Краткий курс математического анализа. Том 2

400 Гл. 6. Гармонический анализ

Аналогично доказывается, что и обратное отображение F −1 отображает пространство S на себя.

В заключение покажем, что преобразование Фурье F непрерывно на S. Сначала докажем, что отображение F непрерывно в нуле, т. е.

(в силу линейности F имеет место F (0) = 0, ибо F (0) = F (0 · 0) = 0 ×· × F (0) = 0).

Из неравенства (55.26) для любых неотрицательных целых k и m

Из условия (55.29) явствует согласно определению (55.21), что

lim cn = 0.

n→∞

Поэтому из (55.31) следует, что

lim sup |ym(F ϕn)(k)(y)| = 0,

т. е. для любых неотрицательных целых k и m имеет место

ym(F ϕn)(k)(y)| 0,

R

а это, согласно тому же определению (55.21), означает, что в прост-

ранстве S lim F ϕn = 0.

n→∞

Если теперь

Выполнение условий (55.33), (55.34) и означает непрерывность F на S.

Аналогично доказывается и непрерывность F −1 на S.

Отметим, что в отличие от пространства S пространство D не обладает свойством инвариантности относительно преобразования Фурье F : существуют такие функции ϕ D, что F ϕ D. Этим обстоятельством и объясняется, что при изучении преобразования Фурье мы в качестве основного пространства функций взяли пространство S, а не D.

55.4. Преобразование Фурье обобщенных функций.

О п р е д е л е н и е 6. Всякий линейный непрерывный функционал, определенный на пространстве S, называется обобщенной функцией

(на S).

Множество всех таких обобщенных функций обозначается S . Пространство S является в этом случае пространством основных функций. По аналогии со случаем пространства D и D значение обобщенной функции f S на функции ϕ S обозначается (f , ϕ).

Последовательность обобщенных функций fn S , n = 1, 2, ..., называется сходящейся к обобщенной функции f S , если для любой

основной функции ϕ S справедливо равенство

П р и м е р 1. Функция Дирака, т. е. δ-функция, определяется в случае основного пространства S по аналогии со случаем основного пространства D:

, def 0 ,

(δ ϕ) = ϕ( ) ϕ S.

Как и в случае, пространства обобщенных функций D вместо

обозначения (f , ϕ) для пространства S употребляется иногда обозна-

+∞

чение f (x)ϕ(x) dx, f S , ϕ S. В этой записи при f = δ получим

−∞

+∞

δ(x)ϕ(x) dx = (δ, ϕ) = ϕ(0),

−∞

в частности при ϕ(x) ≡ 1 имеем

+∞

δ(x) dx = 1.

−∞

П р и м е р 2. Всякая локально абсолютно интегрируемая функция f , для которой существует окрестность бесконечности U (∞) и числа k 0 и A > 0 такие, что для любой точки x U (∞) справедлива оценка

402 Гл. 6. Гармонический анализ

порождает обобщенную функцию f согласно формуле

−∞

Этот интеграл сходится, ибо функция f (x)ϕ(x) стремится к нулю в силу (55.20) и (55.36) быстрее любой степени x−1 при x → ∞.

Функции f (x), удовлетворяющие условию (55.36), называются функциями медленного роста (на бесконечности); к ним относятся, на-

пример, все многочлены. Поэтому и пространство S также называют пространством обобщенных функций медленного роста. Поскольку D S, то S D (в том смысле, что всякую обобщенную функцию из S можно рассматривать и как обобщенную функцию из D , понимая под этим ее сужение на множестве D S), т. е. обобщенные функции медленного роста составляют подмножество множества обобщенных функций D .

П р и м е р 3. Всякая абсолютно интегрируемая на числовой оси R функция f также порождает обобщенную функцию f S согласно той же формуле (55.37). Это вытекает из того, что любая функция ϕ S ограничена (см. (55.22)): |ϕ(x)| c0,0. Поэтому |f (x)ϕ(x)|

Линейность и непрерывность функционала, определяемого формулой (55.37) на пространстве S, в рассмотренных случаях легко проверяется.

Для обобщенной функции f S ее производная определяется

О п р е д е л е н и е 7. Для обобщенной функции f S ее преобразованием Фурье F f и обратным преобразованием Фурье F −1f назы-

ваются функционалы на S, определяемые соответственно формулами

Эти определения имеют смысл, так как если ϕ S, то согласно теореме 2 F ϕ S и F −1ϕ S.

Эта теорема является прямым следствием теоремы 2 об отображении пространства S с помощью прямого и обратного преобразований Фурье линейно, непрерывно и взаимно однозначно на себя, так как доказательство соответствующих свойств преобразования Фурье обобщенных функций сводится с помощью формул (55.38) и (55.39) к аналогичным свойствам преобразования Фурье основных функций. Убедимся в этом.

Прежде всего, если f S , то F f является линейным функционалом на S : если ϕ1 S, ϕ2 S, λ1 C, λ2 C, то

Таким образом, преобразование Фурье обобщенной функции из пространства S является снова обобщенной функцией из этого пространства:

Покажем теперь, что для любой функции f S имеют место

Из соотношений (55.42) сразу следует взаимно однозначность (инъективность) отображений F и F −1. Например, если f1 S , f2 S и F f1 = F f2, то, применив к обеим частям этого равенства преобразование F −1, в силу (55.42) получим f1 = f2.

Из соотношений (55.42) следует также, что преобразование Фурье F отображает пространство S не только в S , но и на S

(т. е. F — биекция). Действительно, если ψ S , то для элемента

def −1

ϕ = F ψ будем иметь

F ϕ = F (F −1ψ) = ψ,

(55.42)

т. е. в любой элемент ψ пространства S при отображении F отображается некоторый элемент ϕ из S .

Наконец, покажем, что отображение F непрерывно на S : если

lim fn = f в S (см. (55.35)), то

n→∞

т. е. lim F fn = F f в S , а это и означает непрерывность преобразо-

n→∞

вания Фурье на S .

Аналогично теореме 3 доказывается, что и обратное преобразование Фурье также отображает линейно, непрерывно и взаимно однозначно пространство обобщенных функций S на себя.

КРАТКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Математический анализ в широком смысле этого слова состоит из дифференциального и интегрального исчислений функций действительной и комплексной переменной, теории рядов, теории дифференциальных (обыкновенных и с частными производными) и интегральных уравнений, а также вариационного исчисления. Основой математического анализа являются дифференциальное и интегральное исчисления, в которых изучаются числовые функции с помощью понятий производной и интеграла. Эти понятия вводятся при помощи предельного перехода, который предполагает представление о бесконечности.

Отдельные идеи и методы, получившие в дальнейшем свое развитие в математическом анализе, зародились еще в античной математике. Это относится, прежде всего, к понятию бесконечности и близкому к нему представлению о непрерывном и дискретном изменении величин.

В середине V века до Р. Х. древнегреческий философ и математик Анаксагор сознавал возможность бесконечного убывания и бесконечного возрастания непрерывных величин. Он говорил: «В малом не существует наименьшего, но всегда есть меньшее, так и для большого постоянно имеется большее».

Естественно при использовании понятия бесконечности древние математики наталкивались на серьезные логические трудности. Хорошо известен, например, парадокс Зенона (около 490–430 до Р. Х.), состоящий в том, что Архимед никогда не сможет догнать черепаху, так как когда Ахиллес пробежит половину пути, отделяющего его от черепахи, та удалится от него за это время на некоторое расстояние. Когда он пробежит половину этого расстояния, черепаха снова удалится от него, и так далее до бесконечности. Получившееся кажущееся противоречие в этом рассуждении связано с тем, что в то время еще не было осознано понятие бесконечной суммы: не было понято, что такая сумма может иметь конечное значение. Этот парадокс можно рассматривать как одну из первых попыток изучения бесконечных сумм. Подобная ситуация, когда возникающие математические поня-

тия и математические модели казались современникам противоречивыми, а затем в результате более глубокого их изучения и четкого анализа после правильного их понимания оказывались лишенными каких-либо противоречий, типична для всего развития математики.

Одна из попыток преодоления трудностей, связанных с понятием бесконечности, была предпринята школой древнегреческого философа Демокрита (около 460–370 лет до Р. Х.), в которой была создана атомистическая теория. Согласно этой теории тела рассматривались состоящими из огромного, но конечного числа мельчайших частей, «неделимых атомов». Для нахождения площадей и объемов применялась интеграционная идея: их вычисление проводилось путем суммирования площадей (соответственно объемов) геометрических атомов.

Этот метод и то, что получилось в результате его развития, стало называться методом неделимых.

В качестве примера применения метода неделимых рассмотрим вывод с его помощью формулы для площади круга. Пусть задан круг радиуса r и, следовательно, ограниченный окружностью длины C = 2πr. Круг рассматривается как объединение «очень большого числа» треугольников с общей вершиной в центре O круга и бесконечно малыми основаниями, лежащими на окружности.

Длины оснований этих треугольников обозначают C, и их сум-

угольников полагается равной площади S круга:

S = 12 r C = 2r C = r2C = πr2.

Логическая несостоятельность этого метода вывода формулы для площади круга состоит, очевидно, в том, что на самом деле круг не является объединением треугольников в обычном смысле этого слова, а лишь для таких треугольников справедлива использованная в приведенном рассуждении формула для их площади.

То, что подобные доказательства не выдерживают требований логики, было, конечно, ясно и математикам античного периода. Чтобы избежать трудностей, возникающих при использовании понятий, так или иначе связанных с понятием бесконечности, математики Древней Греции отказались от их использования: во всех известных трудах периода расцвета древнегреческой математики не были введены термины ни для переменных, ни для бесконечно малых величин. В этом смысле античную математику можно назвать математикой конечных величин, ограниченных фигур и тел. Хотя надо отметить, что на интуитивном уровне понятия очень малых и бесконечно малых величин продолжали использоваться, уж во всяком случае с эвристическими целями. Методы решения задач, основанные на использовании беско-

408 Краткий очерк развития математического анализа

нечно малых величин, получили в последствии название инфинитезимальных методов.

В IV веке до Р. Х. греческим математиком Евдоксом (около 408–355 лет до Р. Х.) была построена теория отношении величин. Она была изложена в «Началах» Евклида (около 365–300 лет до Р. Х.), и ее можно рассматривать как первую теорию действительных чисел. На основании этой теории был разработан метод доказательства

формул для площадей плоских фигур и объемов тел, получивший название метода исчерпывания. Он основан на аппроксимации фигyp

ител, у которых ищутся площади и объемы, ступенчатыми фигурами

ителами, составленными из простейших фигур или тел (прямоугольников, параллелепипедов, цилиндров и т. п.).

Суть метода исчерпывания состоит в следующем. Для искомой

величины A строятся две такие последовательности чисел xn и yn (равные, например, известным площадям фигур или соответственно тел, вписанных и описанных около данных фигур или тел), что

xn < A < yn, и разность yn − xn, a поэтому и разности A − xn, yn − A будут сколь угодно малыми при достаточно больших номерах

n = 1, 2, ... . Затем каким-либо образом, например, с помощью инфинитезимального метода, находится предполагаемое значение B искомой величины, которое также при любых номерах n находится между числами xn и yn, xn < B < yn. В заключение методом от противного доказывается, что A = B.

Это делается следующим образом. В случае A < B, т. е. когда B − A > 0, при достаточно больших номерах n выполняется неравенство yn − A < B − A и, следовательно, неравенство yn < B, а в случае A > B, т. е. когда A − B > 0, при достаточно больших номерах n имеет место неравенство A − xn < A − B, а поэтому и неравенство xn > B. Неравенства yn < B и xn > B противоречат выбору чисел xn и yn. Это означает, что A = B.

Метод исчерпывания можно рассматривать как первое приближение к понятию предельного перехода, а вычисление площадей и объемов (соответственно фигур и тел) при помощи вписанных в них и описанных около них фигур и тел с современной точки зрения представляет собой зарождение идеи применения нижних и верхних интегральных сумм для вычисления площадей и объемов.

В античной математике зародились и первые идеи дифференциального исчисления. Еще Архимед (287–212 гг. до Р. Х.) при постро-

ении касательной и спирали, названной впоследствии его именем, использовал, как теперь его называют, бесконечно малый характеристический треугольник в полярных координатах, сторонами которо-

го являются бесконечно малые приращения координат точки на спирали и соответствующее бесконечно малое приращение длины дуги.

Возвращаясь к бесконечным суммам, следует заметить, что тот же Архимед рассматривал бесконечные суммы членов бесконечно убыва-

ющей геометрической прогрессии и находил их значения. Архимеду же принадлежат лучшие результаты того периода по нахождению площадей плоских фигур и объемов пространственных тел, причем он применял не только метод исчерпывания, но и разработал ряд новых методов.

Описание движения планет Солнечной системы древнегреческим астрономом Птолемеем (около 100–178 гг. до Р. Х.) с помощью эпициклов высших порядков можно рассматривать как первую попытку разложить периодическое движение (периодическую функцию) на простые гармоники (частичные суммы ряда Фурье). Фактически он уже использовал понятие тригонометрических функций как отрезков

в круге, и им была составлена первая таблица синусов, вычисленная через 30 .

После гибели античной культуры достижения древних математиков были забыты на много веков. В средние века преобладала элементарная математика. Однако уже в ХIV веке наметилось некоторое оживление в развитии математики: в работах отдельных ученых появились новые идеи, развитие которых привело в ХVII веке

коткрытию и началу осмысления основных понятий математического анализа: функция, предел, непрерывность, производная, интеграл. Понятие производной возникло в задачах на построение касательных

ккривым, на отыскание минимальных и максимальных значений переменных величин и на нахождение мгновенной скорости движения, а понятие интеграла — в задачах на вычисление площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел, на нахождение пути, пройденного телом, по его мгновенным скоростям, на вычисление масс тел и их моментов инерции. Осмысление понятия переменной величины привело

кпонятию функции.

Вмрачные времена XIV века, когда в Европе пылали костры инквизиции, когда началась Столетняя война между Францией и Англией и рыцари сражались в битвах при Креси и Пуатье, когда Россия еще находилась под гнетом татаро-могольского ига и только что родился князь Дмитрии Донской, французский монах Н. Оресм (1323(?)–1382) в своей тихой келье размышлял о бесконечных суммах. Он построил геометрический пример, показывающий, что сумма бес-

конечного числа слагаемых может быть конечной в современной ана-

∞ 1

литической записи он получил равенство n=1 2n = 1 . Кроме того, он

в современной терминологии доказал расходимость гармонического

ряда ∞ 1 , а следовательно, показал, что стремление к нулю членов

n=1 n

ряда не обеспечивает его сходимости. Он изучал не только суммы членов бесконечно убывающих геометрических прогрессий (встречав-