393.В чем состоит критерий Коши сходимости последовательности точек метрического полного пространства?
394.Что называется ε-окрестностью точки метрического пространства?
395.Что является ε-окрестностью точки на прямой, на плоскости, в трехмерном пространстве?
396.Какое множество метрического пространства называется открытым?
397.Будет ли ε-окрестность точки открытым множеством?
398.Привести пример открытого (не открытого) множества.
399.Что называется окрестностью точки в метрическом пространстве?
400.Будет ли открытым пересечение конечной (бесконечной) совокупности открытых множеств?
401.Будет ли открытым объединение конечной (бесконечной) совокупности открытых множеств?
402.Что называется точкой прикосновения множества в метрическом пространстве?
403.Что называется предельной точкой множества?
404.Какая точка множества называется изолированной?
405.Какое множество называется замкнутым?
406.Привести пример замкнутого (незамкнутого) множества.
407.Будет ли конечное множество замкнутым?
408.Будет ли дополнение замкнутого (открытого) множества открытым (замкнутым) множеством?
409.Будет ли замкнутым пересечение конечной (бесконечной) совокупности замкнутых множеств?
410.Будет ли замкнутым объединение конечной (бесконечной) совокупности замкнутых множеств?
411.Что называется замыканием множества?
412.Какое множество называется плотным в данном метрическом пространстве?
413.Что называется пополнением метрического пространства?
414.Как записывается неравенство четырехугольника в метрическом пространстве?
415.Что является пополнением метрического пространства рациональных чисел с естественной метрикой?
416.Если последовательности {xn} и {yn} точек метрического пространства R называются эквивалентными при условии, что
lim ρ(xn, yn) = 0, то как можно определить метрику в множе-
n→∞
стве R эквивалентных фундаментальных последовательностей так, чтобы пространство R изометрически отображалось в R ?
417.Если R — множество эквивалентных фундаментальных последовательностей метрического пространства R, x R , y R ,
Контрольные вопросы
451
x
x ,
y
y
def
ρ(x
, y ),
{
n}
{
n}
и
ρ (x , y ) = lim
то будет ли
n→∞
n
n
функция ρ метрикой в множестве R ?
418.Будет ли метрическое пространство R изометрически отображаться в пространство R ?
419.Будет ли метрическое пространство R, отождествленное со своим изометрическим образом в R , плотным в пространстве R ?
420.Будет ли метрическое пространство R полным?
421.Можно ли пополнить любое метрическое пространство?
422. Если
R
R ,
{
xn
}
x
R , то чему равен предел lim ρ (xn, x)?
n→∞
423.Можно ли утверждать, что у метрического пространства может быть не одно пополнение? Если да, то будут ли изометричны два пополнения одного и того же метрического пространства?
424.Что называется линейным пространством?
425.Что называется подпространством линейного пространства?
426.Что означает, что конечная система элементов линейного пространства линейно независима?
427.Какие системы элементов линейных пространств называются линейно независимыми?
428.Что называется линейной оболочкой подмножества линейного пространства?
429.Привести примеры конечномерного и бесконечномерного линейных пространств.
430.Что называется нормой (полунормой) в линейном пространстве?
431.Привести примеры нормированного и полунормированного пространств.
432.Как определяются нормированные (полунормированные) пространства B(X), C(X) и RL1(a, b)?
433.Будут ли выражения
a t b
b
a
,
f (n)(t)
dt
sup
f (n)(t)
нормой? Полунормой? Для каких функций? Для каких n?
434.Доказать, что если функция непрерывна и неотрицательна на отрезке и интеграл от нее по этому отрезку равен нулю, то она равна нулю во всех точках рассматриваемого отрезка.
435.Будет ли нормированное (полунормированное) пространство метрическим? Если да, то с какой метрикой?
436.Что называется последовательностью, сходящейся по норме? По полунорме?
437.Будет ли единственным предел последовательности, сходящейся по норме (полунорме)?
438.Будет ли ограниченной по норме (полунорме) сходящаяся по этой норме (полунорме) последовательность?
439.Какая функция называется непрерывной по норме (полунорме)?
15*
452
Контрольные вопросы
440.Будет ли норма (полунорма) непрерывной функцией?
441.Какое пространство называется банаховым?
442.Какая система элементов называется полной в нормированном (полунормированном) пространстве?
443.Какой ряд называется сходящимся в нормированном (полунормированном) пространстве?
444.Можно ли всякое линейное нормированное пространство пополнить до банахова пространства? Если да, то каким образом?
445.Что называется скалярным (почти скалярным) произведением
в линейном пространстве?
b
446. Будет ли выражение (f , g) = f (t)g(t) dt скалярным (почти ска-
a
лярным) произведением? Для каких функций?
447.Напишите неравенство Коши–Буняковского. Справедливо ли оно для почти скалярного произведения или только для скалярного?
448.Будет ли линейное пространство со скалярным (почти скалярным) произведением нормированным (почти нормированным)? Если да, то с какой нормой (полунормой)? Будет ли оно метрическим? Если да, то с какой метрикой?
449.Как определяются пространства RL2[a, b] и CL2[a, b]?
450. Какая последовательность функций называется сходящейся
в среднем? В смысле среднего квадратичного?
451.В каком функциональном пространстве сходимость по норме равносильна равномерной сходимости?
452.Докажите неравенства
f RL2[a,b]
√
b − a f B[a,b],
f RL1[a,b] (b − a) f B[a,b],
f RL1[a,b]
√
b − a f RL2[a,b].
453.Будет ли равномерно сходящаяся на отрезке последовательность непрерывных функций сходиться на этом отрезке в среднем (в смысле среднего квадратичного)?
454.Будет ли сходящаяся на отрезке в смысле среднего квадратичного последовательность функций с интегрируемым квадратом на этом отрезке сходиться на нем в среднем?
455.Следует ли из равномерной сходимости на конечном (бесконечном) промежутке последовательности непрерывных функций ее сходимость на этом промежутке в среднем? В смысле среднего квадратичного?
456.Следует ли из равномерной сходимости на конечном (бесконечном) промежутке последовательности абсолютно интегрируемых функций ее сходимость в среднем?
Контрольные вопросы
453
457.Привести пример последовательности неотрицательных непрерывных на отрезке функций, сходящейся, но неравномерно,
к функции, тождественно равной нулю на этом отрезке.
458.Привести пример последовательности неотрицательных непрерывных на отрезке функций, сходящейся на этом отрезке в среднем (в смысле среднего квадратичного), но не сходящейся равномерно.
459.Привести пример последовательности неотрицательных непрерывных на отрезке функций, сходящейся на нем в среднем, но не сходящейся в смысле среднего квадратичного.
460.Привести пример последовательности неотрицательных непрерывных на отрезке функций, сходящейся в среднем, но не сходящейся ни в одной точке.
461.Будет ли почти скалярное (скалярное) произведение непрерывной функцией относительно порожденной им полунормы (нормы)?
462.Можно ли почленно интегрировать на отрезке ряд интегрируемых в квадрате на этом отрезке функций, сходящийся на нем в смысле среднего квадратичного к функции с интегрируемым квадратом?
463.Какое пространство называется гильбертовым?
464.Можно ли любое линейное пространство со скалярным произведением пополнить до гильбертова? Если да, то как?
465.Как определяется скалярное (почти скалярное) произведение в n-мерном арифметическом комплексном пространстве?
466.Является ли пространство CL2[a, b] полным?
467.Укажите фундаментальную, но не сходящуюся последовательность в пространстве CL2[a, b].
468.Какое множество называется плотным в нормированном (полунормированном) пространстве?
469.Будет ли множество ступенчатых функций плотно в пространстве RL2[a, b]?
в пространстве RL2[a, b] заданную функцию этого пространства с точностью ε > 0.
471.Будет ли множество непрерывных функций плотно в пространстве RL2[a, b]? Будет ли плотно в этом пространстве множество непрерывных функций, обращающихся в нуль на концах отрезка? Непрерывных финитных на интервале (a, b) функций?
472.Укажите конструкцию непрерывной функции, обращающейся в нуль на концах отрезка [a, b] и приближающей в пространстве
RL2[a, b] заданную функцию этого пространства с точностью до заданного ε > 0.
473.Что такое пространство L2[a, b]?
454
Контрольные вопросы
474.Будет ли плотно в пространстве L2[a, b] множество непрерывных функций? Множество непрерывных функций, обращающихся
внуль на концах отрезка [a, b]?
475.Какие функции называются эквивалентными в пространстве RL2[a, b]?
476.Меняется ли почти скалярное произведение (полунорма) при замене функций на эквивалентные?
477.Будут ли эквивалентными одинаковые линейные комбинации эквивалентных функций?
478.Могут ли существовать в классе эквивалентных функций две разные непрерывные функции?
479.Как можно определить операции сложения элементов и умно-
жения их на число, а также скалярное произведение в множестве классов эквивалентных функций пространства RL2[a, b] так, чтобы отображение, ставящее в соответствие каждой функции пространства RL2[a, b] содержащий ее класс эквивалентных функций, было бы изометрическим гомеоморфизмом?
480.Доказать, что множество непрерывных функций f , таких что suppf (a, b), плотно в пространстве RL1[a, b].
§53
481.Какие системы элементов пространства со скалярным произведением называются ортогональными? Ортонормированными?
482.Может ли ортонормированная система быть линейно зависимой?
483.Будет ли система неотрицательных целых степеней линейно независимой на данном промежутке?
484.Будет ли система функций 1, cos x, sin x, .. . , cos nx, sin nx, . ..
линейно зависимой?
485.Какие многочлены называются многочленами Лежандра?
486.Будет ли система многочленов Лежандра линейно зависимой или линейно независимой?
487. Чему равно скалярное произведение многочлена Лежандра
с многочленом меньшей степени?
488.Можно ли любой многочлен представить в виде линейной комбинации многочленов Лежандра?
489.Если некоторый многочлен степени n представлен в виде линейной комбинации многочленов Лежандра, то чему равны коэффициенты разложения при многочленах Лежандра степени m > n?
490.Какая имеется связь между многочленами Лежандра и ортонормированной системой многочленов, полученной стандартным
процессом ортогонализации из системы неотрицательных целых степеней 1, x, x2, .. . , xn, .. . на отрезке [−1, 1]?
491.Какая система элементов полунормированного пространства называется полной?
Контрольные вопросы
455
492.Будет ли полной система элементов пространства со скалярным произведением, получающаяся из полной системы стандартным процессом ортогонализации?
493.Что называется вложением одного полунормированного пространства в другое?
494.Если система элементов полунормированного пространства R1,
вложенного в полунормированное пространство R2 и плотного в нем, полна в R1, то будет ли она полна в R2?
495.Если система элементов полна в некотором подмножестве R1, плотном в пространстве R2, будет ли она полна в R2?
496.Будет ли система 1, x, x2, . .. , xn, . .. полна в пространстве C[a, b]? В RL1[a, b]? В RL2[a, b]? В L2[a, b]?
497.Будет ли система полиномов Лежандра полна в пространстве
C[a, b]? В RL1[a, b]? В RL2[a, b]? В L2[a, b]?
498.Будет ли тригонометрическая система полна в пространстве
C[−π, π]? В Ck[−π, π]? В L2[−π, π]?
499.Что называется коэффициентами Фурье элемента пространства со скалярным произведением по заданной ортогональной системе элементов?
500.Что называется рядом Фурье элемента пространства со скалярным произведением по заданной ортогональной системе элементов?
501.В чем состоит минимальное свойство частичных сумм ряда Фурье?
502.Какой из тригонометрических многочленов степени n наилучшим образом приближает абсолютно интегрируемую в квадрате функцию в смысле среднего квадратичного?
503.Как выражается наилучшее приближение элемента пространства со скалярным произведением линейными комбинациями ортогональной системы через норму элемента и его коэффициенты Фурье?
504.В чем заключается неравенство Бесселя? Какое условие достаточно, чтобы коэффициенты Фурье элемента пространства со скалярным произведением по данной ортогональной системе стремились к нулю?
505.Сходится ли ряд Фурье (по заданной ортогональной системе элементов) любого элемента гильбертова пространства?
506.Чему равно скалярное произведение разности суммы ряда Фурье (по заданной ортогональной системе гильбертова пространства) некоторого элемента и самого этого элемента с каждым элементом данной ортогональной системы?
507.Какая связь имеется между сходимостью ряда Фурье (по некоторой ортогональной системе пространства со скалярным произведением) некоторого элемента к самому элементу и равенством Парсеваля для этого элемента?
456
Контрольные вопросы
508.Какая существует связь в пространстве со скалярным произведением между сходимостью ряда Фурье по заданной ортогональной системе любого элемента пространства и полнотой указанной системы?
509.Что можно сказать об элементе пространства со скалярным произведением, у которого все коэффициенты Фурье по некоторой полной ортогональной системе равны нулю?
510.Что можно сказать о двух элементах пространства со скалярным произведением, у которых все коэффициенты Фурье по некоторой ортогональной полной системе, имеющие одинаковые номера, равны между собой?
511.Является ли в любом пространстве со скалярным произведением рядом Фурье некоторого элемента этого пространства ряд, членами которого являются элементы ортогональной последовательности с коэффициентами, сумма квадратов которых образует сходящийся ряд? Что можно сказать в случае гильбертова пространства?
512.Какая система элементов пространства со скалярным произведением называется замкнутой?
513.Какая существует связь в гильбертовом пространстве между замкнутыми и полными ортогональными системами?
514.Будет ли тригонометрический ряд Фурье любой функции с интегрируемым на [−π, π] квадратом сходиться к самой функции в смысле среднего квадратичного?
515.Что называется равенством Парсеваля по тригонометрической системе? Будет ли оно верно для функции с интегрируемым квадратом? Для непрерывной функции?
516.Что можно сказать о функции с интегрируемым квадратом, все коэффициенты Фурье которой по тригонометрической системе равны нулю? Что можно сказать в этом же случае о непрерывной функции?
517.Будет ли ряд Фурье по многочленам Лежандра любой функции с интегрируемым на отрезке [−1, 1] квадратом сходиться в смысле среднего квадратичного к самой функции?
518.Что можно сказать о функциях с интегрируемым на [−1, 1] квадратом, у которых равны соответствующие коэффициенты Фурье по многочленам Лежандра? Что можно сказать о функ-
циях, если дополнительно предположить их непрерывность на отрезке [−1, 1]?
519.Какая существует связь в пространстве со скалярным произведением между полнотой ортогональной системы и выполнением равенства Парсеваля по этой системе для любого элемента?
520.Будет ли тригонометрическая система функций полной в пространстве L2[−π, π], если из нее исключить sin 2x?
Контрольные вопросы
457
521.Будет ли единственным разложение элемента пространства со скалярным произведением по элементам ортогональной системы ненулевых элементов?
522.Будет ли равномерно сходящийся тригонометрический ряд рядом Фурье своей суммы?
523.Будет ли тригонометрический ряд, сходящийся в смысле среднего квадратичного к функции с интегрируемым квадратом, рядом Фурье своей суммы?
524.Будет ли ряд, полученный почленным дифференцированием ряда Фурье непрерывной кусочно-гладкой периодической функции, рядом Фурье производной исходной функции?
525.Как оценивается порядок убывания коэффициентов Фурье пе-
риодической функции, которая имеет k − 1 непрерывных производных и кусочно-непрерывную производную порядка k (k 1)?
526.Как оценивается скорость сходимости ряда Фурье периодиче-
ской функции, которая имеет k − 1 непрерывных производных и кусочно-непрерывную производную порядка k (k 1)?
527.Будет ли ряд Фурье функции f (x) = |x|, |x| π, сходиться равномерно? Будет ли равномерно сходиться ряд, полученный почленным дифференцированием ряда Фурье функции f (x)?
528.Будет ли равномерно сходиться ряд Фурье непрерывной 2π-пе- риодической функции с кусочно-непрерывной производной?
529.Будет ли для функции f (x) = |x|, |x| π, справедлива равно-
мерная оценка
?
f (x) − Sn(x; f ) = o √1n
530.Будет ли равномерно сходиться ряд Фурье функции, график которой представляет собой 2π-периодическую конечнозвенную на периоде ломаную? Чему будет равна сумма ряда?
531.Как записываются формулы для коэффициентов Фурье 2l-пе- риодической функции, абсолютно интегрируемой на периоде?
532.Как записываются коэффициенты Фурье с помощью комплексных чисел?
§54
533.Как определяется интеграл Фурье данной функции?
534.Что известно о плотности непрерывных финитных на интервале (a, b) функций в пространстве RL1(a, b)?
535.Какие Вы знаете достаточные условия для того, чтобы в инте-
грале
d+∞
dy f (x)ϕ(x, y) dx
c−∞
можно было изменить порядок интегрирования?
458
Контрольные вопросы
536.Каковы достаточные условия, которым должна удовлетворять функция для того, чтобы она была представима своим интегралом Фурье в данной точке? На всей оси?
537.Как видоизменяется интеграл Фурье для четной функции? Для нечетной функции? Для функции, определенной на положительной полуоси? Чему они равны и при каких условиях на функцию?
538.Как определяется интеграл в смысле главного значения?
539.Чему равен интеграл в смысле главного значения по всей числовой оси от нечетной функции, интегрируемой (в собственном или несобственном смысле) на любом конечном интервале?
540.Как определяется производная и интеграл от комплекснозначной функции действительного аргумента?
541.Как записывается интеграл Фурье в комплексной форме?
542.Как определяются преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье?
543.Определено ли прямое и обратное преобразование Фурье для любой абсолютно интегрируемой функции?
544.На каком классе функций прямое и обратное преобразования Фурье являются взаимно обратными?
545.Является ли преобразование Фурье (обратное преобразование Фурье) линейным?
546.Будет ли ограниченной функция, являющаяся преобразованием Фурье абсолютно интегрируемой на числовой прямой функции? Как оценивается абсолютная величина значений функции, являющейся преобразованием Фурье абсолютно интегрируемой на числовой прямой функции, посредством этой функции?
547.Как сходится последовательность функций, являющихся преобразованием Фурье последовательности функций, сходящейся в среднем к некоторой абсолютно интегрируемой функции?
548.Будет ли непрерывной функцией образ Фурье абсолютно интегрируемой функции?
549.Чему равен предел преобразования Фурье абсолютно интегрируемой функции при стремлении аргумента к бесконечности?
550.Как получается преобразование Фурье производной из преобразования Фурье самой функции, если эта функция вместе со своей производной абсолютно интегрируема и непрерывна на числовой прямой?
551.Какова оценка сверху порядка стремления к нулю на бесконечности преобразования Фурье функции, абсолютно интегрируемой и непрерывной на числовой прямой вместе со своими производными до порядка n включительно?
552.
Доказать, что для образа Фурье f (y) функции f (x) =
1
1 + |x|3
при y → ±∞ справедлива оценка f (y) = O(y−3).
Контрольные вопросы
459
553.Каковы достаточные условия существования n производных на всей числовой прямой у преобразования Фурье данной функции?
1
554. Доказать, что преобразование Фурье функции f (x) = 1 + x4 два-
жды дифференцируемо на всей числовой прямой.
555. Доказать, что преобразование Фурье функции f (x) = x2e|x| бесконечно дифференцируемо на всей числовой прямой.
556. Найти в явном виде образ Фурье характеристической функции полуинтервала.
557. Как выражается производная образа Фурье функции f (x) через образ Фурье произведения xf (x) в предположении абсолютной интегрируемости и непрерывности этого произведения на числовой оси?
§ 55
558. Что называется пространством D основных функций?
559. Являются ли сложение и умножение на скаляр непрерывными операциями в D?
560. Что называется обобщенной функцией над пространством основных функций D?
561. Как определяется сходимость последовательности в пространстве D обобщенных функций?
562. Являются ли сложение и умножение на скаляр непрерывными операциями в D ?
563. Почему локально интегрируемые функции можно рассматривать как обобщенные функции из пространства D ?
564. Чему равны lim sin ηt,
lim
sin ηt
в D ?
t
η→∞
η→∞
565.Какая обобщенная функция не порождается никакой локально интегрируемой функцией?
566.Что такое дельта-функция?
567.Как определяется производная обобщенной функции? Является ли производная обобщенной функции из D также обобщенной функцией из D ?
568.Почему обычную производную непрерывно дифференцируемой на всей числовой оси функции f можно рассматривать как производную обобщенной функции, порожденной данной функцией f ?
569.Является ли операция дифференцирования непрерывной в D ?
570.Как определяются производные высших порядков для обобщенных функций из D ? Везде ли они существуют?
571.Что можно сказать о почленном дифференцировании сходящихся последовательностей и рядов обобщенных функций?
572.Что такое функция Хевисайда? Чему равна ее производная?
573.Чему равна производная порядка n от дельта-функции?
