Краткий курс математического анализа. Том 2

410 Краткий очерк развития математического анализа

шиеся, как это было отмечено выше, еще у античных математиков), но и более сложные сходящиеся бесконечные ряды. Тем самым были сделаны первые принципиальные шаги по изучению бесконечных сумм — числовых рядов.

Н. Оресм вплотную подошел к понятию переменной величины, которую он характеризовал кинематически. У него появилось понятие мгновенной скорости и мгновенного ускорения. Им, в частности, было установленно, что путь, пройденный телом при равноускоренном движении, равен пути, пройденному телом при равномерном движении со скоростью, равной среднеарифметическому значению начальной и конечной мгновенных скоростей.

Шотландский математик Дж. Непер (1550–1617) открыл новую функциональную зависимость — логарифмическую — и составил первые логарифмические таблицы тригонометрических функций. Он жил в жестокий век в нищей стране, опустошаемой релгиозными войнами и междоусобицами феодалов. Непера окружали невежественные и суеверные подданные, считавшие его слугой дьявола.

Вэпоху Возрождения искусство, литература и наука стали бурно развиваться, пробудился интерес к античной культуре, многие достижения которой в дальнейшем были безвозвратно утерены и забыты. Далеко не сразу были найдены и сохранившиеся научные сочинения древних ученых, так что, в частности, математикам не редко приходилось заново переоткрывать то, что уже было известно в древние времена.

Поскольку Италия была центром Возрождения, то неудивительно, что именно в трудах итальянских математиков этой эпохи (Р. Бомбелли (1530–1572), Г. Галилея (1564–1642), Б. Кавальери (1598–1647),

Э.Торичелли (1608–1647) и др.) был достигнут значительный прогресс в развитии математики. Но, конечно, в это время работало много выдающихся математиков не только в Италии; достаточно назвать немецкого астронома и математика И. Кеплера (1571–1830), французских математиков Р. Декарта (1596–1650), П. Ферма (1601–1665), Ж. Роберваля (1602–1675), Б. Паскаля (1623–1662), английских — Дж. Валлиса (1616–1703), И. Барроу (1630–1677) и голландского ученого Х. Гюйгенса (1629–1695).

ВXVI веке у итальянских математиков при решении алгебраических уравнений появились комплексные числа. В «Алгебре» Бомбелли в 1579 г. было дано описание правил действий с ними (но только в 1799 г. немецкий математик К. Гаусс (1777–1855) дал их геометрическую интерпретацию на плоскости).

У Галилея при изучении закона падения тел в пустоте более отчетливо, чем у Оресма, проявляются инфинитезимальные рассуждения, однако задуманное им сочинение о неделимых так и не было написано.

И. Кеплер широко использовал в своих исследованиях инфинитезимальный метод, не утруждая себя его логической правомерностью.

Он рассматривал круг как объединение бесконечного множества треугольников с общей вершиной в центре круга и бесконечно малыми основаниями, шар — как объединение бесконечного множества пирамид с общей вершиной в центре шара. Он вообще представлял себе тела как объединение бесконечного множества «туник» — неделимых поверхностей. Используя такой подход, он в своем сочинении «Стереометрия винных бочек» вычислил объемы тел вращения, получающихся при вращении кривых второго порядка вокруг прямой, лежащей с ними в одной плоскости. Важно заметить, что таким же образом Кеплер вывел свой второй закон движения планет вокруг Солнца: время прохождения планетой участка ее орбиты пропорционально площади эллиптического сектора, образованного радиусами с началом в фокусе эллипса, в котором находится Солнце, и концами в начальной и конечной точках пути, пройденного планетой.

Существенную роль для развитии математики сыграла предложенная французским математиком Ф. Виетом (1540–1603) символика,

вкоторой употреблялись заглавные буквы латинского алфавита для обозначения входящих в уравнение параметров.

Р.Декарт упростил эту символику и придал ей практически современный вид. Все это позволило заменить словесные рассуждения преобразованием формул, что существенно упростило изложение математических текстов.

С именем Декарта связано также создание аналитической геометрии: он открыл и разработал аналитический метод координат изучения геометрических объектов. Кроме того, Декарт ввел в математику одно из основных понятий — понятие переменной величины, изучал уравнения алгебраических кривых, главным образом второго порядка.

Одновременно с Декартом и независимо от него к построению аналитической геометрии пришел П. Ферма. Однако его рукопись осталась мало известной и поэтому не оказала существенного влияния на дальнейшее развитие математики.

Интересно отметить, что Декарт на интуитивном уровне представлял себе касательную как секущую, проходящую через две бесконечно близкие точки кривой. Однако он считал, что в точках перегиба кривой касательной нет. Это является хорошим примером того, что отсутствие четкого математического определения может привести к неверным выводам. Ферма же понимал, что касательная (у гладких кривых) существует и в точках перегиба. Более того, он указал способ нахождения точек перегиба как точек, в которых угол, образованный касательной с осью абсцисс, достигает экстремума.

Вскоре после выхода в свет сочинения Р. Декарта «Геометрия»,

вкотором был изложен координатный метод, Ферма послал ее автору свое небольшое сочинение «Метод отыскания максимумов и минимумов». В нем был впервые изложен аналитический метод нахождения

412 Краткий очерк развития математического анализа

экстремумов функций (раньше задачи на экстремум решались геометрическим путем). Ферма фактически владел понятием производной для алгебраических многочленов и степенной функции с дробным показателем. После соответствующей доработки метод Ферма нахождения экстремумов вошел в дифференциальное исчисление. Поэтому вполне справедливо, что необходимое условие экстремума для дифференцируемой функции — равенство нулю ее производной — носит имя Ферма.

П. Ферма рассматривал также случаи, когда функции задавались неявно алгебраическими уравнениями (т. е. равенством нулю алгебраического многочлена от двух переменных), а также некоторые случаи иррациональных функций с помощью преобразования их в рациональные.

Существенное развитие метода неделимых после Кеплера было осуществлено Б. Кавальери. Свои исследования он изложил в сочинении «Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного». Он рассматривал линию как результат движения точки, плоскость — как результат движения линии, пространство — как результат движения плоскости. Первоначально, чтобы получить площадь фигуры, он складывал длины ее параллельных сечений, но когда Э. Торичелли указал ему, что таким образом можно доказать, что любой треугольник делится высотой на два равновеликих по площади треугольника, Кавальери заменил отрезки сечений «нитями», т. е. фигурами весьма малой ширины, и сформулировал свое кредо следующим образом: «Независимо от того, состоит непрерывное из неделимых или не состоит, совокупности неделимых сравнимы между собой и величины их стоят в определеннoм отношении друг к другу». С помощью своих методов Кавальери доказал, что если площади плоских сечений на одинаковом уровне двух тел одинаковой высоты

равны, то равны и объемы тел. Это утверждение стало называться

принципом Кавальери.

Дальнейшее развитие метод неделимых получил в работах Э. Торичелли, Ж. Роберваля и Дж. Валлиса. Торичелли, например, вычислил объем неограниченного тела вращения, образованного вращением гиперболы (неограниченные плоские фигуры конечной площади встречались еще у Оресма), Роберваль нашел, в частности, величину площади одной арки циклоиды, т. е. кривой, описываемой точкой окружности, катящейся по прямой, а Валлис арифметизировал метод неделимых, благодаря чему ему удалось вычислить площади фигур, описываемые с помощью графиков некоторых иррациональных функций как с положительными, так и отрицательными рациональными показателями.

Существенное продвижение в изучении свойств циклоиды принадлежит Гюйгенсу. Он доказал, что материальная точка, свободно скользящая по дуге циклоиды, обращенной выпуклостью вниз

и имеющей вертикальную ось симметрии, имеет постоянный период колебания. Гюйгенс показал также, что нормали к циклоиде касаются другой циклоиды, конгруэнтной первой, и получающейся из нее параллельным переносом. Поэтому нерастяжимая гибкая нить, намотанная на вторую циклоиду и закрепленная в конце ее дуги, при разматывании в натянутом состоянии описывает первую циклоиду. На этом свойстве циклоиды основано устройство циклоидального маятника.

Таким образом, Гюйгенс пришел к понятию развертывающих кривых (они впоследствии стали называться эвольвентами), которые

получаются путем развертывания данных кривых (их назвали эволютами), к понятиям центра и радиуса кривизны кривой и построил довольно общую их теорию. Он показал, что центр кривизны, рассматриваемый как точка пересечения бесконечно близких нормалей, лежит на эволюте, и, таким образом, эволюта является геометрическим местом центров кривизны.

В ХVII веке для вычисления площадей и объемов наряду с методом неделимых свое дальнейшее развитие получил и перспективный

метод, который с современной точки зрения естественно назвать методом интегральных сумм. Его сущность состоит в аппроксимации

фигyp и тел, у которых ищется иx площадь или обьем, более простыми фигурами (соответственно телами). Более простыми в том смысле, что величина их площади или объема уже известна. Истоки этого метода, как мы видели, восходят еще к античному периоду развития математики. Однако в рассматриваемый период в развитии и совершенствовании этого метода был достигнут существенный прогресс.

Развитие метода интегральных сумм связано прежде всего с именами Ферма и Паскаля. Так, Ферма для нахождения площадей фигур, ограниченных частями парабол y = xp/q или гипербол y = x−p/q, p, q N, и прямолинейными отрезками, аппроксимировал эти фигуры ступенчатыми фигурами, составленными из бесконечного числа прямоугольников, вертикальными сторонами которых являются ординаты кривых в точках, абсциссы которых образуют геометрическую прогрессию. Подобными приемами Ферма удалось вычислить

площадь между кривой y = 1 2 , называемой версьерой, и ее асимп-

1 + x

тотой, а также площадь декартова листа, описываемого уравнением x3 + y3 − xy = 0.

Б. Паскаль известен в математике благодаря своим блестящим работам по геометрии, алгебре, теории чисел и теории вероятностей. Он впервые точно сформулировал и применил для доказательств теорем метод математической индукции. Его вклад в создание математического анализа состоял в разработке интегральных методов в геометрической форме, которые он применял для вычисления объемов тел, площадей плоских фигур и поверхностей. Он понимал пра-

414 Краткий очерк развития математического анализа

вомерность замены в рассматриваемых вопросах бесконечно малых величин им эквивалентными (в современной терминологии). Паскаль систематически применял в своих исследованиях бесконечно малый характеристический треугольник, образованный дифференциалами абсциссы, ординаты точки кривой и дифференциалом длины ее дуги. С помощью развитых им методов Паскаль вычислил величины площадей криволинейных трапеций для синусов, косинусов и их степеней.

Конечно, наряду с упомянутыми учеными большую роль в создании базы, на основе которой стало возможно открытие и бурное развитие дифференциального и интегрального исчислений, сыграли многие другие математики, имена которых даже перечислить здесь не представляется возможным.

Методы решения задач на проведение касательных, с одной стороны, и методы вычисления площадей фигур и объемов тел — с другой, первоначально развивались независимо друг от друга. Общим для них было лишь использование в обоих случаях инфинитезимальных идей. Поворотным моментом для создания дифференциального и интегрального исчислений явилось осознание того, что как те, так и другие задачи тесно связаны между собой, более того, они в определенном смысле являются обратными друг к другу.

Суть этой связи состоит в следующем. Во-первых, задача постро-

нат, a x b, то задача нахождения площади S(x) равносильна вычислению интеграла

x

f (t) dt = S(x).

a

Приращение S(x) площади S(x), соответствующее приращению x аргумента x, a x + x b, т. е.

S(x) = S(x + x) − S(x)

равно площади криволинейной трапеции DCEF. Эта площадь с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем x, равна площади f (x)Δx прямоугольника DCGF , поэтому

В тот период, когда еще четко не оформились понятия производной и интеграла, связь между операциями дифференцирования и интегрирования формулировалась в виде, далеком от современного (Э. Торичелли, Дж. Грегори (1638–1675), И. Барроу). Наиболее полно эта связь описана в сочинениях английского богослова и математика И. Барроу, в которых он приводит как кинематическое, так и геометрическое ее обоснование.

Введение основных понятий дифференциального и интегрального исчислений — производной и интеграла, открытие основных связывающих их закономерностей и создание на основе этого нового метода математических исследований принадлежат английскому механику, физику, математику и теологу И. Ньютону (1643–1727) и немецкому философу, физику, математику, историку, дипломату Г. Лейбницу (1646–1716). Полное понимание связи дифференцирования и интегрирования стало прозрачно ясным лишь после того, как Ньютон и Лейбниц дали аналитические определения производной и интеграла. Именно Ньютон и Лейбниц разработали новый метод решения задач, основанный на понятиях производной и интеграла, осознали его принципиальную важность и решили с его помощью много как чисто математических, так и прикладных задач, прежде всего задач механики.

Поэтому они по праву считаются создателями дифференциального и интегрального исчислений, или, как говорят, анализа бесконечно малых.

Свои открытия Ньютон и Лейбниц сделали независимо друг от друга и почти одновременно. Оба они создали законченные теории и разработали алгоритмы для ее применения. Однако подходы к ним у них были разными.

Для Ньютона основными понятиями являлись понятие исходной непрерывной переменной величины «флюенты», представляющей собой абстракцию различных видов механического движения, и ее «флюксии» — скорости ее изменения (производной — в нашей терминологии). Общим аргументом флюент у Ньютона являлось время —

416 Краткий очерк развития математического анализа

некоторая отвлеченная равномерно текущая переменная. Он рассматривал прямую задачу отыскания флюксий по заданным соотношениям между флюентами (т. е. задачу дифференцирования сложных функций) и обратную задачу отыскания флюент по заданным соотношениям между флюксиями (т. е. задачу интегрирования дифференциальных уравнений). Таким образом, задача отыскания флюенты (первообразной) по заданной флюксии (производной) являлась частным случаем интегрирования дифференциального уравнения

dxdy = f (x).

Большую роль в этих исследованиях Ньютона играли не только механические, но также и геометрические и аналитические методы. Ему принадлежат и глубокие исследования по теории бесконечных рядов, алгебре и теории интерполяции функций. Для него основным методом решения дифференциальных уравнений был метод разложения функций в степенные и дробно-степенные ряды, потому что под флюентой он фактически понимал переменную величину, представимую степенным или дробно-степенным рядом. Он не ставил вопроса о сходимости получающихся у него рядов (тогда еще не было четко сформулированного понятия предела, хотя сам термин уже употреблялся), но все ряды, которые он рассматривал, были сходящимися. Он открыл ряды, получившие впоследствии имя его ученика Б. Тейлора (1685–1731), и нашел разложения в степенные ряды всех основных элементарных функций. Не случайно одно из его сочинений носит название «Метод флюксий и бесконечных рядов». Развитое Ньютоном новое исчисление он с большим успехом применил к решению многих математических и физических задач, не поддававшихся решению известными ранее методами.

Научная деятельность Ньютона была очень разнообразной. Он занимался оптикой, создал первый в мире зеркальный телескоп — рефлектор, развил новую теорию света и цветов, создал единую и стройную систему земной и небесной механики на основе открытого им закона всемирного тяготения и трех законов механики, носящих ныне его имя. Мнoгo занимался Ньютон алхимией и теологией. Не все было гладко в его жизни. Ему приходилось отстаивать приоритет ряда своих научных открытий. Например, Р. Гук (1635–1703) выступил с притензиями на приоритет в теории света, изложенной Ньютоном на заседании Лондонского королевского общества, и в открытии закона всемирного тяготения. Отношения между ними обострились до такой степени, что, став в 1703 г. президентом Лондонского королевского общества, Ньютон после смерти Гука приказал уничтожить все его портреты. Это было выполнено столь добросовестно, что до нас не дошло ни одного подлинного портрета Гука. Свой метод флюксий и флюент Ньютон опубликовал не сразу после его создания, а лишь

418 Краткий очерк развития математического анализа

где

носящей по праву название формула Ньютона–Лейбница. С точки

зрения теории Ньютона эта формула является просто определением

b

интеграла f (x) dx (он исходил из того, что интеграл равен пути,

a

пройденному телом при заданной его скорости), а то, что этот интеграл представляет собой предел интегральных сумм, требует доказательства. С точки же зрения теории Лейбница этот интеграл уже по определению является указанным пределом, а нуждается в доказательстве сама формула ( ).

После открытий Ньютона и Лейбница началось бурное развитие дифференциального и интегрального исчислений и их приложений. В XVIII веке оно связано прежде всего с именами швейцарских математиков Л. Эйлера (1707–1783) и представителей трех поколений семейства Бернулли [братьев Якоба (1654–1705) и Иоганна (1667–1748), их племянника Николая (1687–1759), сыновей Иоганна Николая (1695–1726) и Даниила (1700–1782), внуков Иоганна Иоганна младшего (1744–1807) и Якоба младшего (1759–1789)], французских математиков Ж. Даламбера (1717–1783), А. Клеро (1713–1765), Ж. Лагранжа (1736–1813), П. Лапласа (1749–1817), английского математика Б. Тейлора и шотландского математика К. Маклорена (1698–1746).

Братья Якоб и Иоганн Бернулли успешно применили методы дифференциального и интегрального исчислений к решению многих проблем геометрии, механики и физики. Вместе с Эйлером, Лейбницем и Лагранжем они заложили основы вариационного исчисления. Лагранжем, в частности, в 1797 г. был предложен метод множителей для решения задач на относительный экстремум функции и функционалов. Ныне этот метод носит его имя. Якоб и Даниил Бернулли получили основополагающие результаты по теории вероятностей. Иоганн, Даниил и Иоганн младший были иностранными почетными членами, а племянник Якоба и Иоганна Николай и Якоб младший Бернулли — действительными членами Санкт-Петербургской академии наук.

Эйлер оставил огромное научное наследство. Он значительно расширил рамки математического анализа, рассматривая функции комплексного аргумента, выяснил некоторые основные свойства этих функций, вывел так называемое теперь уравнение Эйлера–Далам- бера (его называют также уравнением Коши–Римана), являющееся критерием аналитичности функции комплексного переменного, исследовал свойства основных элементарных функций в комплексной области, в частности, вывел формулы, связывающие тригонометрические функции (он ввел для них обозначения, которые употребляются