Краткий курс математического анализа. Том 2

§45

207.Что называется криволинейным интегралом I рода от функ-

ции F по кривой AB?

208.Какими свойствами обладает криволинейный интеграл I рода?

209.Что называется криволинейным интегралом II рода от вектор-

функции a по кривой AB?

210.Какими свойствами обладает криволинейный интеграл II рода?

211.Что называется объединением кривых Γk, k = 1, . . . , kτ ?

212.Как определяются криволинейные интегралы I и II родов по объединению кусочно-гладких кривых Γk?

213.Что означает, что функция f (x) интегрируема по функции g(x) на отрезке [a, b]? Что называют интегралом Стильтьеса функции f по функции g?

214.Привести ε–δ-определение интеграла Стильтьеса.

215.Что можно сказать об интегрируемости линейной комбинации функций, интегрируемых по функции g? Что можно сказать

об интегрируемости функции f по линейной комбинации функций gi, если функция f интегрируема по каждой из функций gi?

216.Какая функция называется кусочно-постоянной?

217.Привести примеры классов функций, для которых существует интеграл Стильтьеса от непрерывных функций.

218. Привести формулу для вычисления интеграла Стильтьеса от непрерывной функции по непрерывно дифференцируемой функции?

219.Как изменяется интеграл Стильтьеса при изменении ориентации отрезка?

220.Как можно ввести криволинейный интеграл II рода с помощью интеграла Стильтьеса?

221.Что называется гладкой кривой?

222.В каком случае совпадают определения криволинейных интегралов II рода?

223.Что понимается под положительной (соответственно отрицательной) ориентацией простого замкнутого контура на плоскости с правой системой координат?

224.Что означает, что область элементарна относительно оси Oy (Ox)? Какие области называются элементарными?

225.Почему области, элементарные относительно одной из осей координат, квадрируемы?

226.Что означает, что частные производные функции непрерывны вплоть до границы области?

227.В чем состоит формула Грина для элементарных областей?

228.Как определяется положительная (отрицательная) ориентация границы открытого множества, состоящей из конечного множества простых замкнутых контуров?

229.В каком случае граница открытого плоского множества называется кусочно-гладкой?

230.Что означает, что область можно разбить на конечное множество элементарных областей?

231.На какие области распространяется формула Грина?

232.Как можно вычислить площадь с помощью криволинейного интеграла II рода?

233.Что является образом гладкой кривой при непрерывно дифференцируемом отображении с ненулевым якобианом?

234.В чем состоит геометрический смысл знака якобиана отображения плоской области?

§46

235.Что называется поверхностью в R3? Носителем поверхности?

236.Что называют краем поверхности? Внутренними точками поверхности? Частью поверхности?

237.Что называется векторным представлением поверхности? Координатным представлением поверхности? Параметрами на поверхности? Координатными линиями на поверхности?

238.Что называется точкой поверхности? Что называется точкой носителя поверхности?

239.Как определяется кратная точка поверхности? Какие поверхности называются поверхностями с самопересечениями? Что означает, что поверхность имеет явное представление?

240.В каком случае поверхность называется непрерывно дифференцируемой, дважды непрерывно дифференцируемой и т. д. поверхностью?

241.Как определяется преобразование параметров на поверхности?

242.Что понимается под кривой на поверхности?

243.Что называется особой (неособой) точкой поверхности? Какие поверхности называются гладкими?

244. Какое представление возможно для гладкой поверхности

в окрестности ее внутренней точки?

245.Как определяется касательная плоскость в неособой точке поверхности?

246.Как выглядит уравнение касательной плоскости в векторной форме записи, в координатной форме записи?

247.Является ли гладкой поверхность, имеющая явное непрерывно дифференцируемое представление? Как выглядит уравнение касательной плоскости к такой поверхности?

248.Как определяется нормаль к поверхности в данной точке? Нормальной прямой?

249.Выпишите координаты нормали и нормальной прямой к поверхности в неособой точке.

250.Как выглядит вектор нормали к поверхности, заданной уравнением F (x, y, z) = 0?

251.Что называется первой квадратичной формой непрерывно дифференцируемой поверхности?

252.Как с помощью коэффициентов первой квадратичной формы вычисляется длина непрерывно дифференцируемой кривой, лежащей на непрерывно дифференцируемой поверхности?

253.Как определяется площадь непрерывно дифференцируемой поверхности? По какой формуле можно найти площадь поверхности? Что называется элементом поверхности?

254.Что называется элементарной поверхностью? В каком случае гладкая элементарная последовательность называется ориентированной? Что называется ориентацией гладкой элементарной поверхности? Сколько ориентаций имеет гладкая элементарная поверхность?

255.Что понимается под «склейкой” конечного множества элементарных поверхностей? Что называется поверхностью в новом расширенном смысле? Что называется гладкой поверхностью?

256.Когда гладкая поверхность называется ориентируемой (двусторонней)? Неориентируемой?

257.Как определяется кусочно-гладкая поверхность?

258.Что означает, что ориентация края гладкой элементарной поверхности согласована с ориентацией самой поверхности?

259.Что означает, что кусочно-гладкая поверхность ориентируемая (двусторонняя)? Неориентируемая?

260.Что понимается под внешней (внутренней) нормалью к поверх-

ности S, носитель которой является границей некоторой области в R3?

261.Что означает, что область в R3 имеет кусочно-гладкую границу?

262.Что понимается под «верхней” («нижней”) стороной поверхности S, имеющей явное представление?

263.Как определяется поверхностный интеграл I рода? Как он связан с ориентацией поверхности?

264.Как определяется поверхностный интеграл II рода? Как он связан с ориентацией поверхности?

265.Как выглядят формулы, выражающие поверхностный интеграл II рода через двойные интегралы Римана?

266.Как выглядят те же формулы в случае явного представления поверхности?

267.Какие поверхностные интеграла II рода можно определить по непрерывным поверхностям, имеющим явное представление? Как связано это определение с первоначальным определением?

268.Как определяется цилиндрическая поверхность с направляю-

щей Γ0, лежащей в плоскости переменных x, y и образующей длины h, параллельной оси Oz? Чему равны поверхностные

если Γ0 является гладкой кривой? Чему полагаются равными эти интегралы, если отсутствует предположение о гладкости Γ0?

§48

269.Что называется скалярным полем? Векторным полем?

270.В чем заключается геометрический смысл градиента функции u(x, y, z) (u(x, y))?

271.Что называется потенциалом (потенциальной функцией) векторного поля? Какие векторные поля называются потенциальными?

272.Что называется дивергенцией векторного поля?

273.Что называется ротором (вихрем) векторного поля?

274.Что называется циркуляцией векторного поля по данному контуру?

275.Что называется потоком векторного поля через поверхность S? Через данный контур Γ?

276.Что означает, что область элементарна относительно оси Oz

(Ox, Oy)?

277.Как определяется поверхностный интеграл II рода по внешней (внутренней) стороне поверхности, ограничивающей область, элементарную относительно оси Oz?

278.Какие области называются элементарными?

279.В чем заключается формула Гаусса–Остроградского для элементарных областей? Как можно записать формулу Гаусса–Остро- градского для случая кусочно-гладкой границы области?

280.Как выглядит геометрическое определение дивергенции?

281.Что называется источниками векторного поля?

282.Как определяется положительная (отрицательная) ориентация края поверхности в случае явного представления поверхности? Как выбирается нормаль к поверхности в случае положительной (отрицательной) ориентации края поверхности?

283.В чем заключается формула Стокса?

284.Как определяется ориентация кусочно-гладкой поверхности? Что называется краем кусочно-гладкой поверхности?

285.В чем состоит геометрическое определение ротора (вихря)? Почему определение ротора не зависит от выбора системы координат с одинаковой ориентацией?

286.Что означает, что векторное поле соленоидально в некоторой области?

287.В чем состоит критерий соленоидальности векторного поля?

334.Будет ли произведение финитных функций финитной функцией?

335.Будет ли линейная комбинация ступенчатых функций ступенчатой функцией?

336.Какая функция называется абсолютно интегрируемой?

337.Будет ли произведение абсолютно интегрируемых функций абсолютно интегрируемой функцией?

338.Доказать абсолютную интегрируемость на отрезке произведения абсолютно интегрируемых функций на функцию, интегрируемую по Риману.

339.Можно ли сколь угодно точно приблизить в среднем абсолютно интегрируемую на интервале функцию ступенчатой функцией?

340.Как ведут себя коэффициенты Фурье абсолютно интегрируемой функции, когда их номер стремится к бесконечности?

341.Чему равны пределы

для абсолютно интегрируемой на интервале (a, b) функции?

342.Доказать, что всякая непрерывная на отрезке функция является пределом равномерно сходящейся последовательности ступенчатых функций.

343.Что называется ядром Дирихле? Каковы его свойства?

344.Доказать, что интеграл от периодической функции по отрезку, длина которого равна периоду, не зависит от выбора этого отрезка.

345.Написать интегральное представление частных сумм ряда Фу-

рье с помощью ядра Дирихле через интегралы по отрезкам

[−π, π] и [0, π].

346.Написать асимптотическое интегральное представление частной суммы ряда Фурье в данной точке с помощью интеграла по окрестности этой точки.

347.В чем состоит принцип локализации для рядов Фурье?

348.Сформулировать признак Дини сходимости ряда Фурье.

349.Привести пример ряда Фурье функции, сумма которого в некоторой точке не равна значению функции в этой точке.

350.Каковы достаточные условия сходимости ряда Фурье в данной точке в терминах односторонних производных?

351.К чему и при каких условиях сходится ряд Фурье данной функции в точках ее разрыва I рода?

352.Сходится ли, а если сходится, то к чему, ряд Фурье абсолютно интегрируемой на отрезке [−π, π] функции в точках ее дифференцируемости?