Краткий курс математического анализа. Том 2

50 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

f (Γ) = {f (x(t)); a t b} соединяет точки y и y в множестве Y , т. е. f (x(a)) = f (x ) = y , f (x(b)) = f (x ) = y , и для всех t [a, b]

выполняется включение f (x(t)) = f (x) Y . Это и означает, что множество Y линейно связно.

Докажем теперь теорему о непрерывных числовых функциях на линейно связных множествах, обобщающую теорему Коши о промежуточных значениях непрерывных на отрезке функций.

Т е о р е м а 4. Функция, непрерывная на линейно связном множестве, принимая какие-либо два значения, принимает и любое промежуточное между ними.

С л е д с т в и е. Функция, непрерывная на замыкании линейно связного множества, принимая какие-либо два значения, принимает и любое промежуточное между ними.

Докажем теорему. Пусть X — линейно связное множество, X Rn, функция f непрерывна на X, x(1) X, x(2) X, f (x(1)) = a, f (x(2)) = b

и, например, a < c < b. В силу линейной связности множества X

Функция F (t) = f (x(t)), α t β, непрерывна на отрезке [α, β] как композиция непрерывных функций f (x) и x(t). Кроме того,

Поэтому, в силу теоремы Коши о промежуточных значениях непре-

Поскольку x(1) — точка прикосновения множества X, то в ее δ-окрестности U (x(1); δ) существует точка y(1), принадлежащая X:

y(1) X ∩ U (x(1); δ).

Таким образом, f ((y(1)) < c < f ((y(2)), где точки y(1) и y(2) принадлежат линейно связному множеству X, и мы находимся в условиях теоремы 2, и потому из условий (35.8) и (35.9) следует, что существует такая точка x(0) X, что

f ((x(0)) = c.

Примером линейно связного множества, замыкание которого не является линейно связным, является график функции f (x) = sin x1 , x > 0. Действительно, никакую точку отрезка оси ординат от точки (0, −1) до точки (0, 1) нельзя соединить с точками самого этого графика.

З а м е ч а н и е. Из теоремы 4 и ее следствия вытекает, в частности, что функция, непрерывная на области или ее замыкании (п. 33.3), принимая какие-либо два значения, принимает и все промежуточные.

У п р а ж н е н и е. Построить пример линейно связной области, замыкание которой не является линейно связным.

35.3. Непрерывные отображения: общие свойства. При непрерывных отображениях образ открытого множества не является, вообще говоря, открытым, а замкнутого — замкнутым. Это видно уже на примере числовых функций одной переменной. Так, отображение y = sin x отображает интервал (0, π) — открытое множество — на полуинтервал (0, 1], который не является открытым множеством, а отображение y = arctg x отображает числовую прямую — замкнутое множество — на интервал −π2 , π2 , не являющийся замкнутым множеством. То, что в последнем примере в качестве замкнутого множества взято неограниченное множество не является случайным, так как ограниченное замкнутое множество, будучи компактом, согласно теореме 1 при непрерывном отображении отображается в компакт и, следовательно, в замкнутое множество. Покажем, что для прообразов

открытых и замкнутых множеств дело обстоит иначе.

Л е м м а. Если отображение f : G → Rm, G Rn, задано на открытом множестве G, то оно непрерывно в точке x(0) G тогда и только тогда, когда для любой окрестности V точки f (x(0)) существует такая окрестность U точки x(0), что

Таким образом, в отличие от общего случая (см. (34.12)) здесь можно не брать пересечение окрестности точки x(0) с отображаемым множеством G. (Это уже было использовано в замечании 2 п. 34.5.)

52 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Если f : G → Rm, где G — открытое в пространстве Rn множество, и отображение f непререрывно в точке x(0) G, т. е. lim f (x) =

сти V точки f (x(0)) существует такая окрестность U0 точки x(0), что для нее выполняется условие (34.12), т. е. в данном случае

f (G ∩ U0) V.

Поскольку пересечение U = G ∩ U0 открытых множеств G и U0 является открытым множеством и содержит точку x(0), то оно также является окрестностью этой точки и f (U ) V . Включение (35.10) доказано.

Обратное утверждение, т. е. что из выполнения условия (35.10) следует непрерывность отображения f в точке x(0), следует непо-

средственно из определения непрерывности (34.12), так как U G

и, следовательно, G U = U .

Те о р е м а 5. Отображение f : G → Rm открытого множества G Rn непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз всякого открытого множества является открытым множеством.

Если отображение f непрерывно на открытом множестве G, V — открытое в Rm множество и x f −1(V ), то V является окрестностью точки y = f (x) V . Согласно лемме существует такая окрестность U точки , что f (U ) V и, следовательно, U f −1(V ), т. е. для каждой точки прообраза f −1(V ) открытого множества V существует ее окрестность, содержащаяся в этом прообразе. Это и означает, что множество f −1(V ) является открытым.

Пусть теперь при отображении f прообраз всякого открытого множества — открытое множество и x G. Тогда какова бы ни была окрестность V точки f (x) она, будучи открытым множеством, имеет

своим прообразом

(35.11)

также открытое множество, которое поэтому является окрестностью точки x U . Из равенства (35.11) следует, что f (U ) = V , и, следовательно, отображение f непрерывно в точке x(0) G.

Те о р е м а 6. Отображение f : X → Rm замкнутого множества X Rn непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз всякого замкнутого множества является замкнутым множеством.

Пусть отображение f непрерывно на замкнутом множестве X, Y — замкнутое множество в пространстве Rm и x — точка прикосновения

прообраза

(35.12)

множества Y :

(35.13)

множества f −1(Y ).

Пусть теперь f : X → Rm — отображение замкнутого множества X Rn, при котором прообраз всякого замкнутого множества также является замкнутым множеством. Пусть x X и V — какая-либо окрестность точки y = f (x) в пространстве Rm. Поскольку V — открытое множество, то множество Rm \ V является замкнутым и, следовательно, замкнутым будет и его прообраз f −1(Rm \ V ). Поэтому дополнение U = Rn \ f −1(Rm \ V ) в пространстве Rn этого прообраза

является открытым множеством.

Поскольку f (x) U , то f (x) / Rm \ V. Поэтому x / f −1(Rm \ V ), следовательно, x Rn \ f −1(Rm \ V ) = U. Множество U , будучи открытым множеством, является окрестностью точки x.

Из равенства U = Rn \ f −1(Rm \ V ) имеем f (U ∩ X) ∩ (Rm \ V ) =

= , т. е. f (U X) V . Это означает, что отображение f непрерывно

вточке x.

§36. Частные производные. Дифференцируемость

функций многих переменных

В заключение отметим, что частные производные ∂f обознача-

∂x1

ются также символами fxi , fxi и Dxi f.

Аналогично случаю обычной производной для функции одной переменной определяется понятие односторонних частных производных.

36.2. Дифференцируемость функций многих переменных. Определим сначала для простоты записи понятие дифференцируемости функции для случая функции двух переменных. Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой δ-окрестности U = U (M0; δ) точки M0 = (x0, y0). Для точки M = (x, y) положим

=(x0, y0).

Оп р е д е л е н и е 1. Функция z = f (x, y) называется дифференци-

руемой в точке (x0, y0), если существуют два таких числа A и B, что

то согласно определению o(ρ) (см. (34.6)–(34.14)) существует такая

=y = 0, то в силу (36.4) она непрерывна в точке (0, 0) и, следова-

тельно,

Итак, определение дифференцируемости (36.1) функции f в точке (x0, y0) можно записать в виде

причем выполняется условие (36.4), а поэтому и условие (36.5).

56 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Если функция f дифференцируема в точке (x0, y0), то линейная

Докажем лемму, показывающую, что условие дифференцируемости функции в точке можно записать в несколько другом виде.

Л е м м а. Для того чтобы функция z = f (x, y), заданная в некоторой окрестности точки (x0, y0), была дифференцируема в этой точке, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие функции

и, следовательно, в силу условия (36.4) выполняются условия (36.8). Подставив выражение (36.12) в формулу (36.6), получим (36.9).

2. Пусть имеет место равенство (36.9). Преобразуем два последних

+ |ε2| справедливо и при ρ = 0 (оно превращается в равенство 0 = 0),

(36.9), получим (36.6).

Выясним теперь свойства функции, которые следуют из ее дифференцируемости.

Те о р е м а 1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

В самом деле, если функция z = f (x, y) дифференцируема в точке

(x0, y0), то

Те о р е м а 2. Если функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (x0, y0), то в этой точке существуют частные производные функции f по x и по y, причем, если dz = Adx + Bdy — дифференциал функции f в точке (x0, y0), то

Таким образом, дифференциал (36.7) можно записать в виде

Если функция f дифференцируема в точке (x0, y0), то, положив в формуле (36.9) y = 0, получим

58 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

где xz — приращение функции f по переменной x в точке (x0, y0), и

т. е. существует частная производная по x функции f в точке (x0, y0), и

∂f (x0, y0) = A. ∂x

Аналогично доказывается существование производной ∂f (x0, y0)

∂y

иее равенство числу B.

За м е ч а н и е 1. Функция, имеющая в некоторой точке частные производные, может быть недифференцируемой в этой точке. Приме-

ром такой функции является функция, рассмотренная в конце п. 36.1. Она имеет в точке (0, 0) частные производные, но не является в ней непрерывной и тем более дифференцируемой, так как из дифференцируемости следует непрерывность (теорема 1). Однако если у функции потребовать не только существование, но и непрерывность ее частных

приращениям формулу конечных приращений Лагранжа (см. п. 12.2), получим

ным для дальнейшего является то обстоятельство, что в силу усло-

Из равенств (36.19) и (36.22) имеем

f = fx(x, y)Δx + fy(x, y)Δy + ε1 x + ε2 y,

что согласно лемме и означает дифференцируемость функции f в точке (x, y).

Функция, имеющая в точке непрерывные частные производные, называется непрерывно дифференцируемой в этой точке. Согласно

теореме 3 непрерывно дифференцируемая в некоторой точке функция дифференцируема в ней.

В дальнейшем нам потребуется описание поведения функции ε = ε(x, y, x, y) в остаточном члене ερ правой части формулы (36.6)

вслучае, когда точка (x, y) принадлежит некоторому компакту, лежащему в области определения функции. Для формулировки этого описания введем понятие равномерного стремления к нулю функции на множестве. Определение этого понятия дадим сразу для функций любого числа переменных (в таком виде оно и будет использоваться

вдальнейшем в § 44).

1) Здесь пределы понимаются как пределы отображений (Δx, y) → → (x0 + θ1 x, y0 + y) и (Δx, y) → (x0, y0 + θ2 y).