредственно следует из теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций тригонометрическими многочленами (см. теорему 7 в п. 51.7). Согласно этой теореме для любой непрерывной функции f (x), у которой f (−π) = f (π), т. е. для f C[−π, π], и любого

числа ε > 0 найдется такой тригонометрический многочлен T (x), что

|f (x) − T (x)| < ε, −π x π,

и, следовательно,

f − T ∞ ε.

Это и означает полноту тригонометрической системы (53.7) в про-

− ,

странстве C[ π π].

Ее плотность в лебеговских пространствах L1[−π, π] и L2[−π, π] следует из того, что множество непрерывных финитных на отрезке

− , − ,

[ π π] функций f содержится в пространстве C[ π π] (в этом случае

f (−π) = f (π) = 0) и плотно в пространствах L1[−π, π] и L2[−π, π].

В самом деле, непрерывная функция f , удовлетворяющая условию (53.7), как всякая непрерывная функция может рассматриваться элементом лебеговских пространств L1[−π, π] и L2[−π, π]. Обозначим множество этих функций, рассматриваемых как подмножества

356 Гл. 6. Гармонический анализ

то для коэффициентов an этого ряда имеют место формулы

Действительно, умножив обе части равенства (53.12) на элемент em, в силу равенства (52.38) и условия ортогональности системы (53.11):

Найдя отсюда am, получим формулу (53.13).

Из доказанного следует, что если существует разложение элемента x X в ряд (53.12), то оно единственно, так как его коэффициенты однозначно определяются формулами (53.13).

О п р е д е л е н и е 3. Если x X, то ряд

∞

n=1

с коэффициентами an, задаваемыми формулами (53.13), называется

рядом Фурье, сами эти коэффициенты — коэффициентами Фурье, а частичные суммы ряда (53.15)

n

— суммами Фурье соответственно порядков n элемента x по заданной ортогональной системе (53.11).

В этом случае пишут

т. е. в этом случае коэффициент Фурье an равен величине проекции вектора x на прямую y = ten, −∞ < t < +∞.

Нашей ближайшей задачей является выяснение условий, при которых ряд Фурье элемента x сходится, и условий, когда сумма его равна x. Предварительно установим некоторые свойства рядов Фурье по ортогональным системам.

Л е м м а 4. Сумма

k=1

является суммой Фурье порядка n элемента x X тогда и только тогда, когда

С л е д с т в и е. Для любого элемента σn вида (53.17) имеет место равенство

т. е. элемент x − sn ортогонален линейной оболочке L(e1, ..., en) элементов (e1, ..., en): x − sn L(e1, ..., en).

Имеем

Поэтому условие (53.18) равносильно условию

(x, em) − λm(em, em) = 0.

А это означает согласно (53.13), что числа

являются коэффициентами Фурье элемента x.

Докажем следствие: согласно (53.18) (x − sn, ek) = 0, k = 1, 2, ..., n, поэтому

(e1, ..., en), то геометрический смысл леммы 4 состоит в том, что вектор x − sn,

sn L(e1, ..., en), является единственным перпендикуляром к подпространству L(e1, ..., en), проходящим через точку x L(e1, ..., en) (рис. 74).

Т е о р е м а 1 (минимальное свойство сумм Фурье). Если sn —

сумма Фурье порядка n элемента x X, то для любого элемента σn вида (53.17) имеет место неравенство

x − sn x − σn ,

и элемент sn является единственным элементом вида (53.17), удовлетворяющим этому условию.

Таким образом,

x − sn = min x − σn ,

σn

и если x − sn = x − σn , то σn = sn.

С л е д с т в и е. Последовательность {x − sn} является убывающей последовательностью.

Для любого элемента σn вида (53.17) имеем

x − σn 2 = (x − σn, x − σn) =

=((x − sn) + (sn − σn), (x − sn) + (sn − σn)) =

=(x − sn, x − sn) + (sn − σn, x − sn) + (x − sn, sn − σn) +

+ (sn − σn, sn − σn) = x − sn 2 + sn − σn 2, (53.20)

ибо sn − σn L(e1, ..., en), и поэтому

x − σn x − sn .

Кроме того, если x − σn = x − sn , то из (53.20) вытекает, чтоsn − σn = 0. Поэтому в силу свойства нормы в этом случае имеем σn = sn. Теорема доказана.

Докажем следствие. Заметив, что всякая линейная комбинация σn (в том числе и sn) элементов e1, e2, ..., en может также рассматриваться и как линейная комбинация σn+1 элементов e1, e2, ..., en, en+1 с коэффициентом при en+1, равным нулю, получим в силу минимального свойства сумм Фурье:

x − sn+1 x − sn .

Теорема 1 означает, что сумма Фурье sn элемента x является его наилучшим приближением в пространстве L(e1, ..., en), т. е. в линейной оболочке элементов e1, ..., en.

Геометрический смысл теоремы 1 состоит в том, что перпендикуляр x − sn к подпространству L(e1, ..., en), проходящий через точку x L(e1, ..., en), имеет минимальную длину (норму) по сравнению с длинами всех векторов, соединяющих точки σn L(e1, ..., en) с точкой x (см. рис. 73).