Краткий курс математического анализа. Том 2

420 Краткий очерк развития математического анализа

лежащими через одну на гипотенузе заданного прямоугольного треугольника (рис. 80). При неограниченном измельчении звеньев этой ломаной она неограниченно приближается к гипотенузе, и могло бы показаться, что ее длина должна стремить- ся к длине гипотенузы. Однако это не так:

длина ломаных, очевидно, все время оста-

ется равной сумме длин катетов, и поэтому

предел их длин также равен сумме длин

катетов, а поэтому он строго больше длины гипотенузы.

Предлагались разные теории для обоснований действий с бесконечно малыми, например, теория компенсации ошибок, которая, однако, сама требовала

обоснования. Лишь в XIX веке методы математического анализа получили логическое обоснование на основе четкого определения предела функции. Это было проделано прежде всего в работах французского математика О. Коши (1789–1857), чешского Б. Больцано (1781–1848)

инемецких Л. Дирихле (1805–1859), К. Вейерштрасса (1815–1897)

иБ. Римана (1826–1866). После их работ математический анализ освободился от внутренних противоречий (во всяком случае, от замеченных в то время), он стал доступен значительно большему кругу исследователей и начал быстро развиваться.

Первое корректное определение предела последовательности было дано Больцано в 1817 г. и Коши в 1821 г. Коши получил критерий сходимости последовательности (который носит теперь его имя), основанный на принципе вложенных отрезков, который он считал очевидным. Коши и Больцано дали также определения предела функции, ввели понятие непрерывных функций и доказали ряд их основных свойств, в частности, теорему о промежуточных значениях. К сожалению, большая часть математических результатов Больцано не была опубликована при его жизни, а те результаты, которые были опубликованы, прошли незамеченными многими математиками того времени. По-настоящему его работы стали известны лишь в нашем веке. Например, первый пример непрерывной на всей числовой оси функции, не имеющей во всех точках конечной производной, впервые был указан Больцано в 1830 г., а опубликован он был лишь столетие спустя, в 1930 г. Поэтому более известным является подобный пример, построенный независимо Вейерштрассом в 1860 г. и опубликованный им в 1872 г.

Несмотря на четкое определение предела функции, данное Больцано и Коши, и после этого далеко не все обстояло благополучно с его применением. Например, не аккуратно применяя свое определение предела, Коши пришел к неверному утверждению, что сумма сходящегося ряда непрерывных функций является непрерывной функцией.

Весьма важное понятие равномерной сходимости последовательности функций появилось лишь в середине XIX века сначала в работе английского математика и физика Дж. Стокса (1819–1903) и немецкого математика Л. Зейделя (1821–1896), а затем и у Коши в 1853 г.

Даже понятие функции, воспринимавшейся как зависимая переменная величина, долго не имело строгого логического определения

иинтуитивно, как всякое изменение чего-то, связывалось с представлением о пространстве и времени.

Большую роль для выяснения того, что представляет собой понятие функции, сыграл спор по этому вопросу между Эйлером, Д’Аламбером и Даниилом Бернулли о природе решения дифференциального уравнения колебания струны. Эйлер считал, что функция — это произвольно начерченная кривая, Д’Аламбер — что аналитическое выражение, Д. Бернули же получил решение в виде тригонометрического ряда и высказал мысль о том, что любая периодическая функция (в то время под функциями интуитивно понималась непрерывная функция) раскладывается в тригонометрический ряд, правда, он еще не имел формул для коэффициентов этого ряда. Д’Аламбер сомневался в справедливости этого и использовал в своих работах только степенные ряды.

В1805 г. французский математик Фурье (1768–1830) снова высказал утверждение Д. Бернулли о возможности разложения периодической функции в тригонометрический ряд и указал формулы для коэффициентов этого ряда, получившие его имя (эти формулы были известны еще Эйлеру). Несколько позже Фурье ввел представление функций с помощью интеграла, также получившего его имя. Лишь в 1829 г. французский математик Дирихле (1805–1859) впервые доказал сходимость ряда Фурье для кусочно-монотонных непрерывных функций.

Теорему об ограниченности непрерывных на отрезке функций

идостижимости ими экстремальных значений получил Вейерштрасс около 1860 г. Немецкий математик Гейне (1821–1881) в 1870 г. сформулировал понятие равномерной непрерывности функции и доказал равномерную непрерывность функции, непрерывной на отрезке.

Современная теория действительных чисел ведет свое начало от работ Гаусса, Больцано, Коши и окончательно оформилась в работах немецких математиков Дедекинда (1831–1916), Вейерштрасса и Кантора (1845–1918). Аксиомы действительных чисел были впервые сформулированы Дедекиндом в 1888 г. и итальянским математиком Пеано (1858–1932) в 1891 г.

Одним из источников современной алгебры явились работы Абеля (1802–1829) и Галуа (1811–1832) по теории алгебраических уравнений.

В1823 г. Коши дал корректное определение определенного интеграла для непрерывных функций с помощью предела интегральных сумм. Подобные определения интегралов для более широких,

422 Краткий очерк развития математического анализа

чем непрерывные, классов функций дали Риман в 1853 г., а затем французские математики Дарбу (1842–1917) в 1879 г. и Жордан (1838–1922) в 1892 г. Новые идеи в понятие интеграла вложили нидерландский математик Стилтьес (1856–1894), французские математики Борель (1871–1956), Лебег (1875–1941), Данжуа (1884–1974) и др.

Общее определение числовой функции как произвольного однозначного соответствия было по существу сформулировано еще Л. Эйлером. Эти определения, данные в терминах зависимых переменных величин, отделили общее понятие функции от все расширяющегося

всвязи с развитием математики понятия аналитического выражения. Правда, в дальнейшем для действительных функций действительного аргумента в определенном смысле точки зрения на функцию как на соответствие и как на аналитическое выражение оказались равносильными: в 1940 г. Д. Е. Меньшов (1892–1988) доказал, что всякую измеримую почти всюду конечную функцию можно представить сходящимся к ней почти всюду тригонометрическим рядом. Ранее существенные результаты по вопросу представимости функций тригонометрическими рядами получили Риман, Вейерштрасс, Лебег, Н. Н. Лузин (1883–1950), А. Н. Колмогоров (1903–1987) и др.

Первое корректное доказательство существования интеграла от непрерывной функции было дано Дарбу (ранее предложенное Коши доказательство было некорректным, так как в то время у Коши не было еще понятия равномерной непрерывности). Различные необходимые и достаточные условия интегрируемости разрывной функции были даны немецкими математиками Риманом и Дюбуа–Реймоном (1831–1889), а затем французским математиком Лебегом.

Многие конкретные несобственные интегралы были вычислены математиками еще в XVIII веке, но только Коши в 1821 г. дал строгое определение сходимости несобственных интегралов и указал общие методы их вычислений. Абсолютно сходящиеся интегралы ввел Дирихле в 1854 г., а равномерно сходящиеся — бельгийский математик Валле Пуссен (1866–1962) в 1892 г., понятие равномерной сходимости появилось в работах английского физика и математика Стокса (1819–1903) и немецкого математика Зейделя (1821–1896)

в1847–1848 гг., а затем у Коши в 1853 г.

Двойной интеграл впервые появился еще у Эйлера в 1770 г., он дал и способ его вычисления путем сведения к повторному. Лагранж рассматривал уже не только двойные, но и тройные интегралы. Правило замены переменного в двойных и тройных интегралах было получено М. В. Остроградским (1801–1861) в 1836 г., а для интеграла любой кратности — немецким математиком Якоби (1804–1851) в 1841 г. При замене переменных в кратном интеграле Якоби впервые ввел функциональные определители, получившие впоследствии его имя.

Формула Грина была получена Эйлером в 1771–1772 гг., а затем независимо английским математиком Грином (1793–1841) в 1828 г.

Формула Гаусса–Остроградского была получена Гауссом в 1813 г. для одного частного случая, когда в тройном интеграле, входящем в эту формулу, подынтегральная функция равна 1, а в общем случае — М. В. Остроградским в 1828–1834 гг. для функций любого числа переменных. Формулу Стокса впервые получил в 1849 г. английский физик и математик Томсон (1824–1907), а Стокс впервые включил ее в программу студенческих экзаменов. Многомерное обобщение формулы Стокса было получено в 1889 г. французским математиком Пуанкаре (1854–1912), а в современном виде — в 1899 г. французским математиком Картаном (1869–1951) в терминах созданной им теории внешних дифференциальных форм.

Современная теория аналитических функций комплексного переменного ведет свое начало от работ Коши, который начал систематически развивать эту теорию (ему принадлежат интегральные пред-

ставления аналитических функций, теория вычетов и т. п.). Термин аналитическая функция был предложен Лагранжем.

Втеории функций комплексного переменного большую роль играет теория эллиптических функций, разработанная Эйлером, Абелем, Вейерштрассом и французским математиком Эрмитом (1822–1901).

Втеорию рядов фундаментальный вклад внесли работы Абеля, Фурье, Дирихле, Харди (1877–1947), Г. Вейля (1885–1955).

Много сделал Коши и в теории дифференциальных уравнений (основные теоремы существования решений, методы интегрирования уравнений, постановка так называемой задачи Коши и т. д.). Его исследования по дифференциальным уравнениям получили развитие

вработах ученицы Вейерштрасса С. В. Ковалевской (1850–1891) (теорема Коши–Ковалевской).

Большой вклад в математический анализ внес Гаусс, особенно

визучение рядов и эллиптических функций.

Некорректное использование расходящихся рядов часто приводило к ошибочным результатам, что, естественно, подрывало доверие к ним. В результате работ Коши по обоснованию анализа на основе четкого понятия предела расходящиеся ряды были надолго «изгнаны» из математики. Только в конце XIX — начале XX веков в работах итальянского математика Чезаро (1859–1906), русского математика Г. Ф. Вороного (1868–1908), немецкого математика Теплица (1881–1940) и др. была создана логически строгая теория расходящихся рядов и было найдено много ее полезных применений в различных вопросах математического анализа. Первый пример ряда Фурье непрерывной функции, расходящегося в некоторых точках, был построен в 1876 г. Дюбуа-Реймоном.

Многие методы современного математического анализа ведут свое начало от трудов Пуанкаре. Он ввел понятие асимптотического ряда, разработал асимптотические и качественные методы в теории дифференциальных уравнений, построил теорию автоморфных функций.

424 Краткий очерк развития математического анализа

Векторное исчисление появилось у ирландского математика и астронома Гамильтона (1805–1865), построившего теорию кватернионов. Абстрактное линейное пространство было введено в 1888 г. Пеано. Пространства непрерывных функций изучались итальянскими учеными Вольтерра (1860–1940), Асколи (1840–1896), Арцела (1847–1912), Дини (1845–1918), английскими математиками Харди (1877–1947), Литлвудом (1885–1977) и многими другими. Вольтерра и шведский математик Фредгольм (1866–1927) построили теорию линейных интегральных уравнений. Немецкие математики Гильберт (1862–1943) и Шмидт (1876–1959) в 1902–1907 гг. разработали спектральную теорию интегральных уравнений, а общая спектральная теория дифференциальных операторов ведет свое начало от работ Г. Вейля. Аксиоматическая теория гильбертовых пространств была построена американским математиком Стоуном (р. 1903) и немецким математиком фон Нейманом (1903–1957) в конце 20-х годов нашего столетия. Абстрактное определение линейных нормированных пространств появилось в начале 20-х годов в работах польского математика Банаха (1892–1945), австрийского математика Хана (1879–1934) и американского математика Винера (1894–1964). Понятие метрического пространства было введено в 1906 г. французским математиком Фреше (1878–1973).

Большое влияние на развитие математического анализа оказала теория чисел, ведущая свое начало от работ Евклида, Диофанта (III век) и получившая свое развитие в трудах Ферма, Эйлера, Гаусса, Дирихле, Чебышева (1821–1894), Харди, Литлвуда, Адамара (1865–1963), Виноградова (1891–1983) и многих других. Большой вклад в развитие методов математического анализа внесли русские математики. В теорию функций — П. Л. Чебышев (1821–1894), А. А. Марков (1856–1922), С. Н. Бернштейн (1880–1968), Д. Ф. Егоров (1869–1931), А. Н. Колмогоров (1903–1987), Н. Н. Лузин (1883–1950) и др. (Н. Н. Лузин вместе со своим учителем Д. Ф. Егоровым создал московскую школу теории функций). В теорию дифференциальных уравнений — А. М. Ляпунов (1857–1918), создавший теорию устойчивости решений, И. Г. Петровский (1901–1973), М. А. Лаврентьев (1900–1980), М. В. Келдыш (1911–1978). Качественно новым шагом в развитии вариационного исчисления явилась построенная

Л.С. Понтрягиным (1908–1988) теория оптимальных процессов. Большим достижением математики XX века явилось создание тео-

рии обобщенных функций. Впервые они появились в работах С. Л. Соболева (1908–1989), а их систематическая теория была развита в работах французского математика Шварца (р. 1915).

Конечно, далеко не всех математиков, работы которых имели существенное значение для развития математического анализа, возможно даже просто упомянуть в таком кратком очерке.

Интересно посмотреть на развитие математического анализа с точки зрения философских категорий. Как и математика вообще, математической анализ является наукой, изучающей определенного рода логические структуры, у которых описаны определенные соотношения между их элементами. Эти структуры, называемые математическими, представляют собой объективную реальность как элементы информационного поля и интересны как сами по себе, так и в связи с их применением для создания математических моделей, описывающих реально протекающие в мире процессы: механические, физические, биологические, экономические, социальные и др. Математика является абстрактной наукой. В этом состоит ее сила, универсализм и общность, а вместе с тем и трудность ее применения к изучению прикладных задач. Математический язык является языком, на котором описываются реальные явления и закономерности, которым они подчиняются, а математические методы — плодотворными методами их изучения. Можно сказать, что математика изучает космические законы, а эти законы вечны. Поэтому математические утверждения являются абсолютными и вечными истинами, не зависящими от физического состояния мира и нашего его восприятия. Так, за последние две тысячи лет наши представления об окружающем нас мире и об управляющих им закономерностях претерпели существенные изменения, а, например, теорема Пифагора осталась и останется всегда такой же, какой она была в Древней Греции.

«Ни тридцать лет, ни тридцать столетий не оказывают никакого влияния на ясность или красоту геометрических истин, — писал английский математик и писатель Л. Кэрролл (1832–1898). — Такая теорема, как “квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”, столь же ослепительно прекрасна сегодня, как и в тот день, когда Пифагор впервые открыл ее, отпраздновав, по преданию, свое открытие закланием сотни быков».

Иногда в математических понятиях усматриваются противоречия, которых на самом деле в них нет. Чтобы в этом убедиться, надо

исходить из точных определений и правильно разобраться в рассмат-

√

риваемом понятии. Например, в определении числа i = −1 при правильном понимании символа √−1 не существует никакого единства противоречий, о котором писали некоторые философы. Указанные противоречия, казалось бы, состоят в том, что, с одной стороны, число i — это квадратный корень, поэтому его квадрат равен подкоренному выражению, т. е. в данном случае отрицателен, а с другой стороны — квадрат всякого числа, не равного нулю, положителен. Это кажущееся противоречие получается в результате того, что к элементу i, не являющемуся действительным числом, было применено правило, установленное для действительных чисел, и не было никаких оснований предполагать, что оно должно быть верным при расширении множества действительных чисел до множества комплексных

426 Краткий очерк развития математического анализа

чисел. Отсутствие противоречия в равенстве i2 = −1 делается особенно наглядным, если ввести комплексные числа z как пары (x, y) действительных чисел x и y (геометрически, как двумерный вектор), т. е. положить z = (x, y), а операцию произведения комплексных чисел z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2) определить равенством

z1z2 = (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2).

При таком определении комплексных чисел числом i называется

пара (0, 1). Ясно, что никакого единства противоречий в равенстве i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 нет.

Да и по существу никакого противоречия не может быть в том, что некоторым свойством, присущим элементам данного множества (в рассматриваемом случае — множества действительных чисел), не обладают элементы, дополнительно присоединенные к исходному множеству (существенно комплексные числа).

Иногда в математических понятиях усматривается переход количества в качество, которого они на самом деле не содержат. В качестве примера перехода количества в качество часто указывается понятие определенного интеграла. Именно, если на некотором отрезке [a, b] задана ограниченная действительная функция f , то при определении

b

интеграла f (x) dx по Риману отрезок дробится на все более и более

a

мелкие отрезки. Для получающихся разбиений отрезка [a, b] составляются интегральные суммы, все слагаемые которых в процессе указанного дробления делаются исчезающе малыми. Однако в силу того, что число слагаемых неограниченно увеличивается, соответствующие ин-

тегральные суммы могут неограниченно приближаться к некоторому числу. Если это имеет место, то указанное число называется интегралом Римана от заданной функции f по отрезку [a, b] и говорится, что

интеграл в результате количественных изменений бесконечно малых слагаемых интегральных сумм при указанном предельном переходе (играющем в данном случае роль диалектического процесса) является примером превращения сумм бесконечно малых в новое качество — интеграл.

Однако тот же интеграл можно определить и безо всякого предельного перехода. Например, как общее значение верхнего и нижнего интегралов (в случае их равенства), которые представляют собой соответственно нижнюю грань совокупности значений всех верхних сумм Дарбу и верхнюю грань совокупности значений всех нижних сумм Дарбу при всевозможных разбиениях отрезка [a, b], а не только при «достаточно малых». Эти совокупности значений сумм Дарбу являются вполне определенными фиксированными множествами оси действительных чисел, однозначно определяемыми заданной функцией, и они имеют вполне определенные верхние и нижние грани.

При таком определении интеграла отсутствует какой-либо «процесс», и поэтому говорить о каком-либо переходе количества в качество не представляется возможным. Считать же, что при одном определении интеграла он является результатом перехода количества в качество при некотором диалектическом процессе, а при другом определении не является таковым, конечно, нельзя. Да и первое определение интеграла при помощи предела интегральных сумм не является по своей сущности диалектическим процессом, так как таковым не является предельный переход. Это особенно хорошо видно, если рассматривать функции как соответствия множеств, в которых ничего не меняется, а понятие предела сформулировать в терминах окрестностей. В этом случае в «предельном переходе» нет никакого «движения» — переход к пределу оказывается «стационарным явлением».

Вместе с тем, законы диалектики хорошо видны при анализе исторического развития математики, т. е. не в содержании самих математических понятий (они представляют собой объективную реальность, являющуюся, как это отмечалось выше, абсолютной и вечной истиной, а поэтому не изменяются), а в процессе их осознания и последовательного описания. Проиллюстрируем это на понятии функции, играющем весьма важную роль в математике.

Понятие функции стало выкристаллизовываться после того, как Декарт ввел понятие переменной величины. Ньютон рассматривал переменные величины флюенты, зависящие от времени. Он всегда предполагал, что все они представляются сходящимися степенными

рядами, т. е. фактически понимал под функцией некоторое аналитическое выражение. Термин функция был впервые введен Лейбницем для

обозначения переменных величин, зависящих от других переменных. Первая попытка сформулировать четкое определение функции принадлежит Эйлеру: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых. Это наименование имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество может определяться с помощью других. Итак, если x обозначает постоянное количество, то все количества, которые как-либо зависят от x, т. е. определяются им, называются его функциями...» Интересно заметить, что из пояснения, сделанного Эйлером: «Все количества, которые как-либо зависят от x, т. е. определяются им ...», — следует, что он понимал, что функция — это просто соответствие между элементами числовых множеств.

Эта идея довольно четко отражена в определении понятия функции, сформулированном в учебнике Лакруа 1806 г.: «Для того чтобы выразить, что некоторое количество зависит от одного или нескольких других либо как некоторая операция, либо даже как связь, которую невозможно выразить алгебраически, но которая существует и определяется некоторыми условиями, говорят, что первое есть функция

428 Краткий очерк развития математического анализа

остальных». Кстати, этим учебником пользовался Н. И. Лобачевский при прохождении со студентами курса дифференциального и интегрального исчисления.

Большая часть математиков в XVIII–XIX веках связывала понятие функции с понятием переменной величины и, тем самым, с понятием времени и пространства, без которых немыслимо какое-либо изменение. Так, И. Бернулли формулировал определение функции следующим образом: «Функцией переменной величины ... называется количество, составленное каким угодно способом из переменной величины и постоянных». Как это уже было отмечено выше, в результате различия подходов к понятию функции Эйлера и Д’Аламбера при обсуждении решения волнового уравнения между ними возникла длительная полемика, так как Д’Аламбер считал, что решение уравнения должно задаваться аналитическим выражением. Полемика усложнилась, когда Д. Бернулли получил другую формулу, отличную от той, которая была у Д’Аламбера, для решения уравнения струны, а именно формулу в виде тригонометрического ряда.

Точка зрения на функцию как на объект, не обязательно задаваемый аналитическим выражением, а как на зависимость одной переменной величины от другой развивалась в работах Коши, Больцано, Фурье, Дирихле. В конце концов определение функции приняло следующий вид: переменная величина y является функцией переменной величины x, если при изменении переменной величины x перемен-

ная y меняется по определенному закону. Переменная y называется зависимой, а переменная x — независимой. На первый взгляд,

вприведенном определении нет явных неясностей, однако при более тщательном анализе нетрудно увидеть, что это определение требует дополнительных разъяснений. Дело в том, что термин «переменная»

винтуитивном смысле, как всякое изменение, связан с понятиями пространства и времени. На самом деле эти пространственные и временные представления не являются существенными в данном случае и, более того, лишними. Нуждаются в разъяснении и понятия «величина» и «закон», в чем на самом деле нет никакой необходимости.

Понятие функции можно описать, используя лишь понятия множества и соответствия. Определение функции как соответствия между элементами двух произвольных, не обязательно числовых множеств, было сформулировано в 1887 г. Дедекиндом. Пусть заданы два

множества (произвольной природы) X и Y. Если каждому элементу x X поставлен в соответствие один и только одни элемент y Y , обозначенный y = f (x), и если каждый элемент y Y оказывается

поставленным в соответствие хотя бы одному элементу x X, то это соответствие называется функцией y = f (x), определенной на множе-

стве X и имеющей множество Y множеством своих значений.

В этом описании функции нет понятия переменных величин и, следовательно, нет никакого «движения»: оно является описанием

«стационарного явления» — определенного соответствия между элементами заданных множеств.

Таким образом, при изучении понятия функции был проделан длинный путь от зависимых переменных величин, от понятия движения и от аналитических выражений через отрицание движения к стационарному понятию соответствия между элементами множеств. Интересно отметить еще раз, что согласно вышеупомянутой теореме Д. Е. Меньшова для числовых функций весьма широкого класса точка зрения на функцию как на соответствие равносильна в определенном смысле заданию функции аналитическим выражением (тригонометрическим рядом, т. е. с помощью только основных тригонометрических функций и предельного перехода). Таким образом, в результате постепенного процесса познания понятия функции мы пришли к первоначальной точке зрения на функцию как на объект, задаваемый аналитическим выражением, но на более высокой ступени наших знаний, т. е. вкладывая в это понятие гораздо более глубокое и точное содержание, чем раньше.

При описании функции как определенного соответствия возникает, конечно, вопрос: что такое соответствие? Понятие соответствия можно свести к более простым понятиям элемента и множества. Однако следует заметить, что уже в самих этих понятиях неявно присутствует понятие соответствия: для того чтобы можно было установить, принадлежит некоторый элемент к данному множеству или нет, надо, чтобы каждому элементу рассматриваемого множества было поставлено в соответствие какое-то свойство, по которому можно было бы судить о принадлежности элемента к этому множеству. В этом смысле понятие соответствия является первичным понятием. Эту мысль хорошо выразил американский математик Чёрч: «В конечном итоге понятие функции или какое-либо сходное понятие, например, понятие класса, приходится считать первоначальным, или неопределимым».