1.4.2. Классы равномощных множеств

Введенное в 1.4.1 отношение равномощности является отношением эквивалентности “ “. В самом деле, оно рефлексивно: для каждого множестваХсправедливо (ХравномощноХ), так как существует тождественное отображение множестваХна множествоХ. Это отношение симметрично: если существует биекцияXнаY, то обратное отображение также является биекцией (если, то). Отношение транзитивно: если существует биекцияи существует биекция, то соответствие отображаетXнаZбиективно (если и, то).

По свойству отношения эквивалентности (см. 1.2.5) получаем разбиение всех множеств на непересекающиеся классы равномощных множеств. Каждому классу присвоим название -кардинальное число. Таким образом, кардинальное число – это то общее, что есть у всех равномощных множеств. Обозначим кардинальное число множества илиХ. Пустое множество имеет кардинальное число  =0; для всех конечных множеств кардинальное число совпадает с количеством элементов множества; а для обозначения кардинального числа бесконечных множеств используется буква(алеф). Понятие кардинального числа (мощности множества) обобщает понятие “ количество элементов ” на бесконечные множества.

1.4.3. Сравнение множеств по мощности

Расположим классы эквивалентности равномощных множеств в порядке возрастания кардинальных чисел: .

Для конечных множеств это не вызывает затруднений: означает для конечных множеств, что количество элементов множестваXменьше количества элементов множестваY,и классXрасположен левее классаYв последовательности классов равномощных множеств. А что означает неравенствоX<Yдля бесконечных множеств? Договоримся о следующих обозначениях:

1) если множества XиYпопадают в один класс эквивалентности, пишемX=Y;

2) если класс эквивалентности множества Xнаходится левее класса эквивалентностиYв ряду кардинальных чисел, используем обозначениеX<Y;

3) если класс эквивалентности множества Xнаходится правее класса эквивалентности множестваY, тоX>Y;

4) в теории множеств строго доказано, что случай, когда множества Xи Yнесравнимы по мощности, невозможен – это означает, что классы равномощных множеств можно вытянуть в цепочку без разветвлений по возрастанию мощности.

Следующая теорема, приведенная без доказательства, позволяет устанавливать равномощность бесконечных множеств.

Теорема Кантора-Бернштейна.ПустьXиYдва бесконечных множества. Если во множествеXесть подмножество, равномощное множествуY, а во множествеYесть подмножество, равномощноеX, то множестваX и Yравномощны.

Пример. Пусть. Покажем, чтоX=Y. Непосредственно биекциюXнаYпостроить трудно, т.к.X- отрезок с включенными концами, аY– открытый интервал.

Применим теорему Кантора-Бернштейна. Возьмем в качестве подмножествамножестваXоткрытый интервал :. БиекциянаYлегко устанавливается: например, по закону(рис. 1.22) , осуществляется взаимно однозначное отображение интервала (0;1) на интервал.

В качестве подмножества возьмем любой замкнутый интервал изY, например,. В 1.4.1 уже показано, что[1;3]=[0;1](существует биекция). Таким образом, условия теоремы Кантора-Бернштейна выполняются, следовательно, множестваи равномощны (X=Y).