Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TrAlg2s

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

217 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

						Продолжение задачи 2.8

12			у которых суммы элементов								B =			2		4		−2
			Матрицы 3-го порядка,											3		0			3
			любого столбца равны нулю											3		0			3
			любого столбца равны нулю									−1				−4			5
			любой строки и									−						−
			любой строки и									−						−
13			суммы элементов в обеих								B = (				3	3	−3 )
			Матрицы (2 ×				3), у которых								4	7		8
																2
			строках одинаковы										-
			строках одинаковы									−
											ÂÌ
14			Матрицы, перестановочные с								МИРЭА
			матрицей A =					0	0	0	B =			0		−1		0
								0	1	0				1		1		0
								0	0	1				0		0		2
15	Матрицы,
			Кафедра
				антиперестановочные с							B =					−2
			матрицей A =					0	0	1	B =			1		−2			3
								1	0	0				0		1			1
							0 1 0				−1					−3		−2
16		Решения матричного уравнения									(							1 )
			· −1 0			1		( 0 0 0 )			(				1 3			1 )
			1	0		1						−2 1 −2
	X		0 0			−0 =			0 0 0		B =	−2 1 −2

17		Решения матричного уравнения									(								1 )
		·	1		ÌÃÒÓ( 0 0 0 )						(			1		2			1 )
			1	1		1						−1				−2		−1
	X		0	−0		0		=		0 0 0	B =	−1				−2		−1
						−1										−
			−1	1		−1										−

Продолжение задачи 2.8

18	Матрицы, перестановочные с						B =		2		3	0
	матрицей A =			1	0	0	B =		2		3	0
				0	0	0			3		0	0
				0 1		0	−2 −2 3
19	Матрицы,
			перестановочные с				B =		0	1		2
	матрицей A =			0	1	0	B =		0	1		2
				0	0	1			3	2		0
20	Матрицы,								-
20	Матрицы,									−
21				0	0	1	ÂÌ			22 3
				0	0	1			0	22 3
22	3-го порядка с нулевыми						BМИРЭА= 1 −1 −2
		антиперестановочные с					B = −1			−2		0
	матрицей A =			1	0	0	B = −1			−2		0
				0	0	0			2		0	0
				0 1		0	−1				1 2
	Матрицы,									3	−0
	Кафедраэлементов первой строки						−2			3	−0
		антиперестановочные с					B =		0	0	−0
	матрицей A =			0	1	0	B =		0	0	−0
				0	0	1			2	0		2
				0	0	1			0	0		0
	Симметричные матрицы								2	1
			ÌÃÒÓ					−1		−2			3
	и третьего столбцов							−1		−2			3
	суммами элементов первого							−				−
	суммами элементов первого							−				−
23	3-го порядка с нулевой суммой						B =		2	0	−3
	Кососимметричные матрицы								0	2		2
24	Нижнетреугольные матрицы								4	2		0
24	3-го порядка с нулевым следом						B =		4	2		0
	побочной диагонали								1	0		0
	побочной диагонали						−2			5	−3
	и нулевой суммой элементов
	и нулевой суммой элементов

					23

	Продолжение задачи 2.8

25	Симметричные матрицы 3-го					B =				1			1	−0
25	суммы элементов строк,					B =				1			1	−0
	порядка, у которых одинаковы									0			1			1
	а суммы элементов столбцов						−1					−0				1
	знакочередуются
26	Симметричные матрицы 3-го					B =		0				1			1
26	суммы элементов столбцов,					B =		0				1			1
	порядка, у которых одинаковы							0				0			0
	знакочередуются								-
	а суммы элементов строк							0			−21 −1
						ÂÌ
27	порядка, у которых суммa					МИРЭА
27	порядка, у которых суммa					B =				3		−2				1
	Симметричные матрицы 3-го									3			3			0
	равна нулю						−			0			1	−1
	элементов любого столбца						−
28	Кафедра					B = −1								0
28	суммы элементов любого					B = −1								0
	Матрицы (3	×	2), у которых									2 −3
	столбца равны нулю										−1			3
29	Симметричные матрицы,
	перестановочные с матрицей
		1	0	0							0	1		1
		0	1	0		B =					1	3		2
	A =	0 0 1				B =					1 2 3
30
	Симметричные матрицы,
	антиперестановочные с матрицей
		0	1	0						2			0	0
	ÌÃÒÓ0 1 0									0		−0		2
	A =	0 0 1				B =				0			2	0

Задача 3.1. Линейный оператор C в пространстве													åñòü ïî-
					b						V3

		24
следовательное применение линейных операторов				A è B. Найти
	C? Если да, то описать его геометрическое			b b
матрицы операторов A, B, C в базисе i, j, k. Обратим ли опера-
	b b	b
òîð	•b	Операторы	действие.
			действие.

1Поворот вокруг оси: а) Oz íà 90◦, á) Oz íà 45◦,

â) Ox íà 45◦, ã) Ox íà 30◦, ä) Oy íà 90◦, å) Oy íà 60◦.

Проектирование на плоскость: а) xOy, á) xOz, â) yOz.

Проектирование на ось: а) Ox, á) Oy, â) Oz.

Отражение относительно плоскости: а) xOy,

á) xOz, â) yOz.

МИРЭА

Отражение относительно оси: а) Ox, á) Oy, â) Oz.

Векторное умножение на вектор: а) a = i + j + k,

á) a = i + j − k, â) a = i − j + k, ã) a = i + 2k,

Кафедра

ä) a = j − 2k, å) a = 2ÂÌi − j.

Гомотетия с коэффициентом: а) k = 2, á) k =

â) k = −2.

• âàð.

2á

ÌÃÒÓ

1â

7à

3à

2à

1á

4á

2á

6á

3á

6â

4á

1ã

5á

2â

4á

3â

7á

2á

1â

5á

2â

6ã

3â

7â

4â

2á

5â

6ä

6å

1ä

7â

2à

		Продолжение задачи 3.1

22	1ã	5á	23	6ã	3á	24	1ä	4â

25	6ä	3á	26	1å	6å	27	6å	4â

28	2a	5á	29	4a	6ä	30	7a	1å

Задача 3.2. Линейный оператор b

A в пространстве V3 геометри- ческих векторов определяется действием отображения α на концы

радиус-векторов точек трехмерного пространства.
1) Найти матрицу линейного оператора A в подходящем2базисе
пространства V3, а затем в каноническом базисе i,									-
									j, k.
2) В какую точку трехмерного			пространства переходит точка с
				b
координатами (1, 0, 0) под действием отображения α?
3) Найти An, ãäå A матрица оператора в базисе i, j, k.
		ÂÌ
	• âàð.	Отображение α

	1, 16	Отражение относительно плоскости						x + y + z = 0

	2, 17	Поворот на 180◦ вокруг оси x = y = z
	3, 18	Проектирование на ось				x =		y	= z

							2
	4, 19	Проектирование на плоскость				x + y + z = 0
					МИРЭА
	5, 20	Отражение относительно плоскости						x + y − z = 0
	6, 21	Поворот на 180◦ вокруг оси				x = y = −z
	7, 22	Проектирование на ось		2x = 2y = −z
	8, 23	Проектирование на плоскость				x − y + z = 0
		Кафедра
	9, 24	Отражение относительно плоскости						x − y + z = 0
		Поворот на 180◦ вокруг оси
	10, 25					− x = y = z
	11, 26	Проектирование на ось			x = 2y = 2z
		ÌÃÒÓ
	12, 27	Проектирование на плоскость				− x + y + z = 0
	13, 28
		Отражение относительно плоскости					− x + y + z = 0

Продолжение задачи 3.2

14, 29	Поворот на 180◦ вокруг оси	x = −y = z
15, 30	Проектирование на плоскость	x + y − z = 0

Задача 3.3. Пусть A матрица оператора A èç задачи 3.2 в каноническом базисе i, j, k. Найдите собственные значения и

собственные векторы матрицы	A	. Объясните, как полученный ре-
	A	b
зультат связан с геометрическим действием оператора A.
		2
		-b

3) Найти собственные значения и собственные векторы оператора. Является ли данный оператор оператором простого типа?

Задача 3.4. 1) Какое из перечисленных преобразований является
линейным оператором в пространстве R3?
2) Найти матрицу оператора в каноническом базисе
пространства R3.	ÂÌ
	МИРЭА

4) Найти ядро оператора.

5) Обратим ли данный оператор? Если да, найти обратный оператор.

•				Преобразования A, B, C
1	Ax = (4x1			2x2	x3, x1 + 3xb2		x		,		2x2 + 2x3)
	Ax = (4x1			2x2	x3, x1 + 3xb2		b3		bx1		2x2 + 2x3)
16	bBx = (4			− 2x2	− x3,	−x1 + 3x2	− x3, x1				− 2x2 + 2)
				−	−	−	−				−
					2					3	− 2x2 + 2x3)
	CКафедраxb= (4x1 2x2 − x3, −x1 + 3x2						− x3, x1				− 2x2 + 2x3)
2	b	Ax−= (3x1 + 4, x1 + 3x2, x1 − x2 + 1),
17			x	2						3
			x
		B bÌÃÒÓ= (3x1 + 4x2, x1 + 3x2, x1 − x2 + x3),
		b						−
		Cx		= (3x1 + 4x2, x1 + 3x2, x1						x2 + x3)
		b		= (3x1 + 4x2, x1 + 3x2, x1						x2 + x3)

Продолжение задачи 3.4

Ax = (−x1 − x2 − x3, 4 − x3, −x2 + 4),

Bxb= (−x1 − x2 − x3, 4x2 − x3, −x2 + 4x3),

Cx = ( x

−

, 4x

2 −

−

+ 4x

)

−

bAx = (3x1 − x2 − x3, 2x2 + x3, x2 + 2x3),

bBx = (3x1 − 1 − x3, 2 + x3, x2 + 2x3),

x = (3x2

−

2 −

, 2x

+ x3, x

+ 2x

)

(3 2x

+ x

, x

+ 2x

, x

2 + x

Ax = b

−

-3

−

Bxb= (3x1 − 2x2 + x32, −x1 + 2x2 − x3, −x1 − 2x24 + x3),

Cx = (3x

−

+ x

+ 2x

−

+ x

)

−

Кафедраb − 1 2 1 − 2

−

b Ax = (3x1

+ x2

−

, 2 + 2x2

−

x3,

−

2x1

+ x2 + 4),

Bxb= (3x1

+ x2

−

x3, 2x1 + 2x2

−

xÂÌ3, 2x1 + x2 + 4x3),

−

Cx = (3x + x3

x , 2x + 2x

x2,

2x + x + 4x )

Ax = (2x1− x3, 2x1 + x2

−x3,

−x1

+ 2x3),

−

bBx = (2x1 − x3, 2x1 + x2 −

МИРЭА1, −x1 + 2),

x = (2x4

−

, 2x

+ x2

−

+ 2x

)

bAx = (

−

2x1 + x2, x1

−

2, x1 + x2 + 2),

−

Bxb= (−2x1 + x23, x1 − 2x2, −x12 + x2 + 2x3),

Cx = ( 2x + x , x

2x , x + x + 2x )

bAx = (4x1

−

x3, x1 + 5 + x3,

−

x1 + 4),

−

Bxb=ÌÃÒÓ(4x1 − x3, −x1 + 5x2 + x3, −x1 + 4x3),

Cx =

(4x1

x3,

x1 + 5x2 + x3, x1 + 4x3)

−

																									28

										Продолжение задачи 3.4

10			Ax = (4x1 − 3x2 − 7x3, x1 − x3, 3x1 − 3x2 − 6x3),
25			bBx = (4x1 − 3 − 7x3, x1 − x3, 3x1 − 3x2 − 6),
			Cxb= (4x12										3x2										7x3, x13 − x3, 3x1 − 3x2 − 6x3)
11			bAx = (4x1−												5x2−+ 5, 2x1 + 2x3, 2x1 + 1 + x3),
											−																								+ 2x4, 2x																							2
26				x = (4x					1 −				5x					2			+ 5x							, 2x					1		+ 2x4, 2x												1			+ x				2			+ x2),
			B b						1 −									2									3						1						3								1							2				3
			Cx = (4x							1 −			5x						2		+ 5x								, 2x					1		+ 2x				3		, 2x						1		+ x					2			+ x	)
			b							1 −									2								3							1						3								1							2			3
12			Ax = (3 + 4x														+ 2x								,				x					−					МИРЭА
			b											2										3				−			2			−									1								2-3
27			Bxb= (3x1 + 4x2 + 2x3, −x2 − 2x3, 2x1 + 4x2 + 3x3),
			Cx = (3x2						+ 4x						2			+ 2x								,			−	x3				−			2x			, 2x					1				+ 4x							2		+ 3x		)
			b				1								2									3					−			2		−					3						1											2			3
13			Ax = ( x								4x + 4x , 2x + 3x + 2x , 2x + 5x ),
28	b		bBx =−(−x1								− 4x2											+ 4, 2x1												+ 3xÂÌ2 + 2x3, 2 + 5x3),
	b		Кафедра− − −																																				−								3			−				1					3
			b					1		−						2								3							1								2								3							1					3
			Cxb= (				x1 − 4x24 + 4x3, 2x1 + 3x2 + 2x32, 2x1 + 5x3)
14			b				−Ax = (4x1 − 2x2 + 2, 4, 3x2 − x3),
29						Bxb= (4x1														− 2x2								+ 2x32							, 4x2, 3x2 − x33),
	линейные						ÌÃÒÓb R																																					b								x				)
						Cx = (4x											1			−			2x			2			+ 2x							, 4x					, 3x					2				−		x				)
							b										1			−						2								3					2							2				−			3
15		Ax = (			−	2b+ 2x2						−					2x3, 5x1 + 7x2																						−				3x3,							−		x1 + 3 + x3),
					−							−												−															−											−
30	Bxb= (−2x1 + 2x2 − 2x3, −5x1 + 7x2 − 3x3, −x1 + 3x2 + x3),
	Cx										4																											2
	b		= ( 2x1 + 2x2															2x3, 5x1 + 7x2																									3x3, x1 + 3x2 + x3)
Задача 3.5. Пусть Ax = (x																						−		x				, x				, x +x3), Bx = (x2, 2x3, x1)
																					2	−				3				1						1		3. Найти:
				операторы в пространстве

•

( b

−

ABx

(A2 + 3B)x

(A2

− B)x

(Ab

+ b

(A + B2)x

4A)x

(2A + 3B2)x

+ A)x

BAx

b b

(2A B)x

A(2B A)x

A(Bb+b2A)x

b b

−

b b

(A b b2B )x

−

B)2x

−

2A2)x

BA2x

(2 b −

− b

(3A2

−

B)x

+ B)x

−

A(b

МИРЭА

− b

B A2)x

(B3

+ A)x

(B2

2A)x

b b

B + A)x

AB2x

B(B A)x

B b

2(A2 + B2)x

B(A

−

2B)x

−

A + B2)x

b b

− b

(3A + B)x

(A + BA B)x

ÂÌ30 (3B + 2A2)x

Задача 3.6. 1) Доказать, что A линейный оператор в простран-

2) Найти его матрицу в

ñòâå Pn многочленов степени не выше n.

каноническом базисе.

3) Существует ли обратный оператор к A? Если да, то найдите

его матрицу в том же базисе.

4) Найдите ядро оператора

A, òî åñòü

множество

KerA =

p(t)

Pn : (Ap)(t) ≡ 0}.

{

• âàð.

(Ap)(t)

Кафедра1, 16 2 [(t +b1) · p(t)]′

2, 17

p(t + 1)]′

ÌÃÒÓ

3, 18 3 (t + 1) p′(t)

4, 19 3

t · p′(t + 1)

	Продолжение задачи 3.6

5, 20		3	p(t) − p(t + 2)
6, 21		3	3t · p(t) − t2 · p′(t)
7, 22		2	(t	·	p(t))′ + p′′(t)
				·
8, 23		3	6t · p(t) − t3 · p′′(t)
9, 24		2	(t + 1) · p(t + 1) − t · p(t)									2
10, 25		2	[(t			−		2)	·	p(t)]′
						−			·
11, 26		3				[t · p′(t)]′
											ÂÌ
				·							−
12, 27	2			[t			p(t				МИРЭА
						·			−
13, 28 3			t · p′(t) − p(t + 1)
14, 29 2			(t − 2) · p(t − 2) − t · p(t)
15, 30 2 (2t + 1) p(t) + t(1 t)p′(t)

Задача 3.7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей A. Доказать, что это

оператор простого типа, привести его матрицу к диагональному виду (найти матрицу перехода к собственному базису и сделать проверку). Вычислить An для любого n N.

•			•				•
âàð.	A		âàð.		A		âàð.		A
	Кафедра
1	( 2 −1 ) 2 ( −4 2 )						3	(	1	2 )
	4	3		−	3	1			2	1
	−			−
			ÌÃÒÓ
4	( −1	2	) 5 ( 2 −2 )				6	( −6		−2 )
	4	5	3		−	2			5	2
	−				−

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.2015172 Кб17TR_1sem.pdf
#
10.05.2015266 Кб41Tr_ma1s_pdf.pdf
#
10.05.2015717 Кб30Tr_ma4s_0.pdf
#
10.05.2015717 Кб32Tr_ma4s.pdf
#
10.05.2015148 Кб17TrAlg1s.pdf
#
10.05.2015217 Кб20TrAlg2s.pdf
#
14.08.2019347 Кб19transportirovka-postradavshego.doc
#
19.09.2019146 Кб12TSPP.doc
#
10.05.20154 Мб14TVizbor_privet_privet.pdf
#
10.05.2015817 Кб70TXT.rtf
#
10.05.2015295 Кб10UMK_Inform_teh_bak.pdf